二維廣義Camassa-Holm-Kadomtsev-Petviashvili(CH-KP)方程的局部適定性

王佳敏,可雪麗,臧愛彬

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127;2.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 湖南 湘潭 411105; 3.宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院/應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心,江西 宜春 336000)

在淺水波領(lǐng)域, 經(jīng)典的模型包括Korteweg-de Vries(KdV) 方程[1]、 Camassa-Holm 方程[2-3]、Kadomtsev-Petviashvili方程[4]等。其中，Camassa-Holm方程[3]有如下表達形式:

ut-utxx+2κux+3uux=

2uxuxx+uuxxx,t>0,x∈

(1)

該方程是一個非線性色散波方程。 當κ>0時, 此方程可以模擬單向淺水波在平坦底部的傳播, 并且u(t,x)表示t時刻在水平方向x上的流體速度[3，5]。關(guān)于KP方程的詳細理論，可參考文獻[4]和[6]。

CH方程的廣義形式還可以模擬非線性波在直徑較小的圓柱形超彈性桿內(nèi)的傳播[7]。在文獻[8]中, Coclite等學(xué)者研究了廣義超彈性桿波動方程(或廣義Camassa-Holm方程)

t>0,x∈

(2)

其中，函數(shù)g:→給定,常數(shù)γ∈是根據(jù)材料常數(shù)和桿的預(yù)應(yīng)力給定。若g(u)=2κu+3u2且γ=1,則方程(2)是經(jīng)典的Camassa-Holm方程。若初值在H1()空間, 文獻 [8] 證明了方程(2)整體弱解的強連續(xù)半群的存在性, 并且得到了弱解等于強解的唯一性結(jié)果。文獻 [9] 在Xs(s>0)空間中研究了Camassa-Holm-Kadomtsev-

Petviashvili(CH-KP)方程

(ut-uxxt+κux+3uux-(2uxuxx+uuxxx))x+

uyy=0

解的局部適定性、爆破準則和劉維爾定理等。關(guān)于CH-KP方程的詳細理論可參考文獻[10-11]。

受文獻[8] 和文獻 [9] 的啟發(fā), 本文研究了二維廣義Camassa-Holm-Kadomtsev-Petviashvili (CH-KP)方程

uyy=0。

(3)

其中：u(t,x,y)表示t時刻的流體速度；g(u)∈C∞(),g(0)=0；常數(shù)γ>0。方程(3)也稱為Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程, 其CH對應(yīng)項是二維廣義超彈性桿波動方程。本文的研究思路主要來源于文獻 [9], 創(chuàng)新之處在于推廣了文獻 [9] 的研究思路及其方法的適用性, 研究得到了當g(u)∈C∞,γ>0時, 廣義CH-KP方程(3)解的局部適定性結(jié)果。

首先, 將廣義CH-KP方程(3)轉(zhuǎn)化為等價形式。令uy=vx, 則uyy=(vy)x。進而可以將方程(3)寫成下列等價形式:

(4)

(5)

G*vy=0

(6)

從而,將方程(3)轉(zhuǎn)化為

(7)

考慮到方程組(7)的結(jié)構(gòu), 下面給出Xs(s>0)空間的定義及其內(nèi)積和范數(shù), 關(guān)于其詳細內(nèi)容可參考文獻 [9]。

定義1Xs是一個希爾伯特空間, 其中s>0,

Hs(2), ?xu∈Hs(2)}。

并對于任意u∈Xs(2)賦以范數(shù)

和內(nèi)積

(?xu,?xv)Hs, ?u,v∈Xs(2),

下面給出本文的主要結(jié)論。

定理1設(shè)u0∈Xs(2),s≥2, 則存在T>0, 使得方程組(7)在空間C([0,T];Xs(2))∩C1([0,T];Xs-2(2))中存在唯一解u，滿足

此外, 解u連續(xù)依賴于初值u0。

定理2(爆破準則)設(shè)s≥2,u0∈Xs(2)且u是定理1中方程組(7)的相應(yīng)解。假設(shè)是最大存在時間, 且g(u)=u3或g(u)=u4時, 有

(8)

