多種進(jìn)化算法混合解決約束工程優(yōu)化問(wèn)題研究

李清霞

東莞城市學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，廣東 東莞 523419

在科學(xué)和工程領(lǐng)域，諸如航班調(diào)度和網(wǎng)絡(luò)負(fù)載均衡等問(wèn)題都是約束優(yōu)化問(wèn)題（constrained optimization problem，COP）[1]，并且至今仍是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。由于約束優(yōu)化問(wèn)題在科學(xué)及工程問(wèn)題中的重要性，許多處理約束優(yōu)化問(wèn)題的算法被提出[2-7]。基于梯度的優(yōu)化方法作為處理約束優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)典型方法得到了廣泛的應(yīng)用，但是后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)基于梯度的優(yōu)化方法不足以解決所有的約束優(yōu)化問(wèn)題，特別是對(duì)于具有多個(gè)局部最優(yōu)解的優(yōu)化問(wèn)題。因此，進(jìn)化算法應(yīng)運(yùn)而生。該類(lèi)算法不需要使用任何梯度信息，而且更容易實(shí)現(xiàn)，更為重要的是其能以最低的計(jì)算效率得到最優(yōu)解。

近幾十年來(lái)，進(jìn)化算法得到了空前的發(fā)展，特別是能夠處理約束優(yōu)化問(wèn)題的進(jìn)化算法，主要包括遺傳算法（genetic algorithm，GA）[2]、粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）[3]、差分進(jìn)化算法（differential evolution，DE）[4]、蜜蜂算法（artificial bee colony，ABC）[5]、共生生物搜索算法（symbiotic organisms search，SOS）[6]和風(fēng)驅(qū)動(dòng)水波優(yōu) 化 算 法（ wind-driven water wave optimization，WDWWO）[7]等。這些進(jìn)化算法大多數(shù)都是受自然啟發(fā)的，這意味著它們起源于生態(tài)系統(tǒng)中生物的行為或相互作用。例如，差分進(jìn)化算法源自于種群進(jìn)化選擇過(guò)程，粒子群優(yōu)化算法取自生物體的運(yùn)動(dòng)行為，共生生物搜索算法來(lái)自生態(tài)系統(tǒng)中生物體的共生相互作用。在所有進(jìn)化算法中，都是從初始種群開(kāi)始搜索，并將其引導(dǎo)到具有更好適應(yīng)值的解。然而根據(jù)“沒(méi)有免費(fèi)的午餐”理論[8]，沒(méi)有哪種單一的進(jìn)化算法能夠?qū)λ械募s束優(yōu)化問(wèn)題都具有良好的優(yōu)化效果。這是因?yàn)樗羞M(jìn)化算法對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題求解都存在各自的優(yōu)勢(shì)，即不同的進(jìn)化算法都存在著各自的優(yōu)缺點(diǎn)，某一類(lèi)進(jìn)化算法可能只適合于求解某些類(lèi)型的約束優(yōu)化問(wèn)題，這使得混合多種進(jìn)化算法求解約束優(yōu)化問(wèn)題成為了可能。

混合多種進(jìn)化算法就是使混合的各算法相互合作，提高求解優(yōu)化問(wèn)題的性能[9]。因此許多著名的進(jìn)化算法的組合已經(jīng)被提出用于解決約束優(yōu)化 問(wèn) 題， 如PSGA[10]、PSO-DE[11]、GWO-DE[12]、HCS-LSAL[13]、HABCDE[14]等。這 些 混合進(jìn)化 算法（如PSGA）與其他單一的進(jìn)化算法相比，能夠通過(guò)較少的函數(shù)評(píng)估次數(shù)就可獲得最優(yōu)解。

