向量式有限元在陡坡雙樁基礎(chǔ)內(nèi)力及變形計(jì)算中的應(yīng)用研究

陳 冠

(湖南路橋建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司， 湖南 長(zhǎng)沙 410015)

0 引言

自我國(guó)西部大開(kāi)發(fā)戰(zhàn)略實(shí)施以來(lái)，邊遠(yuǎn)地區(qū)交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)取得了矚目成就，相較于平原地帶，邊遠(yuǎn)地區(qū)地理?xiàng)l件十分復(fù)雜，主要表現(xiàn)為地面高差變化大、地勢(shì)起伏變化頻繁、坡面陡峭險(xiǎn)峻等，因此對(duì)橋梁基礎(chǔ)的建設(shè)提出了更高要求。高陡橫坡段樁柱式橋梁雙樁基礎(chǔ)是山區(qū)橋梁樁基的一種常見(jiàn)形式，由于受樁土相互作用和橫向聯(lián)系梁對(duì)內(nèi)力調(diào)整的影響，陡坡雙樁基礎(chǔ)的工程特性及承載機(jī)理與一般樁基礎(chǔ)存在明顯差異[1]，常規(guī)橋梁樁基的內(nèi)力計(jì)算方法難以完全適用，故其內(nèi)力及位移的合理計(jì)算是樁基設(shè)計(jì)的關(guān)鍵內(nèi)容之一。

針對(duì)這一問(wèn)題，眾多學(xué)者展開(kāi)了深入的研究與探討。張永杰等[2]基于陡坡雙樁基礎(chǔ)的受力特性建立了陡坡群樁樁土相互作用分析模型，并采用結(jié)構(gòu)位移法提出了陡坡群樁的優(yōu)化設(shè)計(jì)思路；楊明輝等[3]針對(duì)高陡邊坡的坡體滑動(dòng)現(xiàn)象，在考慮重力二階效應(yīng)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了陡坡基樁內(nèi)力的冪級(jí)數(shù)解，通過(guò)與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比驗(yàn)證了冪級(jí)數(shù)解的合理性；趙明華等[4]提出了一種改進(jìn)的有限桿單元法，重點(diǎn)分析了樁頂荷載形式對(duì)基樁內(nèi)力及位移的影響；尹平保等[5]設(shè)計(jì)完成了復(fù)雜荷載下雙樁基礎(chǔ)的室內(nèi)模型試驗(yàn)，探討了樁身彎矩關(guān)于各影響因素的擬合公式和相關(guān)參數(shù)取值。

綜上所述，關(guān)于陡坡樁柱式樁基礎(chǔ)內(nèi)力計(jì)算的現(xiàn)有研究多基于傳統(tǒng)有限元方法，在迭代計(jì)算過(guò)程中容易出現(xiàn)結(jié)果不收斂等問(wèn)題，本文采用創(chuàng)新性的向量式有限元法(VFIFE),將樁基礎(chǔ)離散為有質(zhì)量節(jié)點(diǎn)與無(wú)質(zhì)量單元的集合，建立基樁向量式模型并考慮雙樁基礎(chǔ)的樁土相互作用，通過(guò)與基于ABAQUS平臺(tái)的傳統(tǒng)有限元計(jì)算結(jié)果相互驗(yàn)證分析，證明了該方法的有效性與可行性。

1 VFIFE基本原理

向量式有限元是由普渡大學(xué)丁承先教授等提出的數(shù)值計(jì)算方法，也稱有限質(zhì)點(diǎn)法。VFIFE在運(yùn)動(dòng)計(jì)算不考慮整體結(jié)構(gòu)的耦合作用，不會(huì)在計(jì)算中形成傳統(tǒng)動(dòng)力計(jì)算中的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣[6]，其計(jì)算分析步驟主要分為3步，分別是確定結(jié)構(gòu)模型、確定節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程和更新計(jì)算節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力與外力。

圖1 點(diǎn)值描述和逆向運(yùn)動(dòng)

將中央差分法引入牛頓第二定律可得該單元的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

式中：x為質(zhì)點(diǎn)位移；F(n)為質(zhì)點(diǎn)所受內(nèi)力；h為計(jì)算步長(zhǎng)。

對(duì)于平面桿系，根據(jù)文獻(xiàn)[7]分別推導(dǎo)A1B3、A2B2狀態(tài)下的單元內(nèi)力計(jì)算公式：

(2)

