基于差分進(jìn)化和聚類方法的入選原礦分類

周 冶 王慶凱 余 剛

(1.礦冶科技集團(tuán)有限公司，北京102628；2.礦冶過程自動(dòng)控制技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京102628)

鉭鈮是耐高溫、耐腐蝕、可塑性好的稀有金屬，是國(guó)民經(jīng)濟(jì)和國(guó)防軍工發(fā)展必不可少的重要原材料，目前鉭鈮廣泛應(yīng)用于電子、精密陶瓷和精密玻璃工業(yè)、電聲光器件、硬質(zhì)合金、生物醫(yī)學(xué)工程、核工業(yè)、航天工業(yè)、超導(dǎo)工業(yè)、特種鋼等產(chǎn)業(yè)[1]。鉭鈮選礦有自己的特點(diǎn)，鉭鈮礦多以伴生礦床為主，鉭鈮品位低，嵌布粒度細(xì)，礦物組成復(fù)雜，因此鉭鈮礦選礦多為多金屬選礦，產(chǎn)品多且工藝流程復(fù)雜，選礦難度大[2]。

目前，我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，去產(chǎn)能和供給側(cè)改革成為國(guó)內(nèi)眾多生產(chǎn)制造企業(yè)的主旋律。全球礦山行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)加劇，新形勢(shì)下越來(lái)越多的礦山企業(yè)認(rèn)識(shí)到推進(jìn)生產(chǎn)精細(xì)化、透明化，實(shí)現(xiàn)企業(yè)內(nèi)外資源合理配置的迫切性與重要性。某鉭鈮礦是具有規(guī)模化采、選能力的大型鉭鈮礦山企業(yè)，是國(guó)內(nèi)主要的鉭鈮、鋰原料生產(chǎn)基地。經(jīng)過幾十年的開采，鉭鈮原礦品質(zhì)整體在下降，鉭鈮選礦成本也不斷提高。為了解不同入選原礦的選礦結(jié)果差異與變化趨勢(shì)，更準(zhǔn)確制定生產(chǎn)計(jì)劃，合理進(jìn)行生產(chǎn)調(diào)度，本文從鉭鈮選礦生產(chǎn)工藝流程考慮，進(jìn)行物料平衡分析，運(yùn)用差分進(jìn)化算法分析計(jì)算每種原礦在各個(gè)生產(chǎn)環(huán)節(jié)中的物料變化情況，在此基礎(chǔ)上結(jié)合聚類的方法對(duì)入選原礦進(jìn)行分類。

進(jìn)化算法(Evolutionary algorithms)是一類模擬自然界生物自然選擇與自然進(jìn)化的隨機(jī)搜索算法，相較于傳統(tǒng)方法在求解高度復(fù)雜的非線性問題上具有明顯優(yōu)勢(shì)，且具有較好的通用性。選礦行業(yè)是典型的復(fù)雜流程工業(yè)，選礦過程伴隨著物理變化和化學(xué)變化，過程機(jī)理復(fù)雜，具有多變量、非線性、大滯后和強(qiáng)耦合等特性[3]，進(jìn)化算法也被廣泛應(yīng)用于選礦生產(chǎn)中。顧清華運(yùn)用自適應(yīng)的遺傳算法求解基于采選流程的多金屬多目標(biāo)配礦優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，保證了礦石品位的均衡性以及礦石的可選性[4]；任宏陽(yáng)運(yùn)用改進(jìn)的人工魚群算法結(jié)合支持向量機(jī)回歸原理對(duì)浮選精礦品位和回收率進(jìn)行預(yù)測(cè)，為現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際操作提供指導(dǎo)，取得了較好的效果[5]。

