• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    矩陣的通俗解釋

    2022-04-11 17:37:20梁鐸強(qiáng)劉芳遠(yuǎn)
    科學(xué)家 2022年3期
    關(guān)鍵詞:行列式通俗向量

    梁鐸強(qiáng) 劉芳遠(yuǎn)

    摘要:本文嘗試通俗解釋矩陣,讓矩陣學(xué)習(xí)者能夠抓住學(xué)習(xí)的主線。

    關(guān)鍵詞:矩陣;通俗解釋

    1 前言

    線性代數(shù)課程,無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手,從一開始就充斥著莫名其妙。比如說,在全國一般工科院系教學(xué)中應(yīng)用最廣泛的同濟(jì)線性代數(shù)教材(現(xiàn)在到了第四版),一上來就介紹逆序數(shù)這個(gè)古怪概念,然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的定義,接著是一些簡直犯傻的行列式性質(zhì)和習(xí)題——把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上,再把那一列減過來,折騰得那叫一個(gè)熱鬧,可就是壓根看不出這個(gè)東西的用途。為了改變這種情況,本文研究了如何通俗解釋矩陣。

    瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說:“如果不熟悉線性代數(shù)的概念,要去學(xué)習(xí)自然科學(xué),現(xiàn)在看來就和文盲差不多。然而“按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn),線性代數(shù)是通過公理化來表述的,它是第二代數(shù)學(xué)模型,這就帶來了教學(xué)上的困難?!?[1]

    矩陣是大部分本科生都要接觸的數(shù)學(xué),也是老三高的難點(diǎn)之一。矩陣對(duì)他們非常重要,為此通俗解釋矩陣對(duì)于矩陣學(xué)習(xí)也是很有必要的,。

    2 正文

    我們?cè)谡n堂上進(jìn)行了嘗試,發(fā)現(xiàn)效果不錯(cuò)。具體教法如下。

    1) 空間是一個(gè)集合。我們最熟悉的是歐式空間,我們常用的是歐式空間的高維推廣得出的空間,即希爾伯特空間??臻g(space),這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最重要的概念,從拓?fù)淇臻g開始,一步步往上加定義,可以形成很多空間。線形空間其實(shí)還是比較初級(jí)的,如果在里面定義了范數(shù),就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性,就成了巴那赫空間;賦范線性空間中定義角度,就有了內(nèi)積空間,內(nèi)積空間再滿足完備性,就得到希爾伯特空間??傊臻g有很多種。某種空間的數(shù)學(xué)定義,大致都是:存在一個(gè)集合,在這個(gè)集合上定義某某概念,然后滿足某些性質(zhì),就可以被稱為空間。這未免有點(diǎn)奇怪,為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢?大家將會(huì)看到,其實(shí)這是很有道理的。最熟悉的空間,毫無疑問就是我們生活在其中的(按照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀)的三維空間,從數(shù)學(xué)上說,這是一個(gè)三維的歐幾里德空間,我們先不管那么多,先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)。

    2) 1、2、3維的歐式空間分別是直線、面、體。詳細(xì)說來,0維,是一個(gè)點(diǎn);1維,是點(diǎn)的無限重疊,即一條線;2維,是線的無限重疊,即面;3維,是面的無限重疊,是立體;

    3) 對(duì)于空間上的每一個(gè)點(diǎn),都可以看做是一個(gè)向量。比如1這個(gè)點(diǎn),可以看作是起點(diǎn)為原點(diǎn),終點(diǎn)為1的一個(gè)(有方向,有長度)向量。在數(shù)學(xué)中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量),指具有大?。╩agnitude)和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長度:代表向量的大小。與向量對(duì)應(yīng)的量叫做數(shù)量(物理學(xué)中稱標(biāo)量),數(shù)量(或標(biāo)量)只有大小,沒有方向;

    4) 我們假設(shè)線就是y=0的面,這么說的話,原點(diǎn)就是0到0的向量,用[0,0;0,0]表示。1點(diǎn)就是0到1的向量,用[0,0;1,0]表示。-1點(diǎn)就是0到-1的向量,用[0,0;-1,0]表示;

