基于量綱分析的彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子探討

張 錚，李澤商，王依兵

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

0 引言

斷裂失效是航天系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的主要失效模式，零部件的斷裂失效給航天結(jié)構(gòu)的安全運(yùn)行帶來極大威脅。實(shí)際航天工程結(jié)構(gòu)(材料)中總是不可避免地存在著各種不同形式的缺陷(如孔洞、裂紋)，孔洞、裂紋、應(yīng)力集中等問題是引起航天構(gòu)件失效的主要原因之一，斷裂力學(xué)是研究裂紋問題的主要固體力學(xué)分支學(xué)科。自20世紀(jì)40年代末產(chǎn)生以來，斷裂力學(xué)經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，取得了豐碩的研究成果。

斷裂力學(xué)包含線彈性斷裂和彈塑性斷裂兩大類問題。其中，線彈性斷裂力學(xué)適用于強(qiáng)度較高的脆性材料的斷裂行為，而彈塑性斷裂力學(xué)適用于裂紋尖端存在較大塑性區(qū)的情況。

在線彈性斷裂力學(xué)中，具有重要的地位和作用的力學(xué)參量是表征裂紋尖端場(chǎng)強(qiáng)度的應(yīng)力強(qiáng)度因子。1957年，Irwin首次提出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念，當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到材料斷裂韌度時(shí)材料發(fā)生新的裂紋擴(kuò)展。彈塑性斷裂力學(xué)認(rèn)為裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)入塑性，表征線彈性的應(yīng)力強(qiáng)度因子不再適合表征彈塑性裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)，而采用J-積分作為彈塑性裂尖場(chǎng)強(qiáng)度的表征量。

張行、洪起超的研究表明，J-積分既適用于表征彈塑性場(chǎng)，又適用于線彈性場(chǎng)；而應(yīng)力強(qiáng)度因子只適用于線彈性場(chǎng)。然而，相對(duì)于應(yīng)力強(qiáng)度因子簡(jiǎn)明清晰的物理含義，J-積分的定義式顯得相對(duì)繁復(fù)隱晦，缺乏明確的物理意義。上述問題不僅使得對(duì)裂紋尖端場(chǎng)的物理認(rèn)識(shí)存在困難，在應(yīng)用上也造成材料的彈/塑性斷裂判據(jù)缺乏一致性。

本文以Ⅲ型裂紋(反平面剪切)問題為例，依據(jù)斷裂力學(xué)已經(jīng)建立的彈/塑性裂尖場(chǎng)(包括應(yīng)力強(qiáng)度因子和J-積分)，引入材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系，通過理論推導(dǎo)和與現(xiàn)有裂尖場(chǎng)解的對(duì)比分析，建立了如線彈性裂尖場(chǎng)應(yīng)力強(qiáng)度因子形式的彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子，用以表征彈塑性裂尖場(chǎng)強(qiáng)度，進(jìn)而建立可同時(shí)適用于材料線彈性和彈塑性斷裂的一般性判據(jù)。

1 Ⅲ型裂紋問題的彈塑性分析

1.1 基本假設(shè)

對(duì)于圖1所示的典型Ⅲ型裂紋模型，假設(shè)截面上任意一點(diǎn)只有垂直截面的位移，即

=(,)

(1)

式中，(,)表示無限長(zhǎng)棱柱任意截面內(nèi)(,)處的位移。

圖1 Ⅲ型裂紋的空間和平面圖示Fig.1 Spatial representation of model-Ⅲ crack

1.2 平衡方程[16]

平衡方程為

(2)

式中，表示方向的正應(yīng)力，表示方向平面的方向切應(yīng)力。

1.3 幾何方程

需要說明的是，雖然考慮裂紋尖端場(chǎng)應(yīng)力進(jìn)入塑性，但由于裂尖場(chǎng)是大集度場(chǎng)，其區(qū)域遠(yuǎn)小于宏觀尺度，材料變形處于小范圍塑性狀態(tài)，因此不失一般性，這里仍然采用線性幾何關(guān)系，即

(3)

式中，表示方向正應(yīng)變，表示切應(yīng)變。

將式(1)代入上式，有

=====0

(4)

1.4 本構(gòu)關(guān)系

如式(5)所示，Ramberg-Osgood方程是表示材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系的一般性表達(dá)式。

(5)

式中，為楊氏模量，為拉伸應(yīng)變硬化指數(shù)，為硬化系數(shù)。

本文所討論的裂尖場(chǎng)(如“1.3 幾何方程”中所述)，雖然是“小范圍塑性”場(chǎng)，但在裂尖影響區(qū)內(nèi)，塑性變形是主導(dǎo)性的，即彈性變形遠(yuǎn)小于塑性變形。因此，可將Ramberg-Osgood方程簡(jiǎn)化為

(6)

相似地，有剪切本構(gòu)方程

(7)

式中，為剪切硬化系數(shù)，為剪切模量。

按照式(6)(7)的形式，Ⅲ型斷裂問題的彈塑性本構(gòu)關(guān)系可表達(dá)為

(8)

式中，表示泊松比。

將幾何關(guān)系式(4)代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系式(8)，有

(9)

再將式(9)代入平衡方程式(2)，有

(10)