圖1 選礦生產(chǎn)過程流程圖Fig.1 Mineral processing flowsheet

1 最小化物料平衡誤差目標(biāo)模型

1.1 生產(chǎn)流程與物料平衡分析

鉭鈮礦選礦工藝復(fù)雜，選廠的產(chǎn)品主要為鉭鈮精礦、鋰云母精礦和長(zhǎng)石粉。選廠選礦生產(chǎn)分為破碎篩分、磨礦重選、綜合回收三個(gè)工段，具體的選礦生產(chǎn)流程如圖1所示。本研究中用物料變化系數(shù)k0、k1、k2、k3、k4、k5、k6、k7、k8和k9描述各個(gè)生產(chǎn)環(huán)節(jié)中的物料變化情況，每個(gè)系數(shù)都有實(shí)際的生產(chǎn)意義。k0是磨礦、重選入選比；k1是主廠房重選選礦比；k2是泥礦重選選礦比；k3是鋪布鉭鈮精礦選礦比；k4是浮選選礦比；k5是重選尾礦分級(jí)進(jìn)入回收工段的分級(jí)比；k6是主廠房重選尾礦中細(xì)粒級(jí)分級(jí)溢流比例；k7是重選尾礦脫泥比；k8是隔粗比；k9是細(xì)泥分級(jí)比。各個(gè)環(huán)節(jié)相關(guān)的指標(biāo)與物料變化系數(shù)的理論推導(dǎo)關(guān)系見式(1～7)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(1-k0)(1-k2)k5]k8Qraw

(5)

(6)

(1-k0)(1-k2)k5]Qraw+

[(1-k0)(1-k2)(1-k5)+

k0k6](1-k3)Qraw+

(1-k1-k6)(1-k7)(1-k9)k0Qraw

(7)

1.2 最小化物料平衡誤差目標(biāo)模型

在現(xiàn)有生產(chǎn)工藝下，各個(gè)環(huán)節(jié)中的物料變化系數(shù)是由原礦的性質(zhì)決定的，根據(jù)生產(chǎn)報(bào)表原礦入選的物料變化系數(shù)k0、k1和k2可以直接計(jì)算。k3是由其余物料變化系數(shù)決定的，研究中需先確定其他物料變化系數(shù)，因此需要進(jìn)一步研究計(jì)算的物料變化系數(shù)是k4、k5、k6、k7、k8和k9，傳統(tǒng)的方程求解很難精準(zhǔn)計(jì)算，本文采用進(jìn)化算法尋找近似最優(yōu)解。本文以k4、k5、k6、k7、k8和k9為決策變量，計(jì)算各產(chǎn)品的產(chǎn)量，將最小化每個(gè)理論產(chǎn)量與報(bào)表中的真實(shí)數(shù)據(jù)誤差作為優(yōu)化目標(biāo)，即最小化物料平衡誤差，建立目標(biāo)模型見式(8)。

(8)

(9)

(10)

(11)

決策變量都是介于0和1之間的系數(shù)。此外，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，鋪布選礦流程的入選原礦主要來(lái)自于磨礦、重選細(xì)粒級(jí)溢流和泥礦重選尾礦，選礦難度最大，選礦比小于主廠房磨重工段的重選選礦比(具體見式(12～13))。

(12)

k4,k5,k6,k7,k8,k9∈[0,1]

(13)

根據(jù)生產(chǎn)工藝流程可知，細(xì)長(zhǎng)石粉和鋰云母精礦的總產(chǎn)量一定小于主廠房重選尾礦量，粗長(zhǎng)石粉、細(xì)長(zhǎng)石粉、鋰云母精礦和尾礦的總量一定大于主廠房重選尾礦量，主廠房的鉭鈮精礦量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于鋰云母精礦產(chǎn)量和長(zhǎng)石粉產(chǎn)量(具體見式(14))，故可以忽略不計(jì)。

(14)

2 基于差分進(jìn)化算法的物料變化系數(shù)計(jì)算

2.1 差分進(jìn)化算法概述

差分進(jìn)化算法(Differential evolution，簡(jiǎn)稱DE)作為一種新型、高效的啟發(fā)式并行搜索技術(shù)，是由Store和Price于1997年提出的一種基于群體差異的啟發(fā)式并行搜索方法[6]，通過對(duì)現(xiàn)有優(yōu)化方法進(jìn)行大膽的揚(yáng)棄，使其具有收斂快、控制參數(shù)少、設(shè)置簡(jiǎn)單、優(yōu)化結(jié)果穩(wěn)健等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)進(jìn)化算法的理論和應(yīng)用研究具有重要的學(xué)術(shù)意義[7]。