為了設(shè)計(jì)出更好的混合進(jìn)化算法，則需要了解每一種進(jìn)化算法的優(yōu)勢(shì)和不足，也需要在搜索過(guò)程中充分平衡探索和勘探，以獲得最佳的搜索結(jié)果。探索和勘探本質(zhì)上是相互矛盾的，如差分進(jìn)化算法在探索過(guò)程中表現(xiàn)良好，那么它在勘探性搜索中就會(huì)表現(xiàn)得很弱，反之亦然。粒子群優(yōu)化算法是一種基于種群的算法，在面對(duì)多模態(tài)函數(shù)時(shí)，它往往很快收斂到一個(gè)局部極小值，從而錯(cuò)過(guò)了全局最優(yōu)的機(jī)會(huì)。共生生物搜索算法是一種簡(jiǎn)單而強(qiáng)大的進(jìn)化算法，它模擬了生物在生態(tài)系統(tǒng)中生存和繁殖所采取的共生互動(dòng)策略。該算法的主要優(yōu)點(diǎn)是不需要在算法開(kāi)始時(shí)設(shè)置任何特定的參數(shù)[6]。利用這種優(yōu)勢(shì)，只需設(shè)置幾個(gè)參數(shù)就可以與其他進(jìn)化算法進(jìn)行混合。差分進(jìn)化算法在種群擇優(yōu)選擇的時(shí)候存在偶然性，它按概率進(jìn)行擇優(yōu)，選擇更優(yōu)的種群進(jìn)行迭代。另外，粒子群優(yōu)化算法具有學(xué)習(xí)策略，即在每次迭代中，它為種群中的每個(gè)元素存儲(chǔ)最優(yōu)的子代。共生生物搜索算法雖然沒(méi)有采用學(xué)習(xí)策略存儲(chǔ)每個(gè)生物體的最優(yōu)解，但它的最優(yōu)解卻會(huì)影響下一代的迭代結(jié)果。利用每種進(jìn)化算法的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合它們的進(jìn)化特性，彌補(bǔ)各自的不足，本文提出了一種混合差分進(jìn)化、粒子群優(yōu)化和共生生物搜索的進(jìn)化算法（簡(jiǎn)稱(chēng)HDPS）用以解決約束工程優(yōu)化問(wèn)題。由于以往混合的進(jìn)化算法基本上都是兩類(lèi)進(jìn)化算法的組合，導(dǎo)致了求解約束優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)并沒(méi)有完全展現(xiàn)出來(lái)。因此我們將差分進(jìn)化、粒子群優(yōu)化和共生生物搜索這3 種進(jìn)化算法結(jié)合起來(lái)，通過(guò)改進(jìn)的懲罰函數(shù)和互利操作控制算法的可行性及多樣性，達(dá)到求解約束優(yōu)化工程問(wèn)題的最佳效果。這3 種算法的結(jié)合不僅沒(méi)有增加執(zhí)行時(shí)間，而且大大減少了執(zhí)行時(shí)間，即HDPS 算法具有較低的時(shí)間復(fù)雜度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與其他非混合或混合的進(jìn)化算法相比，HDPS 算法能夠更快地解決大多數(shù)約束優(yōu)化問(wèn)題，并且具有更高的成功率。

1 相關(guān)背景

1.1 約束優(yōu)化問(wèn)題

一般搜索空間S中的約束優(yōu)化問(wèn)題可由如下幾個(gè)方面構(gòu)成[1]：

1）目標(biāo)函數(shù)f(x)；

2）可行解向量x= (x1,x2, … ,xd)；

3）約束變量C=c1,c2, … ,cm為可行解滿(mǎn)足的約束條件。

其中d為問(wèn)題空間維度，m為約束條件個(gè)數(shù)。一般的約束優(yōu)化問(wèn)題可表示為

式中：gj(x)≤0 和hj(x)=0 分別表示q個(gè)不等式約束和m-q個(gè)等式約束，ui和li分別為向量xi的上界和下界。

1.2 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是目前最流行、應(yīng)用最廣泛的基于種群優(yōu)化的進(jìn)化算法，依賴(lài)于偶然性搜索[4]。在差分進(jìn)化算法中，種群大小一般設(shè)為N，每個(gè)種群中包含d維個(gè)體向量，t為迭代次數(shù)。差分進(jìn)化算法主要有3 種操作：變異，交叉和選擇。