式(10)結(jié)合邊界條件即可求得問題解。

2 彈塑性Ⅲ型裂紋問題求解

通過上述推導(dǎo)可知，本問題的控制方程，即式(10)，為二階非線性橢圓型偏微分方程，斷裂力學(xué)中常規(guī)的復(fù)變函數(shù)解法難以適用，也缺乏其他簡(jiǎn)明的求解方法。因此，本文參照現(xiàn)有的斷裂力學(xué)解，采用半逆解法進(jìn)一步分析裂尖彈塑性場(chǎng)，從而解析出彈塑性裂尖場(chǎng)的應(yīng)力場(chǎng)分布。

參看式(1)，并參照線彈性斷裂力學(xué)分Ⅲ型裂紋分離變量形式的解，假設(shè)Ⅲ型裂紋的彈塑性應(yīng)力場(chǎng)分布函數(shù)為

(11)

(12)

觀察式(12)的形式，參照線彈性場(chǎng)的分布函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)

(13)

可以滿足該式。進(jìn)一步，考察應(yīng)力表示的相容方程

(14)

式中，=++為應(yīng)力不變量，將應(yīng)力場(chǎng)函數(shù)式(13)代入上述相容方程式(14)，即可證明后者成立。

3 彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子的定義

一般斷裂力學(xué)教科書中，定義線彈性裂尖場(chǎng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

(15)

式中，為載荷對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力，表示裂紋半長(zhǎng)。

對(duì)于彈塑性裂尖場(chǎng)而言，通常都是采用J-積分來表征

(16)

式中，為從裂紋下表面沿著逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到裂紋上表面,包圍裂紋尖端的任意積分路徑，為外力分量，為位移分量，為積分路徑上的線元，為應(yīng)變能密度。

可見其表達(dá)式比較繁復(fù)隱晦。相比于線彈性場(chǎng)的特征量即應(yīng)力強(qiáng)度因子，影響彈塑性裂尖場(chǎng)的因素不是顯式的，其作用規(guī)律也不是顯式的函數(shù)形式。

(17)

根據(jù)彈塑性斷裂力學(xué)分析，裂尖應(yīng)力場(chǎng)可表示為

(18)

(19)

綜上所述，類比于線彈性裂尖場(chǎng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子，式(17)定義了彈塑性裂尖場(chǎng)的彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子，二者的對(duì)比如表1所示。

表1 線彈性應(yīng)力強(qiáng)度因子與彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子

4 彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子的合理性

首先，對(duì)于線彈性裂尖場(chǎng)，應(yīng)力強(qiáng)度因子是表征應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱的力學(xué)參量。當(dāng)載荷造成裂紋擴(kuò)展時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的臨界值可視作材料的斷裂強(qiáng)度，即材料斷裂韌度。

其次，本文依托彈塑性裂尖場(chǎng)定義了相應(yīng)的彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子，該參量同樣表征裂尖應(yīng)力場(chǎng)的烈度/集度；當(dāng)載荷造成裂紋擴(kuò)展時(shí)，彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子可以替代J-積分，其臨界值同樣可以視作材料斷裂韌度，也就是說，可以根據(jù)本文定義的彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子建立材料斷裂的新判據(jù)，而彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子的含義遠(yuǎn)比J-積分要簡(jiǎn)明。這是本文研究的重點(diǎn)。

由此，建立與彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)方法和相應(yīng)斷裂韌度的測(cè)量方法，不僅具有簡(jiǎn)明的理論基礎(chǔ)，也將有助于簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)，方便應(yīng)用。這也是本文研究的意義。

需要指出的是，本文方式同樣適用于定義Ⅰ型和Ⅱ型裂紋的彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子，表征其彈塑性裂尖場(chǎng)的集度。

5 結(jié)論

綜上所述，本文首先基于斷裂力學(xué)基本概念和理論，對(duì)基于Ⅲ型裂紋(反平面剪切問題)進(jìn)行分析，在彈塑性場(chǎng)中建立了該問題的幾何方程、本構(gòu)方程和平衡方程。

然后參照線彈性場(chǎng)中裂紋尖端應(yīng)力分布函數(shù)，建立了彈塑性場(chǎng)中的裂紋尖端應(yīng)力分布函數(shù)，并基于理論推導(dǎo)，在裂紋尖端應(yīng)力分布函數(shù)、強(qiáng)度因子、的指數(shù)和角分布函數(shù)4方面對(duì)比彈塑性場(chǎng)與線彈性場(chǎng)，定義了類比于線彈性場(chǎng)中應(yīng)力強(qiáng)度因子的參數(shù)，即彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子，來表征彈塑性裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度。

本文對(duì)提出的彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子在表達(dá)形式、物理意義、量綱和普適性等方面分別進(jìn)行分析，闡述了彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子涵蓋彈塑性裂紋尖端場(chǎng)的表征意義，明確了其概念的內(nèi)涵、定義和合理性基礎(chǔ)，因而確立了該參量對(duì)彈塑性裂紋尖端場(chǎng)固有特質(zhì)的表征。由此也說明，根據(jù)彈塑性應(yīng)力強(qiáng)度因子可以建立適用于材料彈性/彈塑性斷裂的一般性判據(jù)。