式中：f為單元內(nèi)力；E為彈性模量；A為單元截面積；e為當(dāng)前狀態(tài)的單元方向向量。

2 陡坡基樁VFIFE模型建立

2.1 陡坡雙樁基礎(chǔ)受力分析

陡坡雙樁基礎(chǔ)的受荷條件較為復(fù)雜，圖2給出了陡坡樁柱式雙樁基礎(chǔ)的受力分析示意圖，以前樁為例，陡坡樁主要承受的荷載類(lèi)型有上部結(jié)構(gòu)向下施加的軸向荷載N、水平荷載V、彎矩荷載M和周?chē)馏w施加的水平推力q(z)和水平抗力p(x，z)。根據(jù)陡坡樁的整體受力特點(diǎn)，可將樁體分為3部分，分別為：自由段、滑坡段和嵌固段，坡體對(duì)樁基的水平推力主要有4種分布類(lèi)型，分別是矩形、三角形、梯形和拋物線分布，樁后水平土壓力表達(dá)式如式(1)所示：

q(z)=az2+bz+c

(1)

式中：z為樁頂?shù)胶奢d計(jì)算點(diǎn)的豎直距離；a、b、c分別為坡體對(duì)樁身的水平推力分布函數(shù)系數(shù)。

坡體對(duì)樁身的水平抗力p(x，z)需要考慮樁身周?chē)麦w臨空面存在的不穩(wěn)定土層，根據(jù)Matlock法的基本假定，樁身受到地基土抗力的反力系數(shù)在豎直方向呈線性變化，因此，對(duì)不穩(wěn)定土層抗力進(jìn)行折減后的水平抗力表達(dá)式如式(2)所示：

p(x，z)=ηk(z)b0x

(2)

式中：η為水平抗力折減系數(shù)；k(z)為地基土體抗力系數(shù)；b0為樁身計(jì)算寬度；x為樁身的水平位移；z為計(jì)算抗力點(diǎn)的深度。

樁身軸力的大小受樁身側(cè)向摩擦阻力與樁體自重的影響，且隨樁體自重呈線性變化，樁身軸力的分布函數(shù)如式(3)所示：

N(z)=N0+fz

(3)

式中：N(z)為深度z時(shí)樁身受到的軸力；N0為樁頂受上部結(jié)構(gòu)的軸力；f為軸力增長(zhǎng)系數(shù)，與樁身自重有關(guān)；z為計(jì)算軸力點(diǎn)的深度。

圖2 陡坡雙樁基礎(chǔ)樁身受力示意圖

2.2 樁土相互作用的表達(dá)

由于受到坡體水平推力的作用，需要考慮淺層土體抗力折減的情況，陡坡樁基礎(chǔ)的樁土相互作用較為復(fù)雜，且區(qū)別于單樁基礎(chǔ)，陡坡雙樁基礎(chǔ)中橫系梁的存在會(huì)約束樁體的變形，使得前后樁的內(nèi)力被重新分配，因此，陡坡樁基礎(chǔ)樁土相互作用的描述是內(nèi)力計(jì)算的一個(gè)難點(diǎn)。

在有限單元法的基礎(chǔ)上采用對(duì)樁基計(jì)算節(jié)點(diǎn)施加等效節(jié)點(diǎn)荷載的方式可以在準(zhǔn)確反應(yīng)樁土相互作用的前提下簡(jiǎn)化計(jì)算[8]。將樁身簡(jiǎn)化為平面桿系單元并取微元體進(jìn)行受力及變形分析，以樁頂為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系xoz。樁身微元體受力分析如圖3所示，由前后樁的轉(zhuǎn)角連續(xù)及彎矩平衡可建立式(4)所示方程組；由前后樁的位移協(xié)調(diào)及剪力平衡可建立式(5)所示方程組：

{θb=θbh;θf(wàn)=θf(wàn)h

Mb-Mbh=M1;Mf+Mfh=M2

zb h=0;zf h=0

(4)

(5)

式中：θf(wàn)、θb分別為前、后樁樁頂處轉(zhuǎn)角；Mf、Mb分別為前、后樁樁頂處彎矩；θf(wàn) h、θb h分別為前、后樁橫系梁處轉(zhuǎn)角；Mb h、Mb h分別為前、后樁橫系梁處彎矩；zf h、zb h分別為前、后樁橫系梁處豎向位移；xo f、xo b分別為前、后樁樁頂處水平位移；Vf、Vb分別為前、后樁樁頂處剪力；V1、V2分別為上部結(jié)構(gòu)前、后樁傳遞的剪力。

