懸臂行星齒輪接觸狀態(tài)分析與優(yōu)化

[摘" " 要]懸臂行星齒輪在多種工業(yè)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。懸臂結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致行星齒輪產(chǎn)生整體變形，從而使行星齒輪旋轉(zhuǎn)到不同位置時的接觸狀態(tài)發(fā)生變化。本文通過調(diào)整軸承游隙和齒輪修形的方法，改善了懸臂行星齒輪的接觸狀態(tài)，并驗證了這兩種方法的可行性。

[關(guān)鍵詞]懸臂行星齒輪;接觸狀態(tài);軸承游隙;優(yōu)化

[中圖分類號]TH132.425 [文獻標志碼]A

行星齒輪在多種工業(yè)領(lǐng)域有著非常廣泛應(yīng)用，國內(nèi)外關(guān)于行星齒輪的研究涉及到多個方面。袁茹等學者通過建立動力學等多種齒輪嚙合模型，對行星齒輪在均載、應(yīng)力、動力學性能等方面做了大量研究，給出了許多行星齒輪系統(tǒng)分析的不同方法[1-7]。在接觸狀態(tài)方面，蔣進科等學者通過接觸分析等齒面計算方法及動力學建模方法，探究了行星齒輪的齒面接觸特性，并給出了部分行星齒輪的接觸計算結(jié)果[8-9]。在軸承方面，王付崗等人探究了軸承的游隙與溫度影響[10-11]。

本文基于以上研究，通過對懸臂行星齒輪箱系統(tǒng)建模與接觸分析計算，得到了懸臂行星齒輪箱的接觸斑點狀態(tài)，并利用一系列軸承游隙調(diào)整與修形等方法，優(yōu)化了各行星齒輪的接觸斑點分布。

1 行星齒輪系統(tǒng)模型的搭建

行星齒輪系統(tǒng)主要由各齒輪對、軸承、軸與柔性體等關(guān)鍵部件組成。下面依次對各部件模型做簡化與等效處理，并進行耦合。

首先，對齒輪對做建模分析，可以根據(jù)規(guī)范ISO 6336的附錄B對各接觸齒面做切片處理。各切片的嚙合剛度可以根據(jù)規(guī)范中的公式計算得到。定義單對齒的剛度c'如下：

c'=c'thCMCRCBcosβ （1）

式中，c'th為理想狀態(tài)下的單對齒剛度;CM為理論的修正系數(shù)，一般取值為0.8;CR為輪體的結(jié)構(gòu)修正系數(shù);CB為輪體的基本齒條系數(shù)，CR和CB均可從規(guī)范中查到相應(yīng)的定義值。此外引入cosβ，用于斜齒輪的計算，其中β為斜齒輪的螺旋角。

對于斜齒輪，當嚙合線移動時，其對應(yīng)的切片位置與數(shù)量隨之變化，從而可以計算得到齒輪齒面上各位置處的嚙合應(yīng)力狀態(tài)，即接觸斑點。齒輪嚙合剛度對于計算結(jié)果的準確性影響非常大，規(guī)范中的嚙合剛度算法考慮了齒面的剪切、彎曲與赫茲接觸等效應(yīng)，且經(jīng)過了廣泛工業(yè)案例的驗證，可以視為較準確的計算方法。同時，切片法可以引入齒面的接觸線變化過程，能進一步準確反映齒輪嚙合周期的影響。當采用修形參數(shù)后，其對應(yīng)的位置會影響齒輪間各切片的接觸距離，從而影響接觸斑點發(fā)生變化，因此，修形的影響也能夠得到表達。

對于軸，一般采用Timoshenko梁作為軸單元的表達式。與Euler梁相比，Timoshenko梁可以考慮軸的剪切效應(yīng)，將變形影響表達得更全面，因此常用此種梁模型進行建模。Timoshenko梁單元的計算公式形式簡單且統(tǒng)一，一般材料力學教材中都可找到。

對于軸承，可以將軸承視為剛度與阻尼的表達式。為了更準確描述滾動軸承的剛度隨滾子的變化，可以參考ISO 14179規(guī)范和Harris的滾動軸承分析理論[12]，引入外部的軸變形作為變量，帶入到軸承各滾子中，使各滾子的應(yīng)力分布發(fā)生變化，同時利用滾子切片方法計算各滾子的真實受力情況。受力平衡方程如下：

（2）

式中，F(xiàn)r為軸承所受合力，CL為彈性系數(shù)，nS為滾子切片數(shù)，Z為滾子個數(shù)，φj為第j個滾子處的軸承內(nèi)外滾道夾角，δj，k為第j個滾子在第k個切片上的變形。δj，k包含了游隙的效應(yīng)，只有變形量超過游隙后才會引起受力。因此當調(diào)整軸承的游隙時，其受力狀態(tài)便發(fā)生變化，從而引發(fā)剛度的變化，最終導(dǎo)致系統(tǒng)和齒輪嚙合接觸斑點發(fā)生變化。因此，該軸承模型能較好反映出軸承游隙對齒輪接觸斑點的影響。

最后，對于柔性體可以通過采用有限元方法對其做Guyan縮聚處理，再依次和其他部件進行連接后做耦合計算。本文主要引入了行星架和箱體的柔性模型，在軸承處做了主節(jié)點剛性映射處理，能夠反映出這些結(jié)構(gòu)對整個系統(tǒng)的影響。

在處理好各部件的建模后，將這些結(jié)構(gòu)對應(yīng)的質(zhì)量、剛度矩陣進行耦合聯(lián)立，并施加相應(yīng)的扭矩與力，可以得到整個系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)，從而獲得其相應(yīng)的各行星齒輪嚙合的接觸斑點，以進行后續(xù)的懸臂行星結(jié)構(gòu)接觸斑點分析與優(yōu)化。

