三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組在移動(dòng)區(qū)域上弱解的整體存在性

張師豪，王麗真

(1.西北大學(xué) 非線性科學(xué)研究中心,陜西 西安 710127；2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

在物理學(xué)中,噴霧指的是一種懸浮在氣體(如空氣)中的微小粒子的混合物,可以由流體和粒子通過(guò)摩擦力耦合得到的模型來(lái)描述。近年來(lái),流體-粒子耦合模型已被廣泛研究,并被應(yīng)用于各個(gè)方面,如大氣污染、沉降問(wèn)題[1-2]、汽油發(fā)動(dòng)機(jī)和柴油發(fā)動(dòng)機(jī)中的燃料噴射器、火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射器等工業(yè)原件[3-4]。本文考慮了三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組在移動(dòng)區(qū)域Ωt上弱解的整體存在性,方程組形式如下

(1)

其中ρ(t,x)∈,u(t,x)∈3,p(t,x)∈分別為流體密度、速度以及壓力,f(t,x,v)∈為粒子的密度分布函數(shù),μ>0為流體的黏性系數(shù)。

考慮如下的初邊值條件,其中初始條件為

(2)

邊界條件為

(3)

在本文,設(shè)T>0為有限常數(shù),B為3中的開(kāi)球,Ω?3為有界開(kāi)集且為?Ω的單位外法向量,c1為正常數(shù)。此外,定義映射A∈C2(+×3;3),即

使得?t∈[0,T],At是一個(gè)C1-微分同胚,在Bc中At=id。且在3中當(dāng)t=0時(shí),A0=id(id為3上的恒等映射)。定義歐拉速度ω滿足

?tA(t,y)=ω(t,At(y)),(t,y)∈[0,T]×3。

由上述At的假設(shè)知,

ω(t,x)≡0,(t,x)∈(0,T)×Bc。

ηt(x)>0},

ηt(x)=0},

ηt(x)>0},?t∈[0,T]。

近年來(lái),流體-粒子耦合模型解的適定性研究被廣泛關(guān)注,許多學(xué)者研究了該模型解的存在性并得到了一系列經(jīng)典的結(jié)論。對(duì)于不可壓縮的情形,最早的結(jié)果是Hamdache[5]考慮了在有界區(qū)域中Vlasov-Stokes方程組弱解的整體存在性和大時(shí)間行為。其次,Boudin等[6]證明了三維周期區(qū)域中不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組弱解的整體存在性,他們將其結(jié)果在文獻(xiàn)[7]中推廣到了移動(dòng)區(qū)域。Yu[8]證明了二維和三維有界區(qū)域中弱解的整體存在性。接著，Wang等[9]將其結(jié)果推廣到了非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組情形。接下來(lái),Chen等[10]基于能量估計(jì)和弱收斂方法證明了非齊次不可壓縮MHD與Vlasov方程耦合模型弱解的整體存在性。對(duì)于可壓縮情形的結(jié)果相對(duì)較少,Mellet等[11]證明了可壓縮Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck方程組弱解的整體存在性,并基于相對(duì)熵方法在文獻(xiàn)[12]中得到了該方程組的流體動(dòng)力學(xué)極限。對(duì)于其他相關(guān)模型解的存在性,Baranger等[3]證明了可壓縮Euler-Vlasov方程組經(jīng)典解的局部存在性。其次,Mathiaud[14]證明了Euler-Vlasov-Boltzmann方程組經(jīng)典解的局部存在性。然而,到目前為止,三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組在移動(dòng)區(qū)域中弱解的整體存在性還未解決。本文基于文獻(xiàn)[7]的想法,假設(shè)流體的初始密度有下界,得到了三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組在移動(dòng)區(qū)域中弱解的整體存在性。

本文證明的是三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組在移動(dòng)區(qū)域上弱解的整體存在性。與文獻(xiàn)[7]相比,在證明過(guò)程中會(huì)遇到一些困難。首先,考慮初邊值問(wèn)題(1)～(3)時(shí)需處理密度函數(shù)ρ(t,x)和分布函數(shù)f(t,x,v)的存在唯一性。其次,利用弱收斂方法,在逼近方程組(12)中關(guān)于n取極限的過(guò)程中,由于無(wú)法得到估計(jì)

1 主要結(jié)論及逼近系統(tǒng)的構(gòu)造

首先規(guī)定

1.1 能量不等式

(4)

對(duì)式(1)第2式兩邊同乘以(u-ω)并在Ωt上積分,并利用式(4)得

(5)

(6)

將式(5)與式(6)相加,可得

(7)

結(jié)合邊界條件式(3)第2式知,

(8)

再利用

代入式(7)可得,

(9)

其中,

對(duì)式(9)兩邊關(guān)于時(shí)間在(0,t)上積分得

Eρ,u,f(0)。

(10)

此外,對(duì)式(1)第1式在Ωt上積分,并利用式(4)得

對(duì)式(1)第4式在Ωt×3上積分,并利用式(4)和式(8)得

從而式(10)可以進(jìn)一步改寫為如下形式,

(11)