注記2局部適定性結(jié)果 (定理 1) 和爆破準則 (定理 2) 也對Sobolev空間Xs(Ω1×Ω2)，s≥2成立, 其中Ω1和Ω2是實數(shù)軸或單位圓P=/。

定理3假設(shè)u0∈Xs(P2),s≥2。設(shè)T0是方程組(7)在空間C([0,T];Xs(P2))∩C1([0,T];Xs-2(P2))中的解u的最大存在時間。當g(u)=ξγu2(ξ為任意常數(shù))時, 假設(shè)有一點x0∈P滿足

(9)

T0≤

如果y∈, 則空間L2()不能嵌入到空間L1()中，定理3不成立。 通過給方程(7)乘以權(quán)函數(shù), 得到了如下定理 4。

定理4固定φ∈H2(),φ≥0, 且假設(shè)u0∈Xs(2)，s≥2。設(shè)T0是方程(7)在空間C([0;T];Xs(2))∩C1([0;T];Xs-2(2))中的相應(yīng)解的最大存在時間。當g(u)=un(n=3或4)時, 假設(shè)有一個點x0∈使得其中C2滿足

則解u在有限時間T0內(nèi)爆破,滿足

注記5本文中的常數(shù)C0不一定相等，常數(shù)C也不一定相等。

研究中的主要困難是：①將文獻[9]中的函數(shù)2κu+3u2推廣到任意C∞函數(shù)g(u), 以及將2uxuxx+uuxxx項的系數(shù)1 推廣到任意正數(shù)γ, 這將會增加方程的研究難度。受文獻 [12-14]的啟發(fā), 找到g(u)的范數(shù)與u的范數(shù)之間的關(guān)系, 同時利用卷積的Young不等式和Sobolev嵌入等理論解決了主要困難。②一般的g(u)的范數(shù)與u的范數(shù)的關(guān)系式對爆破準則及其相關(guān)定理的證明不再適用。主要原因在于g(u)的范數(shù)估計式對函數(shù)u的正則性要求較高。因此, 在爆破準則及其相關(guān)定理中, 本文只論證g(u)為幾類特殊多項式函數(shù)的情況。

1 預(yù)備知識

為了便于后面局部適定性定理的證明,給出以下幾個引理。

‖fg‖Hs(2)≤C(‖Λsf‖Lp1(2)‖g‖Lq1(2)+

‖Λsg‖Lp2(2)‖f‖Lq2(2)),

其中p1,p2∈[2,+∞)和q1,q2∈(2,+∞]滿足

i) ‖[Λs,f]g‖L2(2)≤

C(‖Λsf‖L2(2)‖g‖L∞(2)+

ii) ‖[Λs,f]g‖L2(2)≤

C(‖f‖Hq0(2)‖g‖Hs-1(2)，?q0>1,

0≤s≤q0+1，

其中所有常數(shù)C與f和g無關(guān)。

引理3(Sobolev嵌入)[9]對于s≥2, 空間Xs(2)可以連續(xù)嵌入到Lip(2)空間中, 即存在一個常數(shù)C，使得‖u‖L∞(2)≤C‖u‖Xs(2)。

推論1[9]對于所有u∈Xs(2),s≥2, 則下列3個不等式成立:

iii) ‖u‖L∞≤C(‖u‖L2+‖ux‖L2+‖uy‖L∞)。

注記6在推論1中，所有C皆為正常數(shù)，且i)、ii)、iii)中的常數(shù)C不一定相等。

引理4[12]設(shè)g是上的光滑函數(shù)且g(0)=0。若u∈Hs(2)∩L∞(2),s>0, 則復(fù)合函數(shù)g°u也屬于Hs(2)∩L∞(2)空間, 并且有

‖g°u‖Hs≤C(g′,‖u‖L∞)‖u‖Hs。

引理5[12-14]若u∈L∞(2), 則復(fù)合函數(shù)g′°u,g″°u也屬于L∞(2)空間, 并且滿足

‖g′°u‖L∞≤

C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞),

‖g″°u‖L∞≤

C(g″,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞),

其中,g是上的光滑函數(shù)且g(0)=0。

2 定理1的證明

定理1的證明分為存在性和唯一性兩部分。由于其證明較為冗長, 所以先給出先驗估計, 即論證命題1, 其證明主要分兩大步:第一步對u作L2范數(shù)估計; 第二步對u作高階Xs范數(shù)估計。下面給出先驗估計及其詳細的證明過程。

