隱含隨機(jī)波動(dòng)率模型：構(gòu)建由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的金融衍生品定價(jià)模型

李辰旭

金融衍生品市場(chǎng)

在國(guó)際和國(guó)內(nèi)金融市場(chǎng)的發(fā)展中，金融衍生品在對(duì)沖基金、風(fēng)險(xiǎn)管理、優(yōu)化資源配置、提高金融創(chuàng)新能力、有效地增加市場(chǎng)流動(dòng)性等方面發(fā)揮著重要作用。特別是，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)對(duì)外開放和滲透全球市場(chǎng)的程度以及經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)化程度的提高，經(jīng)濟(jì)不確定性的上升導(dǎo)致企業(yè)和金融機(jī)構(gòu)等市場(chǎng)參與者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理的需求隨之攀升。近年來(lái)我國(guó)金融市場(chǎng)正在迎來(lái)金融衍生品的發(fā)展機(jī)遇。以滬深300交易所交易基金（ExchangeTradedFund，簡(jiǎn)稱ETF）期權(quán)為例，在2020年新冠肺炎疫情期間，“黑天鵝”事件頻發(fā)，我國(guó)股票市場(chǎng)行情波動(dòng)加大，投資者不僅面臨方向性風(fēng)險(xiǎn)，也面臨波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)。但是滬深300ETF期權(quán)在自身穩(wěn)定運(yùn)行的基礎(chǔ)上，有效發(fā)揮了“保險(xiǎn)”功能，特別是作為下跌“保險(xiǎn)”的看跌期權(quán)，其成交、持倉(cāng)占比均持續(xù)走高，體現(xiàn)了期權(quán)積極滿足市場(chǎng)避險(xiǎn)需求的作用。又如，我國(guó)也在大力發(fā)展如貸款市場(chǎng)報(bào)價(jià)利率（LoanPrimeRate，簡(jiǎn)稱LPR）期權(quán)等利率衍生品，這將彌補(bǔ)中國(guó)利率市場(chǎng)中期權(quán)產(chǎn)品的空白，對(duì)未來(lái)整個(gè)人民幣衍生品市場(chǎng)的創(chuàng)新和發(fā)展都具有深遠(yuǎn)意義。

隨機(jī)波動(dòng)率建模：從經(jīng)典方法到創(chuàng)新理念

隱含波動(dòng)率（ImpliedVolatility）是市場(chǎng)參與者衡量期權(quán)和其他嵌入了期權(quán)的金融資產(chǎn)價(jià)格的一種通用標(biāo)度。成功地進(jìn)行期權(quán)定價(jià)的關(guān)鍵在于建立可以充分?jǐn)M合隱含波動(dòng)率曲面的隨機(jī)模型。而在以往的金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)與金融工程學(xué)的研究和實(shí)踐中，為了便于實(shí)施無(wú)套利定價(jià)，自然要從標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格出發(fā)進(jìn)行建模，而此時(shí)對(duì)于隱含波動(dòng)率的刻畫和建模往往是間接的，如使用針對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格及其波動(dòng)率建立的隨機(jī)波動(dòng)率（StochasticVolatility）模型。

隨機(jī)波動(dòng)率建模是金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融工程學(xué)領(lǐng)域中繼布萊克-舒爾斯-墨頓（Black-Scholes-Merton，1973）期權(quán)定價(jià)理論（1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)所表彰的工作）之后最重要的進(jìn)展之一。赫斯頓（SteveHeston）在其1993年題為《隨機(jī)波動(dòng)性期權(quán)的顯式解及其在債券和貨幣期權(quán)中的應(yīng)用》（AClosed-formSolutionforOptionswithStochasticVolatilitywithApplicationstoBondandCurrencyOptions）的著名論文中，較早地提出了此類模型的典范，這篇文章發(fā)表于《金融研究評(píng)論》（ReviewofFinancialStudies），并長(zhǎng)期躋身于該期刊所發(fā)表論文中的高被引文章行列，在學(xué)術(shù)研究和實(shí)踐中均影響深遠(yuǎn)。這類傳統(tǒng)的建模方法需要首先假設(shè)并處理模型的具體而又特定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，之后再進(jìn)行模型參數(shù)校準(zhǔn)（Calibration）或者參數(shù)估計(jì)（Estimation）。因此，對(duì)于擬合隱含波動(dòng)率數(shù)據(jù)而言，這樣的模型構(gòu)建過程是相對(duì)主觀和間接的。此外，這類建模方法通常需要在數(shù)學(xué)易處理性和實(shí)證表現(xiàn)這兩者之間做出權(quán)衡。然而，越來(lái)越多的研究顯示，要解釋真實(shí)交易數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，與數(shù)學(xué)上較難處理的模型相比，一些分析上易處理的模型往往并不能夠產(chǎn)生令人滿意的實(shí)證表現(xiàn)。

那么，一個(gè)創(chuàng)新的想法自然就是，如何基于觀測(cè)到的隱含波動(dòng)率曲面信息，來(lái)客觀且直接地構(gòu)建由數(shù)據(jù)隱含的隨機(jī)波動(dòng)率模型，使得該模型自動(dòng)地?cái)M合隱含波動(dòng)率曲面的形狀規(guī)律與動(dòng)態(tài)演化過程，從而在盡可能靈活而豐富的模型框架下進(jìn)行期權(quán)定價(jià)。

《隱含隨機(jī)波動(dòng)率模型》一文針對(duì)該問題進(jìn)行了開創(chuàng)性的探索，為隨機(jī)波動(dòng)率建模帶來(lái)了全新的理念，使其呈現(xiàn)出前所未有的“人工智能化”與“機(jī)器學(xué)習(xí)化”。

