為什么要學(xué)習(xí)解一元二次方程的兩種方法？

楊軍 劉揚(yáng)

摘? 要：文章基于課堂發(fā)生的意外事件，闡述學(xué)習(xí)解一元二次方程兩種方法的必要性，即“配方法”和“公式法”，既有內(nèi)在的聯(lián)系，又各自獨(dú)立存在.“配方法”是推導(dǎo)“公式法”的過程和基礎(chǔ)，“配方法”本身也是一種獨(dú)立的方法. 而“公式法”是解一元二次方程的“萬能公式”. 從一元二次方程的“公式法”可進(jìn)一步類比研究一元三次方程、一元四次方程的求根公式.

關(guān)鍵詞：一元二次方程;配方法;公式法

一、問題提出

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第21章第2節(jié)的內(nèi)容是“解一元二次方程”，其中21.2.1是“配方法”，21.2.2是“公式法”. 筆者在教學(xué)解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的過程中遇到了一件意外事件. 新課“公式法”布置的解一元二次方程作業(yè)竟然有相當(dāng)多的學(xué)生依然使用前面學(xué)過的“配方法”求解，這無疑是對(duì)45分鐘課堂教學(xué)的“全盤否定”.

之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的意外事件，筆者認(rèn)為可能是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“配方法”先入為主，先烙下“印跡”，從而即使后面學(xué)習(xí)了“公式法”，學(xué)生仍對(duì)“配方法”情有獨(dú)鐘. 但細(xì)細(xì)思量，發(fā)現(xiàn)根本原因在于教師對(duì)解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的認(rèn)識(shí)較為片面，即教師沒有深刻認(rèn)識(shí)到“既然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的‘配方法’，為什么還要學(xué)習(xí)新的‘公式法’”的道理.

本文分別闡述對(duì)解一元二次方程的“配方法”和“公式法”的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而理解“配方法”和“公式法”既相互關(guān)聯(lián)又各自具有單獨(dú)的作用和價(jià)值，從而才需要既學(xué)習(xí)“配方法”，還學(xué)習(xí)“公式法”.

二、對(duì)“配方法”的認(rèn)識(shí)

1.“配方法”是推導(dǎo)“公式法”的過程和基礎(chǔ)

求解任何一元二次方程[ax2+bx+c=0a≠0]時(shí)，先經(jīng)過整理，得[x2+bax=-ca]. 再配方，得[x2+bax+][b2a2=-ca+b2a2]，即[x+b2a2=b2-4ac4a2]. 當(dāng)[b2-4ac≥0]時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根[x=-b±b2-4ac2a]. 把一元二次方程的左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊是非負(fù)常數(shù)，再用開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做“配方法”.

一般地，當(dāng)[Δ=b2-4ac≥0]時(shí)，任何一元二次方程[ax2+bx+c=0][a≠0]的實(shí)數(shù)根為[x=-b±b2-4ac2a]. 此式叫做一元二次方程[ax2+bx+c=0a≠0]的求根公式，這種解一元二次方程的方法叫做“公式法”.

根據(jù)“配方法”解一元二次方程的一般步驟推導(dǎo)出求根公式，求根公式體現(xiàn)了用“配方法”解一般的一元二次方程[ax2+bx+c=0][a≠0]的結(jié)果. 具體而言，將解一元二次方程的“配方法”進(jìn)行一般化和程序化就是“公式法”. 因此，“配方法”是推導(dǎo)“公式法”的過程和基礎(chǔ).“配方法”不僅衍生了“公式法”，還為后一章學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)埋下伏筆.

2.“配方法”本身也是一種獨(dú)立的方法

雖然“配方法”是推導(dǎo)“公式法”的過程和基礎(chǔ)，但又不僅限于此.“配方法”在二次函數(shù)、代數(shù)式的變形、二次根式、基本不等式等方面都有著廣泛的應(yīng)用.

例如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)[y=ax2+bx+c][a≠0]的圖象和性質(zhì)時(shí)，先將其化成[y=ax+b2a2+4ac-b24a]的形式，即將二次函數(shù)通過“配方法”轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而研究拋物線[y=ax2+bx+c][a≠0]的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值、增減性等問題，為方程與函數(shù)搭建了橋梁.可見，“配方法”是學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的工具.