1）變異：通過(guò)變異操作隨時(shí)產(chǎn)生新的目標(biāo)向量，計(jì)算公式為

式中：xi,t=[xi,1,t,xi,2,t,…,xi,d,t]，其中i=1, 2,…,N，t為當(dāng)前種群的代數(shù)；F為縮放因子，是[0, 1]的隨機(jī)數(shù)。

2）交叉：交叉操作主要產(chǎn)生試驗(yàn)變量ui,t，計(jì)算公式為

式中：i=1, 2,…,N,j=1, 2,…,d；jrand為[1,d]的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)；randj(0, 1)為對(duì)于每個(gè)j產(chǎn)生[0,1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

3）選擇：以一定的概率從種群中選擇更優(yōu)的個(gè)體進(jìn)入下一代。一般，選擇過(guò)程是一種基于適應(yīng)度的優(yōu)勝劣汰的過(guò)程。

1.3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法首先是由Kennedy 等[3]提出的，其靈感來(lái)源于自然界中鳥(niǎo)類(lèi)或魚(yú)類(lèi)等生物的運(yùn)動(dòng)行為。它為種群中的每個(gè)個(gè)體調(diào)整策略，以搜索一個(gè)目標(biāo)函數(shù)空間。這些個(gè)體被稱(chēng)為粒子，并用xi表示。在粒子群優(yōu)化算法中，首先在搜索空間中建立粒子的初始種群。在d維搜索空間中，每個(gè)粒子都有速度，速度用vi表示。每個(gè)粒子的最佳位置pbesti和種群的最佳位置gbest在每次迭代中存儲(chǔ)和更新，即粒子群優(yōu)化算法的本質(zhì)就是利用迭代過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行最優(yōu)化求解。假設(shè)t是迭代次數(shù)，則粒子群優(yōu)化算法中粒子的速度和位置更新計(jì)算為

1.4 共生生物搜索算法

共生生物搜索算法是由Cheng 等[6]提出來(lái)的一種進(jìn)化算法，其靈感來(lái)源于生態(tài)系統(tǒng)中生存的共生生物。共生生物搜索算法模擬了生態(tài)系統(tǒng)中成對(duì)生物關(guān)系的共生交互行為，試圖尋找合適的生物。在共生生物搜索算法中，種群中的個(gè)體被稱(chēng)為生物體，每個(gè)生物體代表搜索空間中的一個(gè)點(diǎn)。共生生物搜索算法的一個(gè)顯著優(yōu)勢(shì)就是不需要在算法開(kāi)始階段設(shè)置特定的參數(shù)，因此共生生物搜索算法比較容易實(shí)現(xiàn)，它的主要運(yùn)算操作是采用類(lèi)似于生物相互作用的互利共生、偏利共生和寄生操作更新每次迭代中有生物位置。即在每一個(gè)階段，如果這種關(guān)系使生物體i或j的適應(yīng)值更好，生物體的位置就會(huì)更新。

1）互利共生：互利共生主義就是對(duì)建立共生關(guān)系的2 個(gè)生物體都有利。例如與種群中第i個(gè)成員對(duì)應(yīng)的生物體xi和隨機(jī)選擇的生物體xj建立了共生關(guān)系，他們都希望在生態(tài)系統(tǒng)中增加彼此的生存優(yōu)勢(shì)，并從中受益，則生物體xi和xj的新位置可以表示為

式中：M為生物體xi和xj之間的關(guān)系；B1和B2為獲益因子，它們表示共生作用對(duì)于每個(gè)生物體的獲益情況，一般隨機(jī)取值1 或2；xbest為目前為止的最優(yōu)個(gè)體。

2）偏利共生：偏利共生是指對(duì)建立共生關(guān)系的2 個(gè)生物體中的一方有利，另一方不受影響（既不意味著獲益也不意味著受害）。與互利共生相似，在這一階段，生物體xj隨機(jī)地與生物體xi相互作用，但只有生物體xi受益于共生關(guān)系，而對(duì)生物體xj沒(méi)有影響。其更新計(jì)算公式為