命題1(Xs能量估計)設(shè)u0∈Xs(2),u是方程組(7)的光滑解, 則有:

i)當s>2時, 下列估計式成立

且存在T>0,滿足2C(γ,g′,‖u‖L∞)(‖u0‖Xs+1)T≤1,使得

2‖u0‖Xs, ?t∈[0,T]。

ii) 當s=2時, 下列估計式成立

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[(‖u‖L∞+

且存在T>0,滿足

證明第1步 對u作L2范數(shù)估計。

vy=0。

(10)

方程(10)關(guān)于u作L2內(nèi)積, 由分部積分得

(11)

接下來, 對等式(11)的右邊兩項分別估計。利用分部積分并整理可得

由分部積分與函數(shù)g(u)的光滑性可知

結(jié)合上述事實, 可以推出

(12)

第2步 對u作高階Xs范數(shù)估計。

對方程(10)變形并作用分數(shù)階算子Λs, 有

?tΛsu-?tΛsuxx+

Λs?yv=0

(13)

(14)

(15)

其中,Ai,i=1,…,4分別如下:

下面,對等式(15)右邊的A1～A4分別進行估計。結(jié)合等式uy=vx與分部積分, 有

引理1, 計算出

Cγ‖u2‖Hs‖ux‖Hs≤

同理可得

將A1～A4的估計代入等式(15)并整理可得, 對于s≥2，

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(16)

再結(jié)合Xs范數(shù)的定義,可推導(dǎo)出

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(17)

情形1當s>2時，對式(13)關(guān)于Λsu在全空間作L2內(nèi)積得

(18)

采用相似于A1的估計方法, 易得

|B1|=

C(γ)[C(g′,‖u‖L∞)+

(19)

為了得到B2的估計,首先根據(jù)分部積分和交換子的定義得到

‖[Λs,u]uxx‖L2‖ux‖Hs)≤

C(‖ux‖L∞‖ux‖Hs+‖u‖L∞‖uxx‖Hs-1+

‖uxx‖L∞‖u‖Hs)‖ux‖Hs

(20)

再結(jié)合嵌入不等式和Young不等式可得

|B2|≤C(γ)(‖u‖L∞+

因此, 將B1至B3的估計代入式(18)并整理, 有

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(21)

將式(17)和式(21)合并整理得

(22)

情形2當s=2時,空間Hs-1不能嵌入到空間L∞中，式(21)中的‖uxx‖L∞不能再利用嵌入不等式估計。因此, 對于s=2, 需要采用新的方法對u進行高階導(dǎo)數(shù)估計。受文獻 [9] 的啟發(fā), 并由推論1可知

(23)

‖uxx‖L∞≤C(‖uxx‖L2+

‖uxxx‖L2+‖uxxy‖L∞)。

(24)

?tu+γu?xu+γuxu+

G*vy=0,

(25)

?tux+γu?xux+γuxux+

Gx*vy=0,

(26)

?tuxx+γu?xuxx+2γuxuxx+

2γuxxux+γuxxxu-

γuxu+γuux+

Gxx*vy=0。

(27)

I1+I3+I4+I6,

(28)

(29)

這里,Ij,j=1,…,7,分別是

γuxux)]·uxdxdy,

γuu+γuxux)]·uxxdxdy,

繼而對I1～I7分別進行估計。根據(jù)分部積分以及函數(shù)G的性質(zhì)可得

|I3|≤(γ‖ux‖L2‖u‖L∞+

γuxux)‖L2)‖u‖L2。

(30)

C(γ)(‖g′(u)‖L∞‖u‖L2+

‖u‖L∞‖u‖L2+‖ux‖L∞‖ux‖L2)≤

C(γ)[C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+

‖u‖L∞‖u‖L2+‖u‖L∞‖ux‖L2]

