再探初中生符號意識的形成策略

鐘珍玖 劉靜

摘? 要：符號是數(shù)學(xué)表達(dá)的工具，符號意識是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出的10個核心關(guān)鍵詞之一. 七年級又是學(xué)生符號意識形成的關(guān)鍵學(xué)段，根據(jù)教材內(nèi)容安排，在數(shù)與數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中夯實(shí)符號意識形成的心理基礎(chǔ)，在方程和不等式教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)會用符號表達(dá)生活模型，強(qiáng)化符號意識，用符號刻畫圖形的位置和數(shù)量關(guān)系，并用符號思想進(jìn)行推理，培養(yǎng)邏輯思維能力，深化符號意識.

關(guān)鍵詞：關(guān)鍵學(xué)段;符號意識;教學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）將“符號意識”作為10個核心關(guān)鍵詞之一，培養(yǎng)符號意識作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo). 而七年級是在小學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上深化符號意識的起始學(xué)段，學(xué)習(xí)內(nèi)容由具體的數(shù)到抽象符號的表達(dá)和思想的轉(zhuǎn)變，用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，由“常量數(shù)學(xué)”到“變量數(shù)學(xué)”的質(zhì)的轉(zhuǎn)變. 本文闡述如何培養(yǎng)七年級學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識，以下是筆者在教學(xué)中的一些思考和做法.

一、在數(shù)及數(shù)的運(yùn)算中，夯實(shí)符號意識形成的心理基礎(chǔ)

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，七年級學(xué)生對數(shù)及其數(shù)量關(guān)系有較為深刻的認(rèn)識. 數(shù)有“過程”和“概念”的雙重屬性，也具有一定的抽象性. 但數(shù)的概念都可以在生活中找到原型，是事物的直接抽象，學(xué)生理解起來難度不大. 七年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，逐步實(shí)現(xiàn)從算術(shù)問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)變，學(xué)生容易受到數(shù)的思考方式的影響. 數(shù)是事物抽象的直接結(jié)果，更強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算結(jié)果，即數(shù)和數(shù)的運(yùn)算結(jié)果是具有確定性的，而用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系既是“過程”，又是“結(jié)果”，具有不確定性和任意性，所以在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)盡量避免數(shù)感對符號意識形成產(chǎn)生負(fù)遷移.

案例1：蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）七年級上冊“2.4 絕對值與相反數(shù)”.

問題：a的相反數(shù)是什么？-a是負(fù)數(shù)嗎？

學(xué)生對于第一個問題都能給出正確答案-a，第二個問題回答“-a是負(fù)數(shù)”的學(xué)生人數(shù)較多. 正數(shù)前面添上“-”就得到負(fù)數(shù)，學(xué)生就會產(chǎn)生負(fù)遷移，字母前有“-”也是負(fù)數(shù). 由于數(shù)所表達(dá)的結(jié)果確定，所以學(xué)生對含有字母的數(shù)的理解就產(chǎn)生偏差. 抽象思維能力稍強(qiáng)的學(xué)生通過舉反例來說明“-a不一定是負(fù)數(shù)”，當(dāng)a = 0時，-a = 0. 對于-a可以代表任意數(shù)，學(xué)生的理解仍然不夠深刻，教學(xué)中可以從“確定”和“任意”、“特殊”與“一般”的關(guān)系入手. 若給定a = 3，那么-a的值就是-3;若給定a = 0，那么-a的值就是0;若給定a = -3，那么-a的值就是-（-3） = 3. 給字母a取任意值，從特殊情形入手，通過分類討論厘清-a的符號特征.

教學(xué)策略：要克服“數(shù)感”對符號意識形成的負(fù)遷移，還是要從“數(shù)”入手. 因?yàn)椤皵?shù)”是用字母表示數(shù)的認(rèn)知起點(diǎn)和心理基礎(chǔ)，要用數(shù)的確定性幫助學(xué)生理解字母的一般性. 字母和數(shù)一樣可以表示量的關(guān)系，要發(fā)揮“數(shù)”對符號意識形成的正遷移作用，消除負(fù)遷移的心理障礙.

二、在運(yùn)用符號表達(dá)中，強(qiáng)化符號意識，形成代數(shù)思維習(xí)慣

1. 表達(dá)數(shù)或形的規(guī)律，體驗(yàn)字母表示數(shù)的一般性，強(qiáng)化符號意識

從教材七年級的編排來看，第二章是“有理數(shù)”，其主要內(nèi)容是有理數(shù)的運(yùn)算，但是很多概念、法則（如相反數(shù)、絕對值、交換律等）教材也都進(jìn)行了一般化的處理，用字母表達(dá)了這些概念和法則. 第三章是“代數(shù)式”，只安排了一個課時“列代數(shù)式”，用字母來表示數(shù)實(shí)際上在第二章已經(jīng)做了字母表示數(shù)的鋪墊，為第三章的整式的加減打下基礎(chǔ). 字母可以參與運(yùn)算，具有更高的抽象性，所以代數(shù)是一般化的算術(shù)，其一般化的途徑就是逐步抽象用符號表示而獲得形式化，在抽象的水平上運(yùn)用符號進(jìn)行思考.