    5) 我們發(fā)現(xiàn),點(diǎn)就是向量,向量用矩陣表示,這種表示方法是唯一的,所以得出第一個(gè)解決,向量可以用矩陣表示。

    6) 空間中物質(zhì)的位置變化,可以看做是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的變換。換句話說,我們把物質(zhì)從1點(diǎn)移到-1點(diǎn)。那么,[0,0;1,0]才能變成[0,0;-1,0],我們嘗試矩陣的乘法,發(fā)現(xiàn)[-1,0;0,-1]左乘[0,0;1,0],就得到[0,0;-1,0]。那么這個(gè)操作就相當(dāng)于[-1,0;0,-1]。我們可以看出,操作就是運(yùn)算,運(yùn)算就是算符,算符可以用矩陣表示[2]。

    7) 我們?cè)倏疾?、3等這些點(diǎn),顯然,用矩陣表示就是[0,0;2,0],[0,0;3,0]等。它們和[0,0;1,0]很像啊,沒錯(cuò),我們可以把[0,0;1,0]看做是最基本的東西(我們暫且稱為基),那么向量就可以以這個(gè)基為基礎(chǔ),乘以一個(gè)矩陣便可以得出整個(gè)向量的矩陣形式。比如[0,0;2,0],我們可以以[0,0;1,0]為基,左乘一個(gè)矩陣[2,0;0,2]。所以我們說,坐標(biāo)基可以用矩陣表示[3]。

    8) 綜上,向量、算符、坐標(biāo)基都可以用矩陣表示。天啊,整個(gè)數(shù)學(xué)不就是一個(gè)矩陣的本征方程么?是的,所有數(shù)學(xué)就是一個(gè)本征方程。

    9) 我們從直線擴(kuò)展到面,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),一個(gè)向量A進(jìn)行了一個(gè)操作S,之后再進(jìn)行整個(gè)操作的逆操作S^(-1),那相當(dāng)啥也沒做,用SA S^(-1)=B表示。那么我們說A和B的操作是等效的(我們稱S是相似變換矩陣),但是A和B的值不同,是不是出事了?沒事,A和B的值不同,但A和B的本征值是一樣的,你隨便一個(gè)向量C(當(dāng)然維數(shù)要匹配),你會(huì)發(fā)現(xiàn),AC=BC。

    10) AC=BC?不可能!對(duì)的,你說的沒錯(cuò)。但你只要把AC和BC都用同一基E表示的時(shí)候,它們的左乘矩陣是一樣的。

    11) 那么,AC和BC都用同一任意表示的時(shí)候,情況是否一樣呢?答案是顯而易見的。因?yàn)槠渌我饣鵇和基E的關(guān)系顯然是唯一的,當(dāng)然這個(gè)唯一是說它的左乘矩陣的本征值一樣[4]。

    12) 因此我們可以得出結(jié)論,同一個(gè)變換,在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣,但是它們的本質(zhì)是一樣的,所以本征值相同[5]。

    13) 后面,我們還會(huì)知道,矩陣的本征值之和等于矩陣跡,本征值之積等于矩陣行列式。群用矩陣表示,群的很多特點(diǎn)和矩陣的特征標(biāo)有關(guān)[6]。

    按這條思路講解矩陣,學(xué)生反應(yīng)不錯(cuò)。

    3 結(jié)論

    本文對(duì)矩陣進(jìn)行了通俗解釋。通過簡單的實(shí)例也可以讓復(fù)雜的矩陣?yán)碚撟兊猛ㄋ滓锥?。通過通俗解釋,學(xué)生更容易入門,對(duì)線性代數(shù)的興趣更加持久。

    參考文獻(xiàn)

    [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系兒何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).第二版,北京:高等教育出版社,1988

    [2]蔣爾雄,高坤敏,足景琨.線性代數(shù).北京:人民教育出版社,1978呂炯興.矩陣論.北京:航空工業(yè)出版社,1993

    [3]孫繼廣.矩陣擾動(dòng)分析.北京:科學(xué)出版社,1987

    [4]陳公寧.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用.北京;高等教育出版社,1990

    [5]羅家洪.矩陣分析引論.廣州:華南理工大學(xué)出版社,1992

    [6]周樹荃,戴華.代數(shù)特征值反問題.鄭州:河南科學(xué)技術(shù)出版社,1991

    (2019年度廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院教科研項(xiàng)目《以技能比賽為導(dǎo)向的建筑室內(nèi)設(shè)計(jì)專業(yè)課程體系建設(shè)研究》