理論根基：從隱含波動(dòng)率曲面到模型系數(shù)函數(shù)

文章應(yīng)用連續(xù)時(shí)間金融計(jì)量方法和技術(shù)，成功地構(gòu)建了隱含隨機(jī)波動(dòng)率模型（ImpliedStochasticVolatilityModel）。其首先假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和其波動(dòng)率服從一般的隨機(jī)波動(dòng)率模型，模型中的漂移（Drift）和擴(kuò)散（Diffusion）項(xiàng)的函數(shù)均為一般化的形式，它們有待推斷確定[而非大量文獻(xiàn)中人為假設(shè)的具體參數(shù)化形式，參見例如Heston（1993）]。進(jìn)而建立了這些未知函數(shù)和隱含波動(dòng)率曲面之間的聯(lián)系，即將這些未知函數(shù)通過波動(dòng)率曲面上可觀測(cè)的幾何特征表達(dá)出來(lái)，如平價(jià)（At-the-Money）短期限情形下的曲面高度（Level）、斜率（Slope）以及凸性（Convexity）等。

這一理論貢獻(xiàn)依賴于筆者系統(tǒng)性、創(chuàng)新性地基于馬利亞萬(wàn)（Malliavin）隨機(jī)分析理論提出并發(fā)展的針對(duì)任意連續(xù)時(shí)間隨機(jī)微分方程模型的顯式漸進(jìn)展開（AsymptoticExpansion）理論和方法。此方法的“雛形”可參見筆者較前期獨(dú)立撰寫發(fā)表的論文，例如2013年發(fā)表在統(tǒng)計(jì)學(xué)國(guó)際頂級(jí)期刊《統(tǒng)計(jì)年刊》（AnnalsofStatistics）上題為《通過顯式密度展開進(jìn)行擴(kuò)散過程的最大似然估計(jì)》（Maximum-likelihoodEstimationforDiffusionProcessesviaClosedformDensityExpansions）的論文;2014年發(fā)表在運(yùn)籌學(xué)國(guó)際頂級(jí)期刊《運(yùn)籌學(xué)數(shù)學(xué)》（MathematicsofOperationsResearch）上題為《顯式展開、條件期望和期權(quán)定價(jià)》（Closed-formExpansion，ConditionalExpectation，andOptionValuation）的論文;以及于2021年合著發(fā)表于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)國(guó)際頂級(jí)期刊《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》（JournalofEconometrics）上題為《帶跳躍的隨機(jī)波動(dòng)率模型的顯式隱含波動(dòng)率曲面》（Closed-formImpliedVolatilitySurfacesforStochasticVolatilityModelswithJumps）的論文。此方法靈活有效，可以突破以往大量研究中模型設(shè)定帶來(lái)的局限性，適用面寬廣，為在復(fù)雜而盡可能接近現(xiàn)實(shí)的模型下進(jìn)行金融衍生品定價(jià)和相關(guān)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)證分析提供了有力工具。

實(shí)證方法：構(gòu)建隱含波動(dòng)率曲面數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)波動(dòng)率模型

基于上述模型和隱含波動(dòng)率之間的理論關(guān)系，即可“構(gòu)建”與模型系數(shù)函數(shù)相應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)。進(jìn)而，自然地使用非參數(shù)回歸（NonparametricRegression）技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)于這些未知函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)，從而客觀地推斷模型應(yīng)有的形式。這樣即實(shí)現(xiàn)了隱含波動(dòng)率曲面數(shù)據(jù)（衍生品價(jià)格相關(guān)數(shù)據(jù)）和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)率模型的直接對(duì)接，實(shí)現(xiàn)了建模過程的“數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)”化。文中的蒙特·卡羅（MonteCarlo）模擬以及基于標(biāo)普500指數(shù)期權(quán)數(shù)據(jù)的實(shí)證研究，表明了方法是成功且穩(wěn)健的;實(shí)證結(jié)果證明其擁有較好的樣本外表現(xiàn)。特別是，應(yīng)用2007年至2011年這一跨越2008年全球金融危機(jī)的時(shí)間段的數(shù)據(jù)和金融危機(jī)之后的2012年至2017年時(shí)間段的數(shù)據(jù)，分別構(gòu)建隱含隨機(jī)波動(dòng)率模型，實(shí)證結(jié)果顯示出應(yīng)有的敏感度和穩(wěn)健性，進(jìn)而從金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)角度為此次金融危機(jī)提供了一些理解。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的金融衍生品定價(jià)模型

《隱含隨機(jī)波動(dòng)率模型》一文提出的方法可被廣泛地應(yīng)用于基于各種類型標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)（例如股票期權(quán)、股指期貨期權(quán)、利率期權(quán)等）。特別是，在我國(guó)金融衍生品市場(chǎng)逐步發(fā)展的當(dāng)下，也無(wú)疑會(huì)提供一種新工具，可有助于探索和建立適應(yīng)我國(guó)市場(chǎng)的新模型，從而助力交易決策和風(fēng)險(xiǎn)管理。隱含隨機(jī)波動(dòng)率模型的研究充分體現(xiàn)了，當(dāng)前在大數(shù)據(jù)時(shí)代的管理科學(xué)研究中應(yīng)注重?cái)?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)（Data-driven）建模的理念，同時(shí)兼顧理論發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用，在相關(guān)的學(xué)術(shù)和實(shí)踐領(lǐng)域正在產(chǎn)生積極影響。筆者期待《隱含隨機(jī)波動(dòng)率模型》一文能對(duì)后續(xù)系列研究帶來(lái)啟發(fā)。