圖3 樁身微元體受力分析

根據(jù)樁體的平衡方程，考慮樁土相互作用下，將作用在單元上的水平推力和水平抗力等效為施加在節(jié)點(diǎn)上的集中力，得到的等效節(jié)點(diǎn)力表達(dá)式分別如式(6)、式(7)所示：

(6)

(7)

2.3 VFIFE模型建立

2.3.1模型建立

陡坡樁柱式雙樁基礎(chǔ)可采用平面梁?jiǎn)卧?lèi)型建立VFIFE模型，模型中節(jié)點(diǎn)和單元的建立與分布需要遵循的原則有：樁身變截面處、橫系梁連接處、地層分界處、土壓力突變處和樁體分段處均要設(shè)置節(jié)點(diǎn)。

以后樁樁頂為坐標(biāo)原點(diǎn)建立陡坡樁柱式雙樁基礎(chǔ)VFIFE分析模型的整體坐標(biāo)系并對(duì)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，質(zhì)點(diǎn)之間采用平面彎曲桿單元進(jìn)行連接，單元質(zhì)量平均分配到相鄰的兩端質(zhì)點(diǎn)上，單元本身不計(jì)重量，考慮樁土相互作用，將式(6)、式(7)中定義的等效節(jié)點(diǎn)推力與抗力施加在受相應(yīng)作用的質(zhì)點(diǎn)上，得到的向量式有限元模型如圖4所示。

圖4 陡坡雙樁基礎(chǔ)VFIFE模型示意圖

2.3.2平面控制方程的建立與求解

對(duì)建立的陡坡雙樁基礎(chǔ)VFIFE模型進(jìn)行分析，根據(jù)平面問(wèn)題的特點(diǎn)，可知每個(gè)質(zhì)點(diǎn)擁有2個(gè)平移分量和1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量，考慮阻尼影響的情況下建立的質(zhì)點(diǎn)控制方程如式(8)所示：

(8)

將式(8)展開(kāi)可得：

(9)

采用中央差分法[9]可將質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度表示為：

(10)

把式(10)代入式(9)，求得控制方程的解如式(11)所示：

(11)

式中：γ1=1/(1+ζh/2)；γ2=γ1(1-ζh/2)。

為得到模型的單元內(nèi)力，取一基礎(chǔ)單元αβ作為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)某一計(jì)算步施加虛擬逆向運(yùn)動(dòng)的方式可計(jì)算得到下一計(jì)算步的單元內(nèi)力，由此可以推導(dǎo)出各時(shí)刻樁身的內(nèi)力計(jì)算公式，如式(12)所示：

基于上述理論及計(jì)算公式，采用Matlab編寫(xiě)陡坡樁柱式雙樁基礎(chǔ)的VFIFE求解程序，計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 向量式有限元程序計(jì)算流程

3 結(jié)果對(duì)比分析

3.1 工程概況

本文以廣東省某高速公路TJ4標(biāo)段某大橋的雙樁柱式基礎(chǔ)為工程背景，工程概況如下：陡坡高30 m，坡度比為1∶2；樁柱式雙樁基礎(chǔ)由墩柱、樁、橫系梁及蓋梁組成，橫系梁高1.8 m，蓋梁高2 m，墩柱長(zhǎng)14.5 m，樁身長(zhǎng)33.2 m，樁徑2 m；樁基使用C25混凝土與HRB335鋼筋制作而成。綜合考慮上部結(jié)構(gòu)自重荷載、車(chē)輛荷載、風(fēng)荷載等復(fù)合作用，對(duì)前、后樁樁頂施加豎向荷載N1=N2=5000 kN，橫向荷載V1=V2=100 kN，彎矩M1=M2=110 kN·m，基礎(chǔ)剖面如圖6所示，材料參數(shù)如表1所示。

圖6 基礎(chǔ)剖面示意圖(單位： m)

表1 主要材料參數(shù)材料粘聚力/kPa內(nèi)摩擦角/(°)容重/(kN·m-3)彈性模量/MPa泊松比強(qiáng)風(fēng)化花崗巖6030173000.42中風(fēng)化花崗巖——233 0000.36鋼筋混凝土——24.530 0000.2