    項(xiàng)目合同編號(hào):桂工業(yè)院科研2019015KY015)

    (2021年度廣西高校中青年教師科研基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目《虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)在廣西少數(shù)民族室內(nèi)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究》

    項(xiàng)目合同編號(hào):2021KY1264)

    猜你喜歡
    行列式通俗向量
    向量的分解
    Sumo Wrestling
    聚焦“向量與三角”創(chuàng)新題
    行列式解法的探討
    n階行列式算法研究
    青春飛揚(yáng)(女通俗合唱)
    心聲歌刊(2017年4期)2017-09-20 11:43:50
    加項(xiàng)行列式的計(jì)算技巧
    考試周刊(2016年89期)2016-12-01 12:38:39
    用通俗的例子打比方
    快樂語文(2016年10期)2016-11-07 09:44:43
    向量垂直在解析幾何中的應(yīng)用
    向量五種“變身” 玩轉(zhuǎn)圓錐曲線
    女人久久www免费人成看片| 韩国精品一区二区三区| 国产精品久久久人人做人人爽| 一个人免费在线观看的高清视频| 午夜精品久久久久久毛片777| 久久午夜综合久久蜜桃| 久久国产精品影院| 国产欧美日韩一区二区三| 久久精品国产亚洲av高清一级| 视频区图区小说| 国产成人av激情在线播放| 色老头精品视频在线观看| 亚洲少妇的诱惑av| 99国产综合亚洲精品| 99香蕉大伊视频| 久久影院123| 又黄又爽又免费观看的视频| 国产不卡一卡二| 99精国产麻豆久久婷婷| 人人妻人人澡人人看| 黄色怎么调成土黄色| 亚洲成人免费电影在线观看| 亚洲,欧美精品.| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 91麻豆av在线| 手机成人av网站| 日本欧美视频一区| 国产精品av久久久久免费| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 757午夜福利合集在线观看| 91成人精品电影| 老司机影院毛片| 操出白浆在线播放| 亚洲国产欧美网| 三上悠亚av全集在线观看| 欧美黑人欧美精品刺激| 欧美色视频一区免费| 亚洲情色 制服丝袜| 亚洲精品成人av观看孕妇| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 亚洲精品自拍成人| 18禁美女被吸乳视频| 久久精品91无色码中文字幕| 国产欧美日韩一区二区精品| 女人精品久久久久毛片| 国产片内射在线| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 女人被狂操c到高潮| 成人影院久久| 一区二区三区国产精品乱码| 激情在线观看视频在线高清 | a级片在线免费高清观看视频| 黄频高清免费视频| 成熟少妇高潮喷水视频| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 亚洲片人在线观看| 十八禁人妻一区二区| 国产精品久久电影中文字幕 | 亚洲男人天堂网一区| 一区二区三区精品91| 国产高清国产精品国产三级| 黄色 视频免费看| 男女床上黄色一级片免费看| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 国产精品乱码一区二三区的特点 | 视频区图区小说| 人人澡人人妻人| 日韩中文字幕欧美一区二区| 18禁观看日本| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 又紧又爽又黄一区二区| 国产精品免费一区二区三区在线 | 免费一级毛片在线播放高清视频 | 又紧又爽又黄一区二区| 国产欧美亚洲国产| 最新在线观看一区二区三区| 水蜜桃什么品种好| www.999成人在线观看| tocl精华| 午夜91福利影院| 免费黄频网站在线观看国产| 国产精品 国内视频| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 91精品国产国语对白视频| 国产成+人综合+亚洲专区| 日韩欧美国产一区二区入口| 亚洲一码二码三码区别大吗| 成熟少妇高潮喷水视频| 成人特级黄色片久久久久久久| 亚洲第一青青草原| 一级作爱视频免费观看| 久久精品国产综合久久久| videos熟女内射| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| av片东京热男人的天堂| 精品第一国产精品| 黑人欧美特级aaaaaa片| 国产日韩一区二区三区精品不卡| www.