(31)

結(jié)合式(30)～(31)與Young不等式可得

|I3|≤C(γ,g′,‖u‖L∞)[(1+

類似于I3的估計,可以推出

|I4|≤

|I5|≤[2γ‖ux‖L∞‖uxx‖L2+

γ‖uxxx‖L2‖u‖L∞+

γ‖ux‖L2‖u‖L∞+

γ‖u‖L∞‖ux‖L2+

γuxux)‖L2]‖uxx‖L2

(32)

采用文獻[9]中, 引理3.3的證明方法可以推出

C(γ)‖ux‖L2‖uxx‖L2

(33)

由引理5易得

C(g″,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)×

(34)

C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)‖ux‖L2。

(35)

將式(33)～(35)整理代入不等式(32), 并結(jié)合Young不等式放縮, 有

|I5|≤C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

[(1+‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)+

(36)

于是,聯(lián)立估計式I1,I3,I4,I6并代入等式(28), 可得

C(γ,g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞+

(37)

將I1～I7所有估計式聯(lián)立代入等式(29),整理得到

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[‖ux‖L2+

(38)

?tuyy+γu?xuyy+2γuyuxy+γuxuyy+

G*vyyy=0,

(39)

Gx*vyyy=0。

(40)

分別對式(39), (40)關(guān)于uyy,uxyy在全空間作L2內(nèi)積并將所得結(jié)果相加, 得到

(41)

其中

由分部積分, 函數(shù)G的性質(zhì)以及uy=vx可得

(42)

再次利用分部積分,對J2整理如下:

(43)

(44)

同理可得

(45)

C(γ)(‖ux‖L2+‖uxx‖L2)×

(46)

采用類似于式(44)的估計方法, 并結(jié)合引理5, 可推導(dǎo)出

‖uxyy‖L2≤

C(g″,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)×

(47)

使用與推算式(47)同樣的方法, 可以得到

C(g′,‖u‖L∞)(1+‖u‖L∞)×

(48)

將式(44)～(48)整理代入式(43), 適當合并可得

|J2|≤C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

{[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+1+

‖u‖L∞+‖u‖L∞+‖ux‖L2+

[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+

于是,聯(lián)立估計式J1～J4并代入式(41)可得

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

{[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+‖u‖L∞+

‖u‖L∞+‖ux‖L2+‖uxx‖L2+1]×

[(1+‖u‖L∞)‖u‖L2+

(49)

聯(lián)立式(12)、 (16)、 (38)、 (49), 可推導(dǎo)出

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[(‖u‖L∞+

(50)

一方面,當s>2時,易得

(51)

則式(51)結(jié)合式(22)可得

(52)

根據(jù)Gr?nwall[16]不等式計算可知

(53)

取T>0, 使得不等式2C(γ,g′,‖u‖L∞)(‖u0‖Xs+1)T≤1成立, 則根據(jù)bootstrap方法得到

(54)

另一方面, 當s=2時, 有

(55)

于是,式(55)結(jié)合式(50)易得

C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)[(‖u‖L∞+

(56)

由Gr?nwall不等式可得

(57)

取T>0, 使得不等式

2C(γ,g′,g″,‖u‖L∞)×

(1+‖u‖L∞)+

成立, 則由bootstrap方法得到, 式(54)仍然成立。

至此, 完成命題1的證明。

定理1的證明由命題1可知, 式(54)對?s≥2都成立。再結(jié)合方程(3), 可以得到

?t∈[0,T]

(58)

繼而可以利用逼近方法[17]與緊性理論, 通過構(gòu)造方程(7)的逼近方程, 并找滿足特定條件的逼近解, 對逼近方程取極限等步驟, 進而得到解的存在性。

接下來, 證明解的唯一性。假設(shè)u(1),u(2)是方程(7)在空間C([0;T];Xs(2))∩C1([0;T];Xs-2(2))中具有相同初值的兩個解。記δu=u(1)-u(2),δv=v(1)-v(2),則(δu,δv)滿足

(59)

首先, 取方程(59)和δu的L2內(nèi)積得:

(60)

(61)