3）寄生：寄生是指對(duì)建立共生關(guān)系的2 個(gè)生物體中的一方有利，同時(shí)另一方受害。例如在瘧蚊與人的關(guān)系中可以看到寄生現(xiàn)象，蚊子有益，人受到傷害。由于在這個(gè)階段有一個(gè)生物體受到傷害，就必須殺死受傷害的生物體，并用另一個(gè)替代它。此時(shí)，隨機(jī)選擇生物體xj作為寄生蟲(chóng)載體的受害者，然后生物體xi在搜索空間中隨機(jī)選擇某些維度創(chuàng)建寄生向量。如果寄生蟲(chóng)載體比選擇的xj更好，那么它會(huì)殺死xj并占據(jù)它的位置；否則xj將對(duì)寄生蟲(chóng)有免疫力，并且可以比寄生蟲(chóng)活得更長(zhǎng)。

2 混合進(jìn)化算法HDPS

2.1 算法思想

對(duì)于混合進(jìn)化算法HDPS，采用差分進(jìn)化算法從父輩選擇最優(yōu)的子代，這有助于粒子群優(yōu)化算法在更優(yōu)的子代中找到最優(yōu)解，并幫助共生生物搜索算法在共生互動(dòng)中獲得更好的生存機(jī)會(huì)。差分進(jìn)化算法與共生生物搜索算法組合后，由差分進(jìn)化算法的變異和交叉操作產(chǎn)生更多優(yōu)質(zhì)的種群。共生生物搜索算法將利用這些優(yōu)質(zhì)的種群進(jìn)行迭代，而不是使用自己產(chǎn)生的種群迭代。在通過(guò)差分進(jìn)化算法選擇最優(yōu)種群之后，再使用粒子群優(yōu)化算法對(duì)比鄰居種群以獲得更好的解。因此在HDPS 算法中，迭代種群中的每一個(gè)個(gè)體都可以保證是最優(yōu)的。HDPS 算法步驟也可以這樣理解：在每個(gè)迭代周期中，首先采用差分進(jìn)化算法產(chǎn)生初始種群，并運(yùn)用差分進(jìn)化算法的變異、交叉和選擇操作產(chǎn)生最優(yōu)子種群xbest，每個(gè)子種群包括了速度、位置、代價(jià)和最優(yōu)經(jīng)驗(yàn)值等4 個(gè)參數(shù)。然后通過(guò)粒子群優(yōu)化算法檢查鄰居的解以獲得更好的解。在這個(gè)階段，如果位置移動(dòng)能夠?yàn)閭€(gè)體帶來(lái)更好的適應(yīng)值，那么就更新位置，否則不作任何改變；如果個(gè)體的最優(yōu)適應(yīng)值優(yōu)于xbest（全局最優(yōu)），那么就更新xbest；所以粒子群優(yōu)化算法通過(guò)速度公式檢查該區(qū)域，并存儲(chǔ)每個(gè)個(gè)體的最優(yōu)適應(yīng)值并更新全局最優(yōu)。最后通過(guò)共生生物搜索算法的共生相互作用（互利、偏利和寄生）使它們獲得更好的適應(yīng)值；即如果個(gè)體交互得到了更好的適應(yīng)值，則更新個(gè)體的適應(yīng)值，否則不變。

2.2 改進(jìn)的懲罰函數(shù)

懲罰函數(shù)是一種比較簡(jiǎn)單可行的約束處理技術(shù)， 主 要 用 于 控 制1～2 個(gè) 約 束 條 件。 但在HDPS 算法中，必須要處理2 個(gè)以上的多個(gè)約束條件，因此就需要對(duì)傳統(tǒng)的懲罰函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)以使HDPS 算法有更好的搜索性能。在HDPS 算法中，改進(jìn)的懲罰函數(shù)能夠處理多個(gè)不等式或等式約束。對(duì)于違反約束條件的情況，則設(shè)違反約束程度為非零（ki=1），對(duì)于沒(méi)有違反約束條件的情況，則設(shè)違反約束程度為零（ki=0）。違反約束計(jì)算可表示為