利用Gr?nwall不等式,得

[CEρ,u, f(0)+C(ω,ρ0,f0,μ)T]eC(ω,ρ0,f0,μ)T。

為定義三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組的初邊值問(wèn)題(1)～(3)的弱解,引入以下空間[7]:

監(jiān)管部門應(yīng)針對(duì)法律法規(guī)，制定出一套以碳會(huì)計(jì)信息披露系統(tǒng)為基礎(chǔ)的監(jiān)管體系，及時(shí)監(jiān)督企業(yè)的碳會(huì)計(jì)信息披露情況。對(duì)碳信息披露不及時(shí)或消極披露碳信息的企業(yè)，要制定一套獎(jiǎng)懲體系，明確責(zé)任，加大對(duì)碳會(huì)計(jì)信息的重視，將企業(yè)碳會(huì)計(jì)信息披露與信譽(yù)關(guān)聯(lián)，對(duì)企業(yè)未來(lái)的經(jīng)營(yíng)形成一定影響。

L2(0,T;H1(Ωt))=

V={ψ∈L2(0,T;H1(Ωt))|divψ=0},

此外對(duì)任意p∈[1,∞),有

L∞(0,T;Lp(Ωt×3))={f為可測(cè)函數(shù)3×3))},

1.2 主要結(jié)論及預(yù)備知識(shí)

在給出主要結(jié)論之前，首先定義三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組的初邊值問(wèn)題(1)～(3)的弱解。

定義1稱(ρ,u,f)為三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組的初邊值問(wèn)題(1)～(3)的弱解,如果下列條件成立:

iii)u-ω∈V0;

vii) ?ψ∈V且對(duì)幾乎處處的t∈[0,T],

viii) ?φ∈W,?t∈[0,T],

定理1三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-

Vlasov方程組的初邊值問(wèn)題(1)～(3)在定義1的意義下至少存在一個(gè)弱解(ρ,u,f)。

為了證明定理1,下面將陳述本文中所需的主要引理。

引理2[7](Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理)

設(shè)E為一個(gè)Banach空間,θ:E×[0,1]→E是一個(gè)連續(xù)映射,且將E×[0,1]中的有界集映為E中的相對(duì)緊集。記θσ=θ(·,σ),如果θ0=0以及集合{u|θσ(u)=u,σ∈[0,1]}在E中有界,則θ1在E中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

1.3 構(gòu)造逼近系統(tǒng)

下面構(gòu)造問(wèn)題(1)～(3)的逼近系統(tǒng),具體步驟如下:

第1步 將方程組(1)第2式中的對(duì)流項(xiàng)正則化,為保證逼近系統(tǒng)的能量估計(jì),同時(shí)將方程組(1)第1式中對(duì)應(yīng)的u正則化;

第3步 由于摩擦力項(xiàng)f(u-v)控制系統(tǒng)的耦合項(xiàng),為了利用文獻(xiàn)[17-18]中關(guān)于非齊次不可壓縮Navier-Stokes方程組的標(biāo)準(zhǔn)存在性和正則性結(jié)果,這里需截?cái)喾匠探M(1)第2式等式右邊的耦合項(xiàng)。此外,為了保持逼近系統(tǒng)的能量估計(jì),在方程組(1)第4式中也做相同的截?cái)?。為?引入一個(gè)遞增且有界的奇函數(shù)χ∈C∞()滿足?z∈[0,∞),0≤χ(z)≤z。并且當(dāng)z∈3時(shí),χ(z)=(χ(z1),χ(z2),χ(z3))。

構(gòu)造問(wèn)題(1)～(3)的逼近系統(tǒng)如下:

(12)

(13)

2 逼近系統(tǒng)解的存在性

本節(jié)將利用引理2證明逼近系統(tǒng)(12)～(13)弱解的存在性。

(14)

其中u0滿足逼近系統(tǒng)(12)～(13)所定義的初值條件。故Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理中映射θ可以定義為

2.1 ρu和fu的存在唯一性

2.1.1fu的存在唯一性fu的存在唯一性已由文獻(xiàn)[7]給出證明,為了文章結(jié)構(gòu)完整,現(xiàn)陳述如下:

考慮Vlasov方程初邊值問(wèn)題

(15)

其中,函數(shù)G(t,x,v),f0(x,v)給定。首先給出Vlasov方程初邊值問(wèn)題(15)的弱解定義。

定義2[7]若對(duì)任意測(cè)試函數(shù)φ∈W,且φ(T,·)=0有

引理3[7](fu的存在性定理)

exp(T‖divvG‖L∞(0,T;L∞(B×3)))

‖f0‖L1(Ω×3)∩L∞(Ω×3)。

引理4[7](跡定理)

(16)

引理5[7](fu的唯一性定理)

令f∈L∞(0,T;L1(3×3))∩L∞(0,T;L∞(3×3))為Vlasov方程初邊值問(wèn)題(15)在定義2下的弱解,并且3))+L1(0,T;L∞(B×3)),則f≡0。

