超彈性SMA唯象本構(gòu)模型及其在震動(dòng)控制中的應(yīng)用

劉 博

(中鐵二十局集團(tuán)有限公司 陜西西安 710016)

1 引言

結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制技術(shù)能夠有效抑制結(jié)構(gòu)在地震作用、風(fēng)振作用和爆破作用等外部激勵(lì)下的響應(yīng)和損傷積累，提高結(jié)構(gòu)的抗災(zāi)變性能，是一種積極有效的工程結(jié)構(gòu)防振(震)減災(zāi)措施[1－2]。形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，SMA)作為性能優(yōu)良的智能感知、驅(qū)動(dòng)功能材料，具有可恢復(fù)應(yīng)變大、與其他基體耦合難度低以及耐腐蝕性能好等優(yōu)點(diǎn)。工程領(lǐng)域的諸多專(zhuān)家和學(xué)者試圖利用SMA的超彈性特性減輕振(震)動(dòng)帶給結(jié)構(gòu)的危害。胡淑軍等[3]基于超彈性SMA的自復(fù)位性能設(shè)計(jì)了一種抗震性能良好的SMA支撐，并通過(guò)SMA支撐的擬靜力試驗(yàn)驗(yàn)證了其自復(fù)位能力及耗能能力。閻石等[4]提出了一種新型變形可恢復(fù)SMA減震裝置，解決了SMA線材的錨固問(wèn)題，并建立了該新型SMA減震裝置的恢復(fù)力模型。

為充分發(fā)揮SMA基減震裝置的減振(震)特性，需建立一個(gè)表述簡(jiǎn)單、相關(guān)參量容易獲取，且適于實(shí)際工程應(yīng)用的SMA力學(xué)模型。經(jīng)典的SMA力學(xué)模型主要分為兩類(lèi):細(xì)觀力學(xué)本構(gòu)模型和宏觀唯象本構(gòu)模型[5]。細(xì)觀力學(xué)本構(gòu)模型表述過(guò)于復(fù)雜，相關(guān)參量不容易測(cè)量和確定，距離實(shí)際工程應(yīng)用相差甚遠(yuǎn)；宏觀唯象本構(gòu)模型基于試驗(yàn)結(jié)果來(lái)描述SMA的力學(xué)響應(yīng)特性，從工程應(yīng)用角度來(lái)說(shuō)，更為實(shí)用[6]。作為宏觀唯象本構(gòu)模型的典型代表，Graesser-Cozzarelli(G-C)模型因不涉及SMA復(fù)雜的微觀結(jié)構(gòu)，且定義了適用于實(shí)際工程計(jì)算使用的宏觀參數(shù)體系，而在結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[7]。但G-C模型由于沒(méi)有相變約束條件，所以無(wú)法描述應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變結(jié)束后馬氏體相SMA的硬化特性。

鑒于此，本文首先對(duì)G-C模型進(jìn)行數(shù)值仿真，分析各參數(shù)變化對(duì)超彈性SMA滯回曲線的影響，明確G-C模型存在的不足，指出G-C模型改進(jìn)方向。然后，通過(guò)在G-C模型中引入馬氏體硬化項(xiàng)，描述超彈性SMA在大應(yīng)變幅值工況下的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，并對(duì)超彈性SMA滯回曲線進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證模型的有效性。最后，借鑒機(jī)械領(lǐng)域的齒條齒輪加速器，設(shè)計(jì)一種具有自復(fù)位功能的位移放大型SMA減震裝置，并以一個(gè)自復(fù)位SMA減震裝置控制的框架結(jié)構(gòu)為例，探討本文建立的超彈性SMA唯象本構(gòu)模型在工程結(jié)構(gòu)被動(dòng)減震控制領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值。

2 G-C宏觀唯象本構(gòu)模型

2.1 G-C模型概述

Graesser和Cozzarelli等在經(jīng)典Bouc-Wen模型[8]的基礎(chǔ)上，建立了一種相對(duì)簡(jiǎn)單并且比較實(shí)用的本構(gòu)模型，其增率形式的表達(dá)式為:

式中:σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；Ea為變形模量；Eam為非彈性變形模量；β為背應(yīng)力；σms為屈服應(yīng)力閾值；c、a、n為控制SMA滯回曲線形狀的材料參數(shù)；ha為控制SMA滯回曲線在非彈性范圍內(nèi)斜率的常數(shù)；fT為描述不同溫度下SMA狀態(tài)的參量，當(dāng)fT＝0時(shí)，G-C模型退化為經(jīng)典的Bouc-Wen模型；erf(x)和u(x)分別為誤差函數(shù)和單位階躍函數(shù)，誤差函數(shù)erf(x)可保證卸載后逆相變完成時(shí)殘余應(yīng)變?yōu)榱?，其表達(dá)式為:

2.2 超彈性SMA遲滯曲線仿真

依據(jù)G-C模型，通過(guò)Matlab中Simulink模塊對(duì)超彈性SMA遲滯曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。圖1為0.1 Hz頻率、2%應(yīng)變振幅加載條件下，各參數(shù)對(duì)超彈性SMA遲滯曲線的影響，相關(guān)仿真參數(shù)見(jiàn)表1。由圖1a可知，超彈性SMA遲滯曲線的尺寸及卸載段平臺(tái)高度對(duì)參數(shù)fT較為敏感，隨著fT的增大，遲滯曲線卸載段平臺(tái)不斷增高，而遲滯曲線尺寸不斷減??；由圖1b可知，參數(shù)a對(duì)SMA遲滯曲線形狀有較大影響，參數(shù)a越小，超彈性SMA遲滯曲線越飽滿(mǎn)，形狀越接近“梭形”；由圖1c可知，當(dāng)參數(shù)c小于0.01時(shí)，遲滯曲線的形狀對(duì)該參數(shù)不敏感。

表1 超彈性SMA遲滯曲線的仿真參數(shù)值

圖1 G-C模型中各參數(shù)對(duì)超彈性SMA遲滯曲線的影響

2.3 G-C模型的不足

通過(guò)上述G-C模型的參數(shù)分析，可以明確G-C模型存在3點(diǎn)不足:(1)模型沒(méi)有相變約束條件，無(wú)法描述應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變結(jié)束后馬氏體相SMA的硬化特性；(2)erf(x)中被積函數(shù)沒(méi)有原函數(shù)，不能使用牛頓—萊布尼茲公式求解，只能做近似計(jì)算；(3)式(1)中(σ－β)計(jì)算結(jié)果可能為負(fù)值，當(dāng)n為實(shí)數(shù)而非整數(shù)值時(shí)，計(jì)算可能無(wú)意義。上述G-C模型的不足為下文模型的改進(jìn)指明了方向。

3 SMA馬氏體硬化特性及改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型

3.1 SMA馬氏體硬化特性描述

G-C模型由于沒(méi)有相變約束條件，所以無(wú)法描述應(yīng)力誘發(fā)馬氏體相變結(jié)束后馬氏體相SMA的硬化特性。 Wilde等[9]、Zhang等[10－11]和張振華等[12]通過(guò)在G-C模型中加入馬氏體硬化項(xiàng)，描述了超彈性SMA在大應(yīng)變幅值工況下的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系。本節(jié)對(duì)上述學(xué)者描述SMA馬氏體硬化特性的方法進(jìn)行回顧，并進(jìn)一步指出相關(guān)方法的不足，為下文改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型的建立奠定基礎(chǔ)。

Wilde等對(duì)G-C模型進(jìn)行了拓展，考慮了大應(yīng)變幅值工況下SMA的馬氏體硬化特性，模型具體表達(dá)式為:

式中，函數(shù)uⅠ(ε)、uⅡ(ε)和uⅢ(ε)的表達(dá)式分別為:

Wilde等將超彈性SMA的恢復(fù)力響應(yīng)通過(guò)式(8)～式(10)劃分為三部分。當(dāng)應(yīng)變超出馬氏體相變結(jié)束時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變值εmf后，超彈性SMA恢復(fù)力曲線轉(zhuǎn)化為以Es為馬氏體硬化段的變形模量。uⅡ(ε)函數(shù)的引入使SMA恢復(fù)力曲線在向馬氏體硬化段轉(zhuǎn)換時(shí)更加平滑。雖然Wilde等建立的模型可描述大應(yīng)變幅值工況下SMA的馬氏體硬化特性，但遺憾的是，模型中引入過(guò)多不具有物理意義的參數(shù)，例如α1、α2和α3，這些參數(shù)的合理取值范圍不容易被確定。此外，(σ－β)可能為負(fù)值，當(dāng)n為實(shí)數(shù)而非整數(shù)值時(shí)，計(jì)算可能無(wú)意義。