(1-θ)u(2))(u(1)-u(2))]δudxdy|≤

C(g′,‖(u(1),u(2))‖L∞)(1+

(62)

其中θ∈(0, 1)。 又由分部積分與等式uy=vx, 易得

(63)

接下來估計D3。易知

(64)

(65)

u(2))δu]δudxdy|≤

(66)

利用分部積分,卷積的Young不等式與引理3, 可得估計式

‖δu‖L2≤

(67)

將式(65)～(67)代入式(64), 適當合并可得

(68)

將式(61)～(63), 式(68)代入等式(60)得到:

C(γ,g′,‖(u(1),u(2))‖L∞)(1+

(69)

(70)

其中

(71)

(72)

(73)

繼而估計E2。

(74)

(75)

C(γ)(‖(u(1)+u(2))‖L∞‖δu‖L2+

‖u(1)+u(2)‖L∞‖δu‖L2)‖δu‖L2≤

(76)

關(guān)鍵是估計E2,3。利用分部積分與卷積的性質(zhì),整理得到

(77)

(78)

(79)

將式(78)～(79)代入式(77)可知

(80)

將式(75)、(76)、(80)代入等式(74)可得估計式

(81)

(1-θ)u(2))δuu(2)]·δudxdy|≤

C[C(g′,‖u(1)‖L∞)+

C(g″,‖(u(1),u(2))‖L∞)‖u(2)‖X2]×

(82)

由分部積分易得

(83)

將式(73), (81)～(83)代入式(72), 有

C(γ)[1+C(g′,‖u(1)‖L∞)+

C(g″,‖(u(1),u(2))‖L∞)‖u(2)‖X2]×

(84)

于是,式(69)與式(84)聯(lián)立可以推出:

C(g′,‖(u(1),u(2))‖L∞)+

C(g″,‖(u(1),u(2))‖L∞)‖u(2)‖X2]×

(85)

因此, 方程組(7)在空間C([0,T];Xs(2))∩C1([0,T];Xs-2(2))中存在唯一解u。此外, 根據(jù)式(54), 可以證明解u在空間Xs中連續(xù)依賴于初值u0。定理1證畢。

3 定理 2的證明

定理2的證明和文獻 [9] 的爆破準則證明思路相同, 但證明過程更為復(fù)雜。為使問題簡單化, 本文只論證g(u)=u3和g(u)=u4的情況。

情形1g(u)=u3。先驗估計的證明思路與命題1類似, 因此只給出不同部分的推算過程。為了證明的簡單化, 只證明s=2的情況。根據(jù)命題1可得

其中A1,A3,A4的估計與命題1相同。當g(u)=u3時,

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2)(‖u‖L2+

則對于s≥2，

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(1+‖u‖L∞+

(86)

C(γ)‖u‖L∞‖ux‖L2‖u‖L2≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

對I4的估計采用類似于I3的證明方法, 可以推出

|I4|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

接下來估計

γuxu+γuux+Gx*

γuxux)]·uxxdxdy|。

C‖u‖L∞‖u‖L4‖ux‖L4‖uxx‖L2≤

C‖u‖L∞(‖u‖L2+

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2)(‖u‖L∞+1)×

結(jié)合上述兩個不等式, 就有

|I5|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)[(‖u‖L2+

于是,聯(lián)立估計式I1,I3,I4,I6可得

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(87)

將I1～I7所有估計式聯(lián)立并整理得到

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)[(‖u‖L2+1)×

(88)

(89)

從而,聯(lián)立式(88)和式(89), 有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(90)

(91)

exp{C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

接下來估計J1～J5。如命題1的證明, 易得J3=J4=0。關(guān)鍵是估計

γuuyy]uxyydxdy。

類似于式I5的估計方法,可推導(dǎo)出

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(92)

使用與式(92)同樣的方法, 可以得到

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L2+1)×

(93)

將式(92)～(93)代入式J2, 整理得

|J2|≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ){[(‖u‖L2+1)×

于是,聯(lián)立估計式J1～J4可得

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(94)