懲罰函數(shù)的本質(zhì)就是將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題來(lái)控制約束，如式(8)所示。在式(7)和式(8)中，φ(x)是新的目標(biāo)函數(shù)，ri是控制參數(shù)（違反約束因子），Vi是第i個(gè)約束沖突，ε=10-4。當(dāng)解不可行時(shí)，ki=1，否則ki=0。在HDPS 算法中，對(duì)于所有求解的問(wèn)題，違反約束因子ri=10。

2.3 改進(jìn)的互利操作

為了使共生生物搜索算法在求解問(wèn)題時(shí)獲得更好的解，最優(yōu)個(gè)體xbest不需要在所有維度都和M向量做減法運(yùn)算，而是選擇一個(gè)隨機(jī)維度執(zhí)行減法運(yùn)算。假設(shè)用xbest,r表示最優(yōu)個(gè)體的一個(gè)隨機(jī)維度，Zr為{1, 2,…,d}內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)，d為維度。則采用這種改進(jìn)的互利操作后，生物體xi和xj不總是朝著最好的方向移動(dòng)，而是朝著隨機(jī)的方向移動(dòng)，這樣就給了其鄰居的機(jī)會(huì)，實(shí)現(xiàn)了種群的多樣性。改進(jìn)之后的互利操作公式為

2.4 算法步驟

根據(jù)算法思想，HDPS 算法的具體步驟偽代碼如下：

圖1 HDPS 算法流程

2.5 時(shí)間復(fù)雜度分析

HDPS 算法包括了4 個(gè)主要部分，除了初始化部分，其他3 個(gè)部分都處于循環(huán)迭代中，這3 個(gè)部分分別對(duì)應(yīng)3 種混合算法的執(zhí)行過(guò)程。因此HDPS 算法的時(shí)間復(fù)雜度由這3 種混合算法的主要操作決定，這些操作主要包括：差分進(jìn)化算法變異和交叉、粒子群優(yōu)化算法速度方程以及共生生物搜索算法交互算子（互利、偏利和寄生）。

設(shè)種群的大小為N，每個(gè)種群包含了由d維向量組成的個(gè)體。通過(guò)對(duì)算法的分析知道，差分進(jìn)化算法變異和交叉操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(Nd)，粒子群優(yōu)化算法中的速度方程和個(gè)體適應(yīng)值判斷的時(shí)間復(fù)雜度為O(Nd)，共生生物搜索算法計(jì)算個(gè)體適應(yīng)值和判斷新舊適應(yīng)值更新的時(shí)間復(fù)雜度也為O(Nd)。所以綜上所述，HDPS 算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(Nd)。

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

本文對(duì)HDPS 算法和當(dāng)前幾個(gè)比較著名的混合和非混合的進(jìn)化算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)對(duì)比測(cè)試，測(cè)試用例為壓力容器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題和減速器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)軟件環(huán)境為Matlab 2013 和Windows 10 操作系統(tǒng)，硬件環(huán)境為Intel Core i7 CPU 2.1 GHZ 和8 GB 內(nèi)存。在參數(shù)設(shè)置方面，對(duì)于差分進(jìn)化算法，交叉概率RC=0.7，縮放因子F=0.9；對(duì)于粒子群優(yōu)化算法，c1=c2=2。對(duì)于共生生物搜索算法則不需要設(shè)置參數(shù)。

3.1 壓力容器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題

壓力容器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題是約束工程優(yōu)化問(wèn)題領(lǐng)域的經(jīng)典案例之一[15]，它的結(jié)構(gòu)包括一個(gè)半球形封頭蓋和一個(gè)圓柱體。對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化的目標(biāo)是最小化生產(chǎn)總成本，包括材料成本、成形成本和焊接成本等。為了控制這些成本，在壓力容器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，需要選擇一些參數(shù)，如殼體和封頭的厚度（Ts和Th）、內(nèi)半徑（R）和圓柱截面的長(zhǎng)度（L），以使其成本最小化。該問(wèn)題形式化為