又如，在高中階段學(xué)習(xí)二元二次方程[x2+y2+Dx+][Ey+F=0]表示圓的條件時(shí)，需要運(yùn)用配方法，將其整理成[x+D22+y+E22=D2+E2-4F4]. 當(dāng)[D2+E2-4F>0]時(shí)，方程表示以[-D2，-E2]為圓心，[12D2+E2-4F]為半徑長(zhǎng)的圓. 這里就用“配方法”將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

再如，在解決形如[A±BC]形式的復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是把二次根式的被開方數(shù)利用“配方法”配成完全平方式，即可化簡(jiǎn). 例如，化簡(jiǎn)[4+12]，因?yàn)閇4+12=12+32+23=1+32]，所以[4+12=1+3]. 利用“配方法”解決二次根式化簡(jiǎn)問題也受到競(jìng)賽題的青睞，有利于增強(qiáng)學(xué)生的遷移能力，開闊學(xué)生的視野，使學(xué)生能在解題的過程中靈活運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)和方法.

因此，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)、代數(shù)式的變形、二次根式等內(nèi)容時(shí)都要用到“配方”這種方法，從而表明“配方法”有其單獨(dú)存在的作用和價(jià)值.

三、對(duì)“公式法”的認(rèn)識(shí)

1.“公式法”是解一元二次方程的“萬能公式”

用“公式法”解一元二次方程時(shí)，第一步，計(jì)算[Δ]，若[Δ<0]，方程無實(shí)數(shù)根;第二步，把各項(xiàng)系數(shù)直接帶入求根公式即可求解. 此過程單純地考查學(xué)生的計(jì)算能力，沒有任何其他能力的考查. 具體而言，即使沒有學(xué)過“配方法”，直接用“公式法”也可求解任何一元二次方程. 因此，它擁有另外的名字——“萬能公式”.

而用“配方法”解一元二次方程的過程中，只有當(dāng)整理到完全平方式為負(fù)數(shù)時(shí)，才發(fā)現(xiàn)其無實(shí)根，也便意味著前面煩瑣的配方運(yùn)算“白做了”. 而工具“公式法”一開始便通過計(jì)算[Δ]的值與0比較，判斷方程有無實(shí)根. 若沒有實(shí)根，則沒有繼續(xù)運(yùn)算的必要.

2. 從一元二次方程的“公式法”類比研究一元三次方程的求根公式

通過學(xué)習(xí)一元二次方程的“公式法”，可以在學(xué)生心中埋下一顆好奇的種子，即一元二次方程有“求根公式”，那么解一元三次方程有沒有求根公式呢？一元四次方程呢？……一元[n]次方程呢？數(shù)學(xué)家卡丹發(fā)現(xiàn)了著名的一元三次方程的求根公式，也稱為卡丹公式.

設(shè)首項(xiàng)系數(shù)[a=1]的一元三次實(shí)系數(shù)方程為[x3+bx2+][cx+d=0]，經(jīng)過變換可以得到一個(gè)不含二次項(xiàng)的新方程[y3+ky+q=0]，其中[y=x+b3，k=c-b23，q=227b3-][13bc+d]. 通過解新方程得到一元三次方程的求根公式為[α=g+A3+B3，β=g+ωA3+ω2B3，γ=g+ω2A3+ωB3，] 其中[g=-b3]，[A=-q2+q22+k33，]

[B=-q2-q22+k33]，[ω=-12+32i]，判別式為[D=][q22+k33].

對(duì)于一元四次方程，也有求根公式，即用方程各項(xiàng)系數(shù)表示結(jié)果. 盡管數(shù)學(xué)家們已經(jīng)嚴(yán)格證明“一元五次及五次以上的方程沒有求根公式”，但解一元二次方程的“公式法”為學(xué)習(xí)一元三次方程、一元四次方程求根公式做了“藥引”，起到了向?qū)У淖饔?，更有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想方法.

四、結(jié)束語(yǔ)

從以上分析可以看出，“配方法”和“公式法”既有內(nèi)在聯(lián)系，又各自獨(dú)立存在，即“配方法”是推導(dǎo)“公式法”的過程和基礎(chǔ). 同時(shí)“配方法”本身也是一種獨(dú)立的方法. 而“公式法”是解一元二次方程的“萬能公式”，同時(shí)從一元二次方程的“公式法”可以進(jìn)一步類比研究一元三次方程的求根公式. 只有當(dāng)教師既認(rèn)識(shí)到“配方法”和“公式法”的相互關(guān)聯(lián)性，又認(rèn)識(shí)到它們各自單獨(dú)的作用和價(jià)值，發(fā)生本文開頭那樣意外事件的幾率才會(huì)降低.

教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的認(rèn)識(shí)水平影響著其課堂教學(xué)的行為. 沒有人能夠教自己不懂的內(nèi)容. 學(xué)然后知不足，教然后知困. 教師通過對(duì)課堂上發(fā)生的一些“意外事件”的反思，一方面，可加深對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解;另一方面，也學(xué)會(huì)站在學(xué)生的視角換位思考，理解學(xué)生，并最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

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