感受數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)習(xí)力

文／朱月紅

（作者單位：江蘇省泰州市高港區(qū)教師發(fā)展中心）

二元一次方程（組）是一元一次方程的延伸，也是后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。同學(xué)們在學(xué)習(xí)時，自覺滲透數(shù)學(xué)思想方法，有利于形成完整的知識框架和知識體系，體驗(yàn)舊知識生長出新知識，新知識轉(zhuǎn)化成舊知識的美妙，提高學(xué)習(xí)力。

一、類比學(xué)習(xí)，明晰概念

從一元一次方程的概念，我們可以發(fā)現(xiàn)，“方程”是由“元”和“次”來確定的。當(dāng)“元”（未知數(shù)的個數(shù)）增加，“次”不變時，就會得到二元一次方程、三元一次方程……n元一次方程；當(dāng)“次”（未知數(shù)的最高次數(shù)）增加，“元”不變時，就會得到一元二次方程、一元三次方程……一元n次方程。顯然，二元一次方程是一元一次方程增加了一“元”且“次”不變。類比已學(xué)知識可以獲得新知識，九年級我們還會研究“一元二次方程”，有興趣的同學(xué)可以提前探究一番。當(dāng)然，二元一次方程還有一個隱含條件——整式方程。下面，我們回到概念來解決問題。

例如，下列方程：①3x+9=2y，②xy=6，，是二元一次方程的有__________。

根據(jù)二元一次方程的概念，一個方程如果是二元一次方程，就要滿足3個條件：1.含有兩個未知數(shù)；2.含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1；3.是整式方程。方程①③④滿足條件，是二元一次方程；方程②中，含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2，是二元二次方程。所以，判斷一個方程是不是二元一次方程，我們只要按照概念逐一比對即可?！盎氐礁拍睢笔且环N有效的解題策略。

二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化，“二元”降為“一元”

同學(xué)們還記得解“一元一次方程”的基本步驟嗎？一般的一元一次方程有幾個解？類似地，如何解二元一次方程（組）呢？它的解又有幾對？形式上，從一元一次方程到二元一次方程（組），是從“一元”上升到“二元”。而在解決問題時，我們常常把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識。因此，解二元一次方程（組）理應(yīng)從“二元”回歸“一元”，“代入”“加減”消元法應(yīng)運(yùn)而生。

解二元一次方程組的基本方法有兩種，即代入法和加減法。注意事項(xiàng)主要有兩點(diǎn)，一是不可循環(huán)代入，二是解完方程需檢驗(yàn)。

由①，得x=5-2y。③

將③代入②，得2（5-2y）+y=7。

解這個一元一次方程，得y=1。

將y=1代入①，得x=3。

二元一次方程中有兩個未知數(shù)，它們之間相互制約，導(dǎo)致一個二元一次方程有無數(shù)個解。而把兩個方程放在一起組成二元一次方程組，再把二元一次方程組化歸到一元一次方程，方程的解就從無限變成有限了。一般情況下，二元一次方程組有唯一的解。感興趣的同學(xué)可以深究三元一次方程組，從三元到二元，最后化歸到最簡單的一元一次方程。那么，對于“元”不變但“次”增加的方程，如何來解呢？聰明的你有思路嗎？對于上例，我們也可以整體考慮：①+②→3x+3y=12。同學(xué)們，你有什么發(fā)現(xiàn)？

三、方法遷移，正確建立方程模型

與一元一次方程一樣，二元一次方程（組）也是反映實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的模型。同學(xué)們先回憶一下，利用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟有哪些？（設(shè)、找、列、解、答、驗(yàn)。）

我們來看一道題目。《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，書中有這樣一題：今有共買物，人出八，盈三，人出七，不足四，人數(shù)、物價各幾何？大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，最后多3 元；每人出7 元，最后少4 元。問：有多少人？該物品價格是多少？

列二元一次方程組解決問題，首先要理解題意，分析數(shù)量關(guān)系，找出相等關(guān)系，然后列出方程組。相等關(guān)系是建立方程組模型的關(guān)鍵，可以從題目中找，也可以借助表格、示意圖進(jìn)行分析。此題從“每人出8元，最后多3元；每人出7元，最后少4元”中，可以找到相等關(guān)系。設(shè)共有x人，物品價格是y元，相等關(guān)系是：x×8-3=y，x×7+4=y，據(jù)此列出方程組解之，得數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系、螺旋上升的。只有有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，才能將新知與舊知聯(lián)系在一起，新知識才因有“根”而“成活”，進(jìn)而成為“活”的知識。類比一元一次方程明晰概念，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想探究解法，在方程模型中感知問題的本質(zhì)，相信同學(xué)們再遇到“多元”或“高次”方程時，也能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法自主解決問題。