式中：1×0.062 5≤xi≤99×0.062 5 (i= 1, 2)；10≤xi≤200 (i=3, 4)。

針對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題，HDPS 算法與GA3[16]、PSO[3]、CPSO[17]、HPSO[18]、PSO-DE[11]、HCS-LSAL[13]、CMA-ES[19]、TLBO[20]、εDE-LS[21]以及εDE-PCGA[22]等算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 和表2 所示。在表1中，與其他5 種算法相比，HDPS 算法可以達(dá)到最優(yōu)解，也就是達(dá)到設(shè)計(jì)要求的最小值6 059.714 3。在函數(shù)評(píng)估數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差方面，為了達(dá)到最優(yōu)解，HDPS 算法的函數(shù)評(píng)估次數(shù)NFEs=17 320，100 次獨(dú)立運(yùn)行的標(biāo)準(zhǔn)偏差為4.36×10-13。由表2 可以看出，與其他算法相比，HDPS 算法在任何方面（函數(shù)評(píng)估次數(shù)NFEs、標(biāo)準(zhǔn)差Sstd等）都是最好的。

表1 HDPS 算法與其他算法針對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題在最優(yōu)解方面的比較

表2 HDPS 算法與其他算法針對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)問(wèn)題在函數(shù)評(píng)估數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差方面的比較

3.2 減速器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題

減速器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題是由Golinski[23]提出的另一經(jīng)典的約束工程優(yōu)化問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)是使減速器的重量最小化。從設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)上看，減速器包含了2 個(gè)安裝了齒輪的獨(dú)立軸，這2 個(gè)軸通過(guò)軸承依次連接到主機(jī)架上。減速器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題包含11 個(gè)不等式約束，需要通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)控制其重量的最小化：面寬(x1)、齒模(x2)、小齒輪齒數(shù)(x3)、軸承間第一軸長(zhǎng)度(x4)、軸承間第二軸長(zhǎng)度（x5）、第一軸直徑（x6）以及第二軸的直徑(x7)。

式中：2.6≤x1≤3.6, 0.7≤x2≤0.8, 17≤x3≤28, 7.3≤x4≤8.3, 7.3≤x5≤8.3, 2.9≤x6≤3.9, 5.0≤x7≤5.5。

針對(duì)減速器設(shè)計(jì)工程優(yōu)化問(wèn)題，HDPS 算法與DELC[24]，DEDS[25]，HEAA[26]，HCPS[27]，PSGA[10]、CMA-ES[19]、HCS-LSAL[13]、MBA[28]、εDE-LS[21]和εDE-PCGA[22]等算法進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3 和表4 所示。從表3 可以看出，HDPS 算法與HCS-LSAL 算法都達(dá)到了設(shè)計(jì)所要求的最佳值；從表4 可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，HDPS 算法的函數(shù)評(píng)估次數(shù)是所有算法中是最低的。

表3 HDPS 算法與其他算法針對(duì)減速器設(shè)計(jì)問(wèn)題在最優(yōu)解方面的比較

表4 HDPS 算法與其他算法針對(duì)減速器設(shè)計(jì)問(wèn)題在函數(shù)評(píng)估數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差方面的比較

4 結(jié)論

本文基于差分進(jìn)化算法、粒子群優(yōu)化算法和共生生物搜索算法，提出了一種求解約束工程優(yōu)化問(wèn)題的混合進(jìn)化算法HDPS。該算法將差分進(jìn)化算法、粒子群優(yōu)化算法和共生生物搜索3 種算法操作算子結(jié)合起來(lái)，對(duì)其中的部分算子進(jìn)行了改進(jìn)，提高了算法的效率和成功率。例如對(duì)共生生物搜索算法互利操作算子進(jìn)行了改進(jìn)，使其在一些約束問(wèn)題上獲得了最佳搜索解的效果，這是其他算法所無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。最后將HDPS 算法應(yīng)用到兩類(lèi)經(jīng)典的約束工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與混合或非混合的進(jìn)化算法相比，HDPS 算法不僅提升了問(wèn)題求解精度，而且大大減少了函數(shù)評(píng)估的次數(shù)。