精华液| 在线播放国产精品三级| 亚洲情色 制服丝袜| 无限看片的www在线观看| 亚洲精品中文字幕在线视频| 欧美在线黄色| 天天添夜夜摸| 69精品国产乱码久久久| 在线观看日韩欧美| 国产成人免费观看mmmm| 中出人妻视频一区二区| 人人澡人人妻人| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看 | 欧美老熟妇乱子伦牲交| 俄罗斯特黄特色一大片| 国产一区在线观看成人免费| 在线免费观看的www视频| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 久热这里只有精品99| 90打野战视频偷拍视频| 一级,二级,三级黄色视频| 18在线观看网站| 国产欧美日韩一区二区精品| 一级毛片高清免费大全| 国产淫语在线视频| 久久久国产成人免费| 日日夜夜操网爽| 久久精品国产a三级三级三级| 欧美激情高清一区二区三区| 国产成人啪精品午夜网站| 欧美成人午夜精品| 午夜福利在线免费观看网站| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 日本黄色视频三级网站网址 | 日日爽夜夜爽网站| 美女午夜性视频免费| 麻豆av在线久日| 黄片播放在线免费| 在线视频色国产色| 91国产中文字幕| 啦啦啦在线免费观看视频4| 极品少妇高潮喷水抽搐| 交换朋友夫妻互换小说| 91老司机精品| 一级a爱片免费观看的视频| 一级片免费观看大全| 久久影院123| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 夜夜爽天天搞| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 91成人精品电影| 中亚洲国语对白在线视频| 国产成人av激情在线播放| 久久精品国产a三级三级三级| 久久精品国产亚洲av高清一级| 久久久久精品国产欧美久久久| 欧美亚洲日本最大视频资源| 日韩欧美免费精品| 国产成人av激情在线播放| 国产在线一区二区三区精| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | www.自偷自拍.com| 国产有黄有色有爽视频| 久久久久久久久免费视频了| 天天影视国产精品| 国产av又大| 亚洲av成人一区二区三| 午夜福利,免费看| 精品国产一区二区久久| 日韩中文字幕欧美一区二区| 成在线人永久免费视频| 国产在线精品亚洲第一网站| 丁香欧美五月| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 国产精品免费视频内射| 精品国产乱码久久久久久男人| 久久久久精品国产欧美久久久| 午夜精品国产一区二区电影| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 亚洲专区中文字幕在线| 夜夜爽天天搞| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 日韩欧美一区视频在线观看| 亚洲欧美激情综合另类| 午夜两性在线视频| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 制服人妻中文乱码| 国产在线观看jvid| 久久久国产成人免费| 国产精品久久久久成人av| a级片在线免费高清观看视频| x7x7x7水蜜桃| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 日本精品一区二区三区蜜桃| 少妇的丰满在线观看| 亚洲中文日韩欧美视频| 午夜激情av网站| 动漫黄色视频在线观看| 日本欧美视频一区| 免费在线观看完整版高清| 9色porny在线观看| 日日夜夜操网爽| 99国产精品一区二区三区| 热re99久久精品国产66热6| 亚洲色图av天堂| 欧美日韩黄片免| www.自偷自拍.com| 热99久久久久精品小说推荐| 18禁美女被吸乳视频| 十分钟在线观看高清视频www| netflix在线观看网站| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 午夜福利免费观看在线| 很黄的视频免费| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 精品乱码久久久久久99久播| 国产男女内射视频| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 久久午夜亚洲精品久久| 97人妻天天添夜夜摸| 女人久久www免费人成看片| 午夜成年电影在线免费观看| tube8黄色片| 大香蕉久久成人网| 日韩免费高清中文字幕av| av视频免费观看在线观看| 日本wwww免费看| 变态另类成人亚洲欧美熟女 | 国产精品久久久久久精品古装| 午夜亚洲福利在线播放| 黄色a级毛片大全视频| 亚洲美女黄片视频| 在线观看日韩欧美| 麻豆成人av在线观看| 极品教师在线免费播放| 啦啦啦在线免费观看视频4| 亚洲片人在线观看| 成年女人毛片免费观看观看9 | 国产精品久久视频播放| 国产精品久久久久成人av| 捣出白浆h1v1| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 午夜福利视频在线观看免费| 国产国语露脸激情在线看| 国产精品免费视频内射| 日韩欧美免费精品| 亚洲中文日韩欧美视频| 久久久水蜜桃国产精品网| 国产亚洲欧美精品永久| 久久国产乱子伦精品免费另类| 香蕉国产在线看| 免费高清在线观看日韩| 久久久国产一区二区| 亚洲全国av大片| 久久精品成人免费网站| 久久久久国产精品人妻aⅴ院 | 免费日韩欧美在线观看| 亚洲,欧美精品.