差分進(jìn)化算法相對(duì)于遺傳算法而言，相同點(diǎn)都是通過隨機(jī)生成初始種群，以種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值為選擇標(biāo)準(zhǔn)，主要過程也都包括變異、交叉和選擇三個(gè)步驟，具體的算法流程見圖2。不同之處在于遺傳算法是根據(jù)適應(yīng)度值來(lái)控制父代雜交，變異后產(chǎn)生的子代被選擇的概率值，在最大化問題中適應(yīng)值大的個(gè)體被選擇的概率相應(yīng)也會(huì)大一些。而差分進(jìn)化算法變異向量是由父代差分向量生成，并與父代個(gè)體向量交叉生成新個(gè)體向量，直接與其父代個(gè)體進(jìn)行選擇。相對(duì)于遺傳算法，差分進(jìn)化算法的逼近效果更加顯著。

圖2 差分進(jìn)化算法流程Fig.2 Flowsheet of differential evolution algorithm

2.2 物料變化系數(shù)計(jì)算

本文研究中的實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)以某種入選原礦在某生產(chǎn)周期內(nèi)報(bào)表的統(tǒng)計(jì)為準(zhǔn)。某入選原礦某段時(shí)間的相關(guān)生產(chǎn)指標(biāo)數(shù)據(jù)匯總?cè)绫?所示。

表1 某周期內(nèi)相關(guān)生產(chǎn)指標(biāo)數(shù)據(jù)

結(jié)合表1中的數(shù)據(jù)，將其帶入目標(biāo)模型，使用差分進(jìn)化算法進(jìn)行物料變化系數(shù)的計(jì)算，并與傳統(tǒng)經(jīng)典遺傳算法進(jìn)行比較。模型的決策變量維數(shù)n為6，其中φ取0.05，遺傳算法參數(shù)設(shè)置中，最大進(jìn)化代數(shù)為100，種群規(guī)模M為50，變異概率為0.2，交叉概率CR為0.7；差分算法參數(shù)設(shè)置中，最大進(jìn)化代數(shù)為100，種群規(guī)模M為50，縮放因子F為0.5，交叉概率CR為0.7；遺傳算法與差分進(jìn)化算法求解過程中種群個(gè)體平均目標(biāo)值和種群最優(yōu)個(gè)體目標(biāo)值收斂情況如圖3和圖4所示。

圖3 遺傳算法進(jìn)化過程種群個(gè)體目標(biāo)值收斂情況Fig.3 Convergence of individual objective value in evolutionary process of GA

圖4 差分進(jìn)化過程種群個(gè)體目標(biāo)值收斂情況Fig.4 Convergence of individual objective value in evolutionary process of DE

圖3和圖4對(duì)比可以看出，差分算法的表現(xiàn)明顯優(yōu)于傳統(tǒng)遺傳算法。差分進(jìn)化最后一代種群中個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值接近0，標(biāo)準(zhǔn)差接近0，差分進(jìn)化算法取得了較好的收斂性和穩(wěn)定性，更為高效，40代左右就達(dá)到了最優(yōu)。隨機(jī)運(yùn)算多次結(jié)果匯總?cè)绫?所示。

表2 隨機(jī)運(yùn)算多次數(shù)據(jù)結(jié)果

表2中每一次運(yùn)算的目標(biāo)值都接近0，即每一組都是一組最優(yōu)解。所求物料變化系數(shù)中大多數(shù)系數(shù)都在很小的區(qū)間波動(dòng)，只有系數(shù)k5在較大的范圍波動(dòng)，表2中系數(shù)k5最小值為0.763 687，最大值0.952 422，該系數(shù)表示泥礦入選尾礦分級(jí)進(jìn)入回收工段生產(chǎn)粗長(zhǎng)石粉的比例，礦石性質(zhì)和各個(gè)環(huán)節(jié)人工作業(yè)對(duì)該系數(shù)的影響很大。系數(shù)波動(dòng)的絕對(duì)區(qū)間越大，對(duì)分類結(jié)果影響越大，必須減少系數(shù)k5的波動(dòng)對(duì)分類結(jié)果的影響，研究中將每種礦石的報(bào)表數(shù)據(jù)在該模型下求解100次，取100次求解結(jié)果中系數(shù)k5平均值，選取最接近k5平均值的一組求解結(jié)果作為該種礦石的物料變化系數(shù)。