3.2 結(jié)果對(duì)比

為研究向量式有限元方法在考慮樁土耦合作用下陡坡樁內(nèi)力及變形計(jì)算中的可行性，建立該工程的傳統(tǒng)有限元模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證分析，本文采用大型通用有限元軟件ABAQUS建立陡坡雙樁實(shí)體模型，選取前樁計(jì)算結(jié)果作為研究對(duì)象，VFIFE和ABAQUS計(jì)算時(shí)間分別為1 min和5 min，計(jì)算結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7a、圖8a分別給出了VFIFE和ABAQUS的前樁彎矩及剪力計(jì)算結(jié)果曲線，由圖可知，VFIFE計(jì)算程序得到的樁身彎矩及剪力曲線與傳統(tǒng)通用有限元ABAQUS得到的樁身彎矩及剪力曲線十分吻合，兩種方法均可以較為準(zhǔn)確地描述陡坡樁基的內(nèi)力分布情況。在橫系梁以上的墩柱段，前樁的剪力基本保持不變，彎矩隨距墩頂距離的增加呈線性變化，前樁所受的剪力、彎矩均略大于后樁。同時(shí)，由于橫系梁對(duì)樁身內(nèi)力的重新分配作用，剪力和彎矩均在橫系梁位置發(fā)生了突變。在坡面以下區(qū)段，剪力呈現(xiàn)先減小再負(fù)向增大，最后在0附近震蕩；彎矩呈現(xiàn)先增大，后減小至0附近穩(wěn)定。

圖7b、圖8b分別給出了橫系梁以上區(qū)域VFIFE與ABAQUS的樁身內(nèi)力相對(duì)誤差曲線，由圖可知，VFIFE計(jì)算程序與ABAQUS傳統(tǒng)有限元計(jì)算結(jié)果的彎矩平均相對(duì)誤差為3.45%，剪力平均相對(duì)誤差為4.88%，結(jié)果曲線擬合良好。

圖7 前樁彎矩計(jì)算結(jié)果

圖8 前樁剪力計(jì)算結(jié)果

圖9a給出了前樁水平位移計(jì)算結(jié)果，由圖可知樁身水平位移峰值在距離墩頂處約5 mm左右，且隨距墩頂距離的增加而減小。在坡面分界區(qū)域，樁身的水平位移均呈現(xiàn)銳減趨勢(shì)，在距墩頂30 m附近水平位移逐漸趨于0，此時(shí)土體提供的水平抗力在較大程度上限制了樁身的整體變形。

圖9b給出了橫系梁以上區(qū)域VFIFE計(jì)算程序與ABAQUS模擬的水平位移誤差曲線，由圖可知，橫系梁以上區(qū)域VFIFE計(jì)算結(jié)果平均相對(duì)誤差為3.08%，分析原因可知，VFIFE逆運(yùn)動(dòng)的描述過(guò)程可以準(zhǔn)確表達(dá)陡坡樁在復(fù)雜荷載作用下的變形規(guī)律，故計(jì)算結(jié)果與ABAQUS仿真模擬結(jié)果十分接近。

圖9 前樁水平位移計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

本文采用等效節(jié)點(diǎn)力的方法模擬陡坡樁的樁土相互作用，基于向量式有限元法建立陡坡樁基礎(chǔ)的計(jì)算模型與平面控制方程，并通過(guò)與ABAQUS模擬、有限桿單元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了向量式有限元法在陡坡樁基內(nèi)力及變形計(jì)算中的應(yīng)用，得到結(jié)論如下：

1) VFIFE結(jié)合等效節(jié)點(diǎn)力的方式可以準(zhǔn)確描述樁土的相互作用機(jī)理，其模擬過(guò)程相較彈簧模擬

更為簡(jiǎn)便。

2) VFIFE通過(guò)動(dòng)態(tài)計(jì)算過(guò)程實(shí)現(xiàn)對(duì)樁土相互作用的靜力分析，可以準(zhǔn)確模擬復(fù)雜荷載作用下的樁身受力情況，其內(nèi)力及位移計(jì)算結(jié)果與基于ABAQUS軟件的傳統(tǒng)有限元方法保持了很好的一致性。

3) VFIFE采用中央差分法對(duì)控制方程進(jìn)行求解，不形成剛度矩陣，避免了計(jì)算時(shí)結(jié)果不收斂的問(wèn)題，相較于ABAQUS有限元模擬大大減少了計(jì)算時(shí)間，計(jì)算步驟更為系統(tǒng)化，在保證計(jì)算精度的同時(shí)擁有更高的執(zhí)行效率。