Zhang等在Wilde等建立模型基礎(chǔ)上，對(duì)應(yīng)力增率和背應(yīng)力的表達(dá)式進(jìn)行了修正，修正表達(dá)式為:

式中，函數(shù)uⅠ(ε)、uⅡ(ε)、uⅢ(ε)、K(ε)和g(t)的表達(dá)式分別為:

相比于Wilde等建立的模型，Zhang等建立的模型更為穩(wěn)定，運(yùn)算速度更快，但超彈性SMA恢復(fù)力響應(yīng)仍然被劃分為多個(gè)部分，開(kāi)關(guān)標(biāo)志較多，模型較為復(fù)雜。張振華等建立的模型與上述Wilde等以及Zhang等建立的模型類(lèi)似，同樣是通過(guò)多個(gè)開(kāi)關(guān)部分來(lái)描述SMA的馬氏體硬化特性，此處不予贅述。需注意，式(6)～式(17)中未解釋含義的參數(shù)可參見(jiàn)G-C模型。

3.2 改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型的建立

參考上述G-C系列模型，建立一種形式簡(jiǎn)單且能夠描述SMA在大應(yīng)變幅值下馬氏體硬化特性的唯象本構(gòu)模型，具體表達(dá)式為:

式中:Es為馬氏體硬化段的變形模量；εmf為馬氏體相變結(jié)束對(duì)應(yīng)應(yīng)變值；其余參數(shù)含義與G-C模型相同。

由式(18)～式(20)的表達(dá)式可知，本文提出的改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型的應(yīng)力率和背應(yīng)力計(jì)算公式延續(xù)了原始G-C模型的表達(dá)形式，并克服了n只能取實(shí)數(shù)而非整數(shù)的限制。為了描述SMA在大應(yīng)變幅值下的馬氏體硬化特性，改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型在應(yīng)力率計(jì)算公式中添加了S(ε)函數(shù)，其具體表達(dá)式見(jiàn)式(20)。相比于3.1節(jié)介紹的模型，本文建立的改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型形式更為簡(jiǎn)單，各參數(shù)物理意義也更為明確。

采用改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型對(duì)發(fā)生馬氏體硬化特性的超彈性SMA單向拉伸應(yīng)力－應(yīng)變曲線進(jìn)行數(shù)值仿真，使用的材料參數(shù)見(jiàn)表2。圖2為0.1 Hz頻率、7%應(yīng)變振幅加載條件下的仿真結(jié)果。由圖2可知，改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型可以描述超彈性SMA在大應(yīng)變幅值工況條件下的馬氏體硬化特性。

圖2 超彈性SMA單向拉伸應(yīng)力－應(yīng)變曲線

表2 材料參數(shù)

4 改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型的應(yīng)用

4.1 位移放大型SMA減震裝置

本小節(jié)借鑒機(jī)械領(lǐng)域的齒條齒輪加速器，設(shè)計(jì)一種具有自復(fù)位功能的位移放大型SMA減震裝置，構(gòu)造如圖3所示，并以該減震裝置控制的單層單跨框架結(jié)構(gòu)為例，對(duì)改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型在結(jié)構(gòu)被動(dòng)減震控制應(yīng)用中的可行性進(jìn)行研究和討論。該減震裝置主要包括:閉式防護(hù)殼、滑動(dòng)導(dǎo)桿、連接桿、SMA絲、導(dǎo)向輪、滑塊、傳動(dòng)齒輪、六角法蘭帶齒螺栓。閉式防護(hù)殼左右側(cè)壁各有兩個(gè)六角法蘭帶齒螺栓；SMA絲固定于六角法蘭帶齒螺栓和滑塊之間；滑動(dòng)導(dǎo)桿和連接桿與受控結(jié)構(gòu)相連，當(dāng)受控結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時(shí)，將帶動(dòng)滑動(dòng)導(dǎo)桿往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滑動(dòng)導(dǎo)桿產(chǎn)生位移通過(guò)傳動(dòng)齒輪傳遞給滑塊，進(jìn)而帶動(dòng)SMA絲發(fā)生變形。為提高SMA耗能性能，本文設(shè)計(jì)安裝于滑動(dòng)導(dǎo)桿與滑塊間的位移放大裝置。小齒輪直徑r，大齒輪直徑R，滑動(dòng)導(dǎo)桿利用小齒輪帶動(dòng)復(fù)合齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，大齒輪帶動(dòng)滑塊發(fā)生放大R/r倍的位移。定義R/r為放大系數(shù)α，相對(duì)滑動(dòng)導(dǎo)桿、滑塊的位移將被放大α倍。