將表1數(shù)據(jù)帶入計(jì)算100次并算出物料變化系數(shù)k5平均值，求出系數(shù)k5的均值為0.843 823 2，全部輸出結(jié)果按系數(shù)k5的均值誤差從小到大進(jìn)行排序，前5組數(shù)據(jù)匯總?cè)绫?所示，該入選原礦的物料變化系數(shù)即為第一組系數(shù)。重復(fù)以上方法計(jì)算已知14批入選原礦的物料變化系數(shù)，結(jié)果如表4所示。

表3 結(jié)果排序前5組

表4 14批入選原礦物料變化系數(shù)匯總

3 基于聚類方法的入選原礦分類

3.1 聚類方法和K-Means概述

聚類算法是經(jīng)典的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，有實(shí)用、簡(jiǎn)單和高效的特性。聚類過程為特征提取，根據(jù)數(shù)據(jù)之間相似度進(jìn)行分簇，以達(dá)到同一簇中的數(shù)據(jù)對(duì)象相似度高、不同簇中的數(shù)據(jù)相似度低的目的。傳統(tǒng)的聚類算法可分為：分區(qū)聚類、層次聚類、基于密度的聚類、基于模型的聚類和基于網(wǎng)格的聚類[8]。本文選取經(jīng)典的K-Means算法進(jìn)行原礦的分類研究。

K-Means是機(jī)器學(xué)習(xí)中最為經(jīng)典和常用的聚類算法之一，是一種迭代求解的算法，通過樣本點(diǎn)與聚類中心的距離衡量數(shù)據(jù)之間相似度，屬于無(wú)監(jiān)督算法[9]。K-Means是通過計(jì)算樣本與聚類中心點(diǎn)之間的距離進(jìn)行劃分聚類。主要包含兩層內(nèi)容：初始中心點(diǎn)個(gè)數(shù)(計(jì)劃聚類數(shù))K和中心點(diǎn)到其他數(shù)據(jù)點(diǎn)距離的平均值means。先隨機(jī)設(shè)置K個(gè)特征空間內(nèi)的初始聚類中心，計(jì)算其他點(diǎn)到每個(gè)中心點(diǎn)的距離，最近的作為標(biāo)記類別，然后重新計(jì)算每個(gè)類的新中心點(diǎn)，重復(fù)之前操作直至中心點(diǎn)不再變化?；谝陨嫌?jì)算方法通過入選原礦的物料變化系數(shù)對(duì)原礦進(jìn)行分類，本文中使用歐式距離度量，即n維空間內(nèi)點(diǎn)a(x11,x12,…,x1n)與b(x21,x22,…,x2n)之間的距離，其關(guān)系見式(15)。

(15)

K-Means聚類中需要注意的就是常數(shù)K的確定，即分多少類可以使用輪廓系數(shù)法確定最合理的K值。輪廓系數(shù)的計(jì)算方法見式(16)。

(16)

公式(16)中ai是樣本i在同類別內(nèi)到其它點(diǎn)的平均距離，bi是樣本i到最近不同類別中樣本的平均距離。平均輪廓系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，系數(shù)越大，聚類效果越好。簇內(nèi)樣本的距離越近，簇間樣本距離越遠(yuǎn)。

3.2 原礦分類計(jì)算

研究中采用K-Means方法對(duì)物料變化系數(shù)進(jìn)行分類，從而對(duì)原礦種類進(jìn)行區(qū)分。輪廓系數(shù)法可以很好地確定合適的類別數(shù)，平均輪廓系數(shù)的取值范圍為[-1,1]。類別數(shù)為1類或者14類就沒有意義，類別過少會(huì)受到異常點(diǎn)的影響，類別過大會(huì)造成樣本均衡問題。類別數(shù)最少為2類，最多為13類，這里將所有可能的類別數(shù)進(jìn)行輪廓系數(shù)法循環(huán)計(jì)算。全部可能的類別數(shù)下的輪廓系數(shù)計(jì)算匯總?cè)绫?所示。