將式(12),(86),(88),(94)聯(lián)立可推導(dǎo)出

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

將估計式(91)代入上式, 有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

其中,

情形2g(u)=u4。先驗估計的證明思路與命題1類似, 因此只給出不同部分的推算過程。為了證明的簡單化, 只證明s=2的情況。根據(jù)命題1可得

其中A1,A3及A4的估計與命題1相同。當g(u)=u4時,

利用乘積估計迭代可得

(95)

再結(jié)合推論1與式(12)可得

(96)

則有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(97)

γuu+γuxux)]·udxdy|≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(98)

類似可得

|I4|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(99)

接下來估計

γuxxxu-6u2uxu-2u3ux+

γuxu+γuux+Gx*(2u3u-γuu+

γuxux)]·uxxdxdy|

(100)

由推論1可以推出

(101)

C‖uy‖L∞‖ux‖L2‖u‖L2‖ux‖L2‖uxx‖L2≤

(102)

所以

|I5|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(103)

則有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+1)×

(104)

‖u0x‖L2,γ)(‖u‖L∞+

(105)

(106)

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)[‖u‖L∞+

(107)

(108)

其中

exp{C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

接下來估計

由推論1與式(12)可得

‖uy‖L∞‖uxyy‖L2≤

‖uy‖L∞‖uxyy‖L2≤

(109)

C‖uy‖L∞‖ux‖L2‖u‖L2×

‖uyy‖L2‖uxyy‖L2≤

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2)‖u‖L∞×

(110)

其他項如命題1中的估計,因此得到

|J2|≤C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(111)

所以

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(112)

聯(lián)立式(12)、(97)、(105)及式(112), 并利用式(108), 有

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

C(‖u0‖L2,‖u0x‖L2,γ)×

(113)

根據(jù)Gr?nwall不等式計算可知, 對所有t∈

其中，

4 定理 3和定理 4的證明

為了證明定理3,引入以下引理。

引理6[9,18]設(shè)u∈H1(P)。對任意α,β∈, 下面的卷積估計式成立

I(α,β)u2(x), ?x∈P

(114)

其中I(α,β)是最佳常數(shù),

βα=inf{β∈ (0,+∞)|β2+

I(α,β)-α≥0}。

關(guān)于卷積估計的更詳細理論, 讀者可參考文獻[18]。

4.1 定理 3的證明

對方程(7)關(guān)于y在 [0,1] 上積分可得

(115)

對方程(7)關(guān)于x求導(dǎo), 然后在[0,1]上關(guān)于y積分可得

(116)

設(shè)q(t,x,y)是粒子軌跡, 定義為

γu(t,q(t,x,y),y),q(0,x,y)=x

(117)

則有

(118)

以及

(119)

定義兩個關(guān)于時間t的函數(shù)如下:

ux(t,q(t,x0,y),y)dy,

(120)

ux(t,q(t,x0,y),y)dy。

(121)

直接計算可得

(122)

則有

(123)

當g(u)=ξγu2時,根據(jù)引理6和βξ的定義可得

(124)

(125)

u0x(x0,y)dy>0

(126)

(127)

(128)

(129)

(130)

關(guān)于時間在[0,t]上積分可得

(131)

T0≤

<∞。

故定理 3得證。

注記3的證明g(u)=ηu2與g(u)=ξγu2的證明思路類似。因此, 只給出相異部分的計算。利用引理6和βη,γ的定義可得

(132)

(133)

推論2[9]假設(shè)初值u0滿足定理 3或注記 3中的條件。設(shè)T0是相應(yīng)解的爆破時間,T0>0。則可以得到在T0時刻的爆破率滿足

(134)

證明?ε>0， 對于?t∈ (T0-ε,T0), 由定理 3 的證明可得式(129)以及式(130)。 對式(130)關(guān)于時間在[t,T0]上積分可得

(135)

(136)

4.2 定理 4的證明

對式(7)關(guān)于x求導(dǎo), 在等式兩端乘以φ(y), 然后關(guān)于y在上積分, 可得

(137)

(138)

所以

(139)

γE(u0)‖φ‖L∞

(140)

(141)

將各項估計式代入式(138), 則有

(142)

(143)

所以存在一個時間T滿足