| 两性夫妻黄色片| aaaaa片日本免费| 国产成人免费无遮挡视频| 老熟妇仑乱视频hdxx| 国产精品一区二区在线观看99| 99热网站在线观看| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 日韩精品免费视频一区二区三区| 色精品久久人妻99蜜桃| 亚洲av熟女| 免费少妇av软件| 十八禁高潮呻吟视频| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 亚洲成国产人片在线观看| 国产精品98久久久久久宅男小说| 99在线人妻在线中文字幕 | 亚洲专区国产一区二区| 亚洲精品美女久久av网站| 成人国语在线视频| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 亚洲国产看品久久| 美女高潮到喷水免费观看| 男人的好看免费观看在线视频 | 91九色精品人成在线观看| 婷婷精品国产亚洲av在线 | 黄片播放在线免费| 又黄又爽又免费观看的视频| 国产免费av片在线观看野外av| 久久精品国产清高在天天线| 男女之事视频高清在线观看| 亚洲国产欧美一区二区综合| 丝袜美腿诱惑在线| 国产免费现黄频在线看| 国产成人精品久久二区二区91| 国产熟女午夜一区二区三区| 精品高清国产在线一区| 18禁观看日本| 黑丝袜美女国产一区| 久99久视频精品免费| 搡老熟女国产l中国老女人| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 中国美女看黄片| 黄色怎么调成土黄色| 国产野战对白在线观看| 最近最新免费中文字幕在线| 搡老乐熟女国产| 亚洲专区国产一区二区| 黄片小视频在线播放| 十分钟在线观看高清视频www| 亚洲熟女毛片儿| 国产欧美亚洲国产| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 亚洲三区欧美一区| 色94色欧美一区二区| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 国产一区二区三区综合在线观看| 一级作爱视频免费观看| 欧美最黄视频在线播放免费 | 国产亚洲精品一区二区www | 久久久久久久久免费视频了| 国产在线观看jvid| 精品熟女少妇八av免费久了| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 国产亚洲精品久久久久5区| 日日夜夜操网爽| 成年动漫av网址| 欧美日韩福利视频一区二区| 久久久久国产精品人妻aⅴ院 | 一区二区三区国产精品乱码| 精品国产美女av久久久久小说| 亚洲成a人片在线一区二区| 国产精品99久久99久久久不卡| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 亚洲精品国产一区二区精华液| 精品电影一区二区在线| 高清黄色对白视频在线免费看| 欧美久久黑人一区二区| 91成人精品电影| 嫁个100分男人电影在线观看| 国产激情欧美一区二区| 搡老岳熟女国产| 久久99一区二区三区| 搡老乐熟女国产| 丝瓜视频免费看黄片| 免费黄频网站在线观看国产| 国产99白浆流出| 亚洲九九香蕉| 一进一出抽搐动态| 亚洲成人手机| 深夜精品福利| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| www.自偷自拍.com| 亚洲熟女精品中文字幕| 少妇 在线观看| 91av网站免费观看| 久久国产亚洲av麻豆专区| 久久精品国产清高在天天线| 操美女的视频在线观看| 欧美日韩av久久| 高清视频免费观看一区二区| 性少妇av在线| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 亚洲av成人av| 国产成人免费观看mmmm| 亚洲五月色婷婷综合| 国产精品九九99| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 91精品国产国语对白视频| 欧美黄色片欧美黄色片| 法律面前人人平等表现在哪些方面| av天堂在线播放| 国产精品九九99| 日本vs欧美在线观看视频| 色老头精品视频在线观看| 十八禁网站免费在线| 亚洲成a人片在线一区二区| 欧美不卡视频在线免费观看 | 精品一区二区三区四区五区乱码| 黄色毛片三级朝国网站| 国产在线观看jvid| 99精品在免费线老司机午夜| avwww免费| 欧美乱妇无乱码| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 99国产精品免费福利视频| 久久精品成人免费网站| 精品一区二区三卡| 夜夜爽天天搞| 99精品在免费线老司机午夜| 在线免费观看的www视频| 