表5 不同類別數(shù)的平均輪廓系數(shù)

從表5可以看出，當(dāng)類別數(shù)K為5時(shí)，平均輪廓系數(shù)(Average silhouette score)約等于0.339，是所有分類可能中的最大值。將表4中所有種類原礦的物料變化系數(shù)的匯總數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使用python的sklearn庫(kù)可以迅速調(diào)用K-Means方法將所有入選原礦進(jìn)行分類，分類結(jié)果如表6。

表6 分類結(jié)果

3.3 分類后物料變化系數(shù)計(jì)算

前面的研究工作中運(yùn)用K-Means方法將原礦分為5類，分類后每一類入選原礦的物料變化系數(shù)需要重新確定。其中第3類的入選原礦只有一種原礦，其物料變化系數(shù)由所屬的第14種原礦確定，不需要重新確定。其余類別的原礦物料變化系數(shù)求解的問題模型建立在1.2節(jié)中模型的基礎(chǔ)上。假設(shè)其中某類所屬原礦種類的集合為A，該模型的優(yōu)化目標(biāo)是最小化全部所屬種類原礦在同一物料變化系數(shù)下的理論值與報(bào)表數(shù)據(jù)的誤差和，即：

(17)

式中，

公式(17)中λi、λ1,i、λ2,i和λ3,i是放縮系數(shù)，Qk是常數(shù)，A是當(dāng)前類別下所屬原礦種類的集合。該類別下物料變化系數(shù)中k0、k1、k2、k3取全部所屬種類原礦相應(yīng)系數(shù)的平均值，決策變量仍然是k4、k5、k6、k7、k8、k9，約束條件則是該類別下每種原礦在同一物料變化系數(shù)下的理論值與報(bào)表數(shù)據(jù)的誤差不超過φ。

對(duì)于任意i∈A，則有

(18)

(19)

(20)

決策變量都是介于0和1之間的系數(shù)，鋪布選礦的入選原礦主要來(lái)自于磨重細(xì)粒級(jí)溢流和重選尾礦，選礦難度最大，選礦比小于主廠房磨重工段的重選選礦比(見式(22))。

k4,k5,k6,k7,k8,k9∈[0,1]

(21)

(22)

其中Qk設(shè)置為5 000，φ取0.05。再次沿用差分進(jìn)化算法對(duì)分類后各類別原礦的物料變化系數(shù)求解，模型的維數(shù)n為6，差分算法設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)為100，種群規(guī)模M為50，縮放因子F設(shè)置為0.5，交叉概率CR設(shè)置為0.7。在該模型下運(yùn)算100次，取100次結(jié)果中系數(shù)k5平均值，選取系數(shù)k5最接近平均值的一組求解結(jié)果作為該種礦石的物料變化系數(shù)，最終確定所有類別原礦的物料變化系數(shù)，匯總?cè)绫?。

表7 各類別原礦物料變化分析系數(shù)

4 結(jié)論

為了更好了解不同批次入選原礦的情況，本文針對(duì)鉭鈮選廠不同入選原礦的選礦結(jié)果差異開展了入選原礦的分類研究。首先結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)工藝流程開展物料與金屬平衡分析，研究各個(gè)生產(chǎn)環(huán)節(jié)中的物料變化情況；然后以最小化物料平衡誤差為目標(biāo)建立求解各個(gè)環(huán)節(jié)物料變化系數(shù)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)比傳統(tǒng)經(jīng)典遺傳算法，差分進(jìn)化算法明顯具有更好的收斂性與穩(wěn)定性；運(yùn)用差分算法多次運(yùn)算確定合適的物料變化系數(shù)，以物料變化系數(shù)作為分類指標(biāo)，結(jié)合K-Means方法進(jìn)行分類，再運(yùn)用差分進(jìn)化算法確定合理的各個(gè)類別的物料變化系數(shù)。通過對(duì)入選原礦的分類，調(diào)度人員可以很好地了解入選原礦的變化趨勢(shì)，為制定采選生產(chǎn)計(jì)劃、進(jìn)行合理地生產(chǎn)調(diào)度提供參考。