2 行星齒輪系統(tǒng)模型接觸斑點的計算

本文采用典型的懸臂梁結(jié)構(gòu)進行分析，計算案例采用圖1所示的懸臂梁，其中，左側(cè)孔為固定孔，右側(cè)孔連接行星齒輪結(jié)構(gòu)，左側(cè)孔與右側(cè)圓孔圓心距離6000mm。

這里在右側(cè)的孔處連接兩級行星齒輪及其他非傳動件結(jié)構(gòu)，行星齒輪均采用固定齒圈的方式進行功率傳遞。其中，靠近約束面的行星齒輪有3個行星齒輪，速比為5.7，模數(shù)為10;遠離約束面的行星齒輪有4個行星齒輪，速比為5，模數(shù)為20。

從簡單的結(jié)構(gòu)分析可以看出，由于只有一個平面被約束，且遠離約束面處有較大質(zhì)量的結(jié)構(gòu)件，所以懸臂處的兩級齒輪會在重力的作用下向地面處偏移，從而影響行星齒輪嚙合的狀態(tài)。

根據(jù)前面的建模及數(shù)值計算，可以獲得各行星齒輪接觸斑點。這里提取了遠離約束面的4個行星齒輪與太陽輪的接觸斑點。由于齒輪是對稱的，所以這里提取了相差最大的兩個齒輪的接觸斑點，即左齒輪與右齒輪的接觸斑點，如圖2所示。

可以看到，在齒寬方向，左側(cè)齒輪受力偏右，右側(cè)齒輪受力偏左。如果沒有懸臂結(jié)構(gòu)，各行星齒輪的變形主要由行星架及銷軸的扭轉(zhuǎn)導(dǎo)致。各行星齒輪同時向順時針或同時向逆時針偏移，所以會使各行星齒輪的接觸斑點偏向同一側(cè)。當存在懸臂結(jié)構(gòu)時，因為懸臂造成整個系統(tǒng)向同一方向偏移，此時部分行星齒輪的偏移旋向不相同，因此出現(xiàn)上述接觸斑點偏載方向不一致的問題。

3 行星齒輪系統(tǒng)模型接觸斑點優(yōu)化方法

由于產(chǎn)生上述偏載現(xiàn)象，導(dǎo)致不能夠用同一參數(shù)的螺旋線修形，否則會使其中的部分齒輪偏載現(xiàn)象更嚴重?？紤]到實際加工的情況，也不適宜對不同行星齒輪采用不同的螺旋線修形，否則會出現(xiàn)潛在的加工與裝配問題。

因此，首先對各行星齒輪采用相同的鼓形修形來減緩此問題。由于鼓形修形可以將各偏移的接觸斑點都向中間位置推移，所以鼓形是解決此類問題的一個可選方法。同時引入齒廓修形及端部倒坡等修形方式，進一步調(diào)整接觸斑點的位置，但主要起作用的是鼓形修形。圖3是采用鼓形修形后的左、右輪接觸斑點狀態(tài)。

可以明顯看到，修形后的接觸斑點在滾動角與齒寬方向的分布更加均勻，且左、右齒輪的接觸斑點均向中間靠攏，驗證了鼓形修形的有效性。

但是，仍然可以看到兩齒輪接觸斑點向兩邊偏斜的趨勢。若想減弱這種趨勢，采用大鼓形修形可以得到部分改善。但更大的鼓形修形會進一步加劇接觸面積的減小，從而使主要的接觸斑點面積變小，導(dǎo)致局部接觸應(yīng)力變大。

可以考慮采用增加結(jié)構(gòu)剛性的方法減弱懸臂梁效應(yīng)。懸臂梁造成的大結(jié)構(gòu)變形主要在軸承處產(chǎn)生，當軸承游隙較大或剛度較小時，較大的系統(tǒng)變形使接觸斑點向兩側(cè)偏移。此處采用調(diào)整傾覆剛度的方式，可以更直接觀察其對變形結(jié)果的影響。通過計算可以發(fā)現(xiàn)，原懸臂處軸承傾覆剛度為109Nm/rad。當通過調(diào)整游隙或直接調(diào)整剛度值，使傾覆剛度變?yōu)?011Nm/rad時，左、右齒輪的接觸斑點如圖4所示。

可以看到，接觸斑點進一步向中間靠攏，且應(yīng)力分布變得更加均勻。這說明通過調(diào)整軸承可以更好地優(yōu)化接觸斑點。

需要注意的是，提高軸承剛度一般需要減小徑向游隙，當轉(zhuǎn)速高時徑向游隙不宜過小，以避免受熱膨脹后卡住的危險。對于軸承游隙，需要充分結(jié)合系統(tǒng)實際工況才能做后續(xù)分析，否則直接調(diào)整游隙來提高軸承剛度可能會使結(jié)構(gòu)失效。

4 結(jié)束語

本文通過自行搭建包含齒輪、軸、軸承、柔性體等部件在內(nèi)的系統(tǒng)模型，采用合理方法做數(shù)值計算，得到了懸臂行星齒輪接觸斑點的計算方法。根據(jù)某懸臂梁案例的計算分析結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)增大鼓形修形與提高軸承剛度，能夠較好地改善接觸斑點向兩側(cè)偏移的問題，從而進一步優(yōu)化行星齒輪的嚙合接觸狀態(tài)，證明了本文計算方法及優(yōu)化措施的有效性。但實際中需要充分考慮到軸承熱膨脹等效應(yīng)，才可以采取后續(xù)的優(yōu)化措施。

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作者簡介

徐平（1982—），男，江蘇淮安人，本科，高級工程師，主要研究方向為機械、工程管理。