現(xiàn)令上述引理中G(t,x,v)=χ(u-v),可得Vlasov方程初邊值問(wèn)題(15)有唯一弱解fu。

2.1.2ρu的存在唯一性

考慮下述問(wèn)題

(17)

(18)

下面考慮Q(t,x)∈D(×3), 且對(duì)任意

s∈,x∈3,下述微分系統(tǒng)

ρ(t,x)=ρ0(xs(0))。

ρ(t,x)≥c1,

因此得到下述命題:

ρ(t,x)≥c1,

下面考慮問(wèn)題(17)弱解ρu的唯一性。假設(shè)ρ1,ρ2都為問(wèn)題(17)在定義3的弱解,且

接下來(lái)只需證明ρ≡0,即可說(shuō)明問(wèn)題(17)弱解的唯一性。

證明由于ρ為問(wèn)題(17)在定義3下的弱解,取非負(fù)函數(shù)φ(x)∈D(3)使得

從而,

故

2.2 逼近系統(tǒng)解的存在性

要證明逼近系統(tǒng)(12)～(13)解的存在性,需證明Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理所滿足的條件:

i) 映射θ的良定性;

ii) 映射θ:E×[0,1]→E的連續(xù)性和緊性;

iii) 集合{u|θσ(u)=u,σ∈[0,1]}在E中的有界性。

若以上條件成立,則θ1至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即可證明逼近系統(tǒng)(12)～(13)解的存在性。

首先，證明映射θ的良定性。

現(xiàn)已將式(14)第1式中的對(duì)流項(xiàng)正則化,利用文獻(xiàn)[17-18]中非齊次不可壓縮Navier-Stokes方程組的標(biāo)準(zhǔn)存在性和正則性理論,只需證明

L2((0,T)×B),

由于

|λ|(‖u‖L2((0,T)×B)+‖ω‖L2((0,T)×B)),

其次，證明映射θ:E×[0,1]→E的連續(xù)性和緊性。

考慮序列(un,σn)∈E×[0,1],且當(dāng)n→∞時(shí),(un,σn)→(u,σ)。對(duì)?n∈*,令要證θ的連續(xù)性,即證在空間E中

H1(0,T;L2(B))∩L2(0,T;H2(B))∩

由文獻(xiàn)[17-18]中非齊次不可壓縮Navier-Stokes方程組的標(biāo)準(zhǔn)存在性和正則性理論知,

‖f0‖L1(Ω×3)∩L∞(Ω×3)),

最后，證明集合{u|θσ(u)=u,σ∈[0,1]}在E中的有界性。

(19)

在式(16)中取t0=0,t1=t,G=χ(u-v),β(z)=z,ψ=|v|2,得

(20)

(21)

將式(21)乘以σ，再加上式(19)得

(22)

(23)

由Gr?nwall不等式,

故{u|θσ(u)=u,σ∈[0,1]}在E中有界。此時(shí),由Schaefer不動(dòng)點(diǎn)定理,逼近系統(tǒng)(12)～(13)弱解的存在性得證。

3 定理1的證明

在第2節(jié)中已證明逼近系統(tǒng)(12)～(13)弱解的存在性。故對(duì)任意n∈*,(ρn,un,fn)是下述逼近系統(tǒng)的解

(24)

其中{φn}為磨光序列,截?cái)嗪瘮?shù)列{χn}是一個(gè)遞增的有界奇函數(shù)列,且滿足對(duì)?n∈*,

{χn}?C∞(),

此外,系統(tǒng)(24)補(bǔ)充定義了以下初值條件:

(ρn(t,x),un(t,x),fn(t,x,v))|t=0=

在Lp(Ω×3)(1≤p<∞)中,

在L∞(Ω×3)中,

對(duì)于上面的逼近系統(tǒng)(24),需要得到一個(gè)類似于式(23)的估計(jì),但這個(gè)估計(jì)不能依賴于正整數(shù)n。類似于式(22),可得

(25)

(26)

從而,

(27)

將式(25)與式(27)相加,結(jié)合|χn(z)|2≤

χn(z)·z得

(28)

由Gr?nwall不等式得

(29)

且當(dāng)n→∞時(shí)

故

在L∞(0,T;L∞(3×3))中,

在L2(0,T;L2(B))中,un?u,un?u;

在L∞(0,T;L∞(3×3))中,

其中,

φn‖L6(B)‖ψ‖L3(B)≤

C‖ψ‖L3(0,T;W1,3(B))。

利用fn(t,x,v)關(guān)于v具有緊支集知,

C‖ψ‖L3(0,T;W1,3(B))。

從而,

利用文獻(xiàn)[15]中定理2.4知,

在Lθ(0,T;L3θ(B))中,un→u,

由式(29)和引理1知,

可得,

其中常數(shù)C與n無(wú)關(guān)。故

從而在分布的意義下,有

div[(ρn(un*φn)?un)]→

故三維非齊次不可壓縮Navier-Stokes-Vlasov方程組在移動(dòng)區(qū)域上弱解的整體存在性得證。