圖3 具有位移放大功能的自復(fù)位SMA減震裝置

該位移放大型SMA減震裝置的恢復(fù)力FSMA-D可表示為:

式中:σ為SMA產(chǎn)生的恢復(fù)應(yīng)力，通過(guò)改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型計(jì)算，材料參數(shù)見(jiàn)表2。需注意，在計(jì)算該位移放大型SMA減震裝置產(chǎn)生的恢復(fù)力時(shí)，位移通過(guò)齒輪系統(tǒng)放大了α倍；ASMA為SMA的橫截面面積。在下文的控制算例分析中，將ASMA設(shè)置為12.56 mm2，SMA初始長(zhǎng)度設(shè)置為400 mm，位移放大倍數(shù)α設(shè)置為2。

4.2 被動(dòng)減震控制算例分析

圖4為位移放大型SMA減震裝置控制結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。該結(jié)構(gòu)為單層單跨剪切型框架，結(jié)構(gòu)的跨度為1 200 mm，層高為800 mm，質(zhì)量為200 kg，層間剛度為83 480 N/m，阻尼比為5%。設(shè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量集中在樓板處，且平面內(nèi)無(wú)限剛度的樓板與無(wú)限剛度的“人字型”支撐通過(guò)位移放大型SMA減震裝置串聯(lián)。輸入的地震波為EL-Centro波，其加速度峰值為0.40 g。數(shù)值積分時(shí)的時(shí)間步長(zhǎng)取為0.02 s。

圖4 位移放大型SMA減震裝置控制結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

圖5a為減震結(jié)構(gòu)在受控與無(wú)控狀態(tài)下的位移響應(yīng)，可以看出，布置位移放大型SMA減震裝置后，結(jié)構(gòu)的層間位移得到了有效控制。受控結(jié)構(gòu)的最大層間位移由32 mm降低為11 mm，減震率高達(dá)65.62%。圖5b為位移放大型SMA減震裝置輸出的恢復(fù)力曲線，減震裝置的輸出力呈現(xiàn)出飽滿(mǎn)的滯回曲線，而且在地震結(jié)束后可以恢復(fù)到原狀，不產(chǎn)生殘余變形。綜上可知，改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值，該模型可為SMA基減震裝置力學(xué)性能的數(shù)值仿真及其在被動(dòng)減震控制中的應(yīng)用提供理論支持。

圖5 結(jié)構(gòu)被動(dòng)減震控制分析結(jié)果

5 結(jié)論

本文在G-C模型參數(shù)分析的基礎(chǔ)上，建立一種能夠描述超彈性SMA在大應(yīng)變幅值工況下應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的唯象本構(gòu)模型，并將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)被動(dòng)減震控制中。得到的結(jié)論如下:

(1)改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型可以描述超彈性SMA在大應(yīng)變幅值工況條件下的馬氏體硬化特性。

(2)位移放大型SMA減震裝置的輸出力呈現(xiàn)出飽滿(mǎn)的滯回曲線，而且在地震結(jié)束后可以恢復(fù)到原狀，不產(chǎn)生殘余變形。

(3)改進(jìn)G-C唯象本構(gòu)模型形式簡(jiǎn)單、概念明確、參數(shù)容易得到，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值，可為SMA基減震裝置力學(xué)性能數(shù)值仿真及其在被動(dòng)減震控制中的應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。