案例2：教材七年級上冊“3.1 用字母表示數(shù)”.

用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按如圖1所示的方式拼正方形.

第（1）個圖形有1個正方形，

第（2）個圖形比第（1）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（3）個圖形比第（2）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（4）個圖形比第（3）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（10）個圖形比第（9）個圖形多? ? ? 個正方形，

第（n）個圖形比第（n - 1）個圖形多? ? ?個正方形.

教學(xué)策略：七年級學(xué)生抽象思維能力還不強(qiáng)，要理解抽象符號的意義，或者把具體事物的數(shù)量關(guān)系用符號來表示比較困難，所以在教學(xué)中要運(yùn)用數(shù)的具體性，讓學(xué)生積累豐富的感性材料，通過把“數(shù)”抽象一般化為字母，讓學(xué)生在經(jīng)歷的過程中體驗(yàn)字母是對數(shù)的抽象化、符號化表示. 教師在教學(xué)中不要操之過急，認(rèn)為學(xué)生小學(xué)已經(jīng)接觸過用字母表示數(shù)，忽視學(xué)生的認(rèn)知過程，用大量練習(xí)替代學(xué)生的理解. 教學(xué)中，要多舉實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)到字母的抽象過程，在用字母表示數(shù)初步形成符號意識時，教師要注重過程教學(xué)，把學(xué)生對具體數(shù)的表象逐步抽象成用字母來表示，使他們反復(fù)體驗(yàn)從特殊（數(shù)）到一般（字母），再從一般到特殊的過程，加深對符號一般性意義的理解，為靈活運(yùn)用符號解決問題打下堅實(shí)的基礎(chǔ)，讓學(xué)生在抽象的符號層面進(jìn)行思維活動.

2. 使用符號表達(dá)方程和不等式模型，強(qiáng)化符號意識

能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示，是將問題進(jìn)行一般化的過程，是列方程（組）、不等式解決實(shí)際問題的基礎(chǔ). 很多七年級學(xué)生由于缺乏用符號進(jìn)行抽象的思維能力，不會在具體情境中用字母表示實(shí)際問題中的量，導(dǎo)致解決應(yīng)用性問題能力較低. 實(shí)際上，一般化過程超越了實(shí)際問題的具體情境，用代數(shù)式表達(dá)問題的變化，深刻地揭示和指明了存在于一類問題中的共性和普遍性，把學(xué)生對符號的理解提升到新的水平和高度.

案例3：某城市平均每天生產(chǎn)垃圾700噸，由甲、乙兩個垃圾處理廠處理，已知甲廠每小時可處理垃圾55噸，需費(fèi)用550元;乙廠每小時處理垃圾45噸，需費(fèi)用495元.

（1）甲、乙兩廠同時處理該城市的垃圾，每天需要幾小時才能完成工作？

（2）若規(guī)定該城市每天用于處理垃圾的費(fèi)用不超過7 370元，甲廠每天至少需要幾小時處理垃圾？

生1的解題過程如下.

（1）設(shè)每天需要x小時才能完成工作，

由題意，得55x + 45x = 700.

解得x = 7.

（2）設(shè)甲廠每天工作y小時，

則乙廠每天工作（7 - y）小時.

由題意，得550y + 495（7 - y） ≤ 7 370.

解得y ≤ 71.

……

師：當(dāng)思維受阻或者產(chǎn)生錯誤時，我們必須反思思維過程，回到審題階段，我們所找的不等關(guān)系正確嗎？不等關(guān)系中的量的表示正確嗎？嘗試用文字表述.

生2：甲廠每天處理垃圾的費(fèi)用 + 乙廠每天處理垃圾的費(fèi)用 ≤ 7 370.

師：你能把甲廠、乙廠每天處理垃圾的費(fèi)用問題中的有關(guān)量表達(dá)出來嗎？

生2：甲廠每天工作時間 × 甲廠每小時處理垃圾的費(fèi)用 + 乙廠每天工作時間 × 乙廠每小時處理垃圾的費(fèi)用 ≤ 7 370.

師：這個不等關(guān)系中，甲廠、乙廠每天的工作時間是關(guān)鍵量，生1所列不等式中乙廠每天工作時間正確嗎？

生2：第（2）小題并沒有第（1）小題的條件，生1的審題不正確，正確的解法如下.

設(shè)甲廠每天工作y小時，

則乙廠每天工作[700-55y45]小時.

由題意，得550y +[700-55y45]× 495 ≤ 7 370.

解得y ≥ 6.

從問題的解決過程來看，學(xué)生的困難在于把乙廠的工作時間用所設(shè)的字母來表示，而且要帶著這些未知數(shù)進(jìn)行計算，要讓學(xué)生明確不僅“數(shù)”能表示實(shí)際問題中的量，字母也可以表示這些量，而且具有一般性. 在用方程（組）來解決實(shí)際問題的教學(xué)中，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用含未知數(shù)的代數(shù)式來表示問題中的量和數(shù)量關(guān)系，最為關(guān)鍵的是要通過教師的講解和學(xué)生的訓(xùn)練，讓學(xué)生形成用代數(shù)式表達(dá)復(fù)雜問題中量與量之間關(guān)系的意識.

教學(xué)策略：通過教師的示范和學(xué)生的練習(xí)，熟練地把生活語言、文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，學(xué)會借助文字語言強(qiáng)化對符號語言的理解，建立數(shù)量和數(shù)量之間的聯(lián)系，從而構(gòu)造出方程（組）、不等式模型來解決實(shí)際問題. 這里要強(qiáng)調(diào)設(shè)了未知數(shù)以后，盡可能用含未知數(shù)的代數(shù)式表示實(shí)際問題中的量，強(qiáng)化學(xué)生的符號意識.

三、在運(yùn)用符號思維中，深化符號意識，培養(yǎng)邏輯思維能力

在七年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要經(jīng)歷幾何入門教學(xué)，小學(xué)的幾何學(xué)習(xí)都是動手操作，運(yùn)用實(shí)驗(yàn)法讓學(xué)生直觀感知幾何圖形的性質(zhì)，不要求學(xué)生運(yùn)用符號來表示空間圖形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，以及運(yùn)用符號語言進(jìn)行邏輯推理.《標(biāo)準(zhǔn)》指出：探索并掌握相交線、平行線、三角形的基本性質(zhì)和判定，掌握基本的證明方法和作圖技巧，明確指出要運(yùn)用符號語言進(jìn)行推理和思考. 實(shí)踐證明：很多學(xué)生能夠得出幾何問題的答案或者要證明的結(jié)論，會用文字表達(dá)思考的過程，但是運(yùn)用符號語言進(jìn)行推理就比較困難，所以對于運(yùn)用符號語言進(jìn)行推理的幾何入門教學(xué)值得探究.

案例4：教材七年級下冊“平行線性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用”.

問題：如圖2，若AD∥BE，∠EDC = ∠C，那么∠A = ∠E嗎？

分析：直接由平行線的性質(zhì)不能得到∠A = ∠E，但是結(jié)合已知條件∠EDC = ∠C，根據(jù)平行線的判定定理可得ED∥AC. 再由平行線性質(zhì)，可得∠EBC = ∠E. 再根據(jù)條件AD∥BE，可得∠EBC = ∠A. 所以∠A = ∠E.

解：因?yàn)椤螮DC = ∠C，（已知）

所以ED∥AC.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

所以∠EBC = ∠E.（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

因?yàn)锳D∥BE，（已知）

所以∠EBC = ∠A.（兩直線平行，同位角相等）

所以∠E = ∠A.

教學(xué)策略：幾何符號語言的表達(dá)是幾何入門教學(xué)的又一難點(diǎn). 首先，要把每一個幾何概念、定理、公理、法則的幾何語言書寫規(guī)范，并能熟練使用;其次，使用幾何語言時要遵循由淺入深的原則，對于復(fù)雜問題的書寫，建議用思維導(dǎo)圖，或者先用文字寫出書寫步驟;最后，理解用符號進(jìn)行推理的規(guī)范和邏輯合理性（即前一步的因就是后一步的果），養(yǎng)成“言必有據(jù)”的習(xí)慣.

七年級學(xué)段是學(xué)生符號意識形成的關(guān)鍵時間節(jié)點(diǎn)，學(xué)生雖然在小學(xué)初步了解了用字母表示數(shù)，但是小學(xué)生抽象能力弱，對于抽象符號的意義、內(nèi)涵和外延理解不深刻，隨著年齡的增長和學(xué)習(xí)內(nèi)容的深入，學(xué)生對事物的認(rèn)識逐步由感性趨于理性，所以從學(xué)生學(xué)習(xí)心理的角度來看，更適合在七年級進(jìn)行符號意識培養(yǎng). 另外，從七年級整個學(xué)段的教材內(nèi)容編排來看，符號意識逐步滲透、貫穿始終. 有理數(shù)中有關(guān)概念、運(yùn)算法則、運(yùn)算律的表示初步滲透了符號意識，整式的加減則是符號參與的“操作”（運(yùn)算），方程和不等式用代數(shù)式表達(dá)復(fù)雜問題之間的數(shù)量關(guān)系，幾何推理則是更深入一步，用符號語言表達(dá)圖形中的位置和數(shù)量關(guān)系，用符號進(jìn)行邏輯推理. 故在七年級教學(xué)中，教師要時時處處考慮符號意識形成的教學(xué)策略，為學(xué)生學(xué)習(xí)更為抽象的函數(shù)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)，為整個初中學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠基.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]鐘珍玖. 初中生符號意識形成策略初探[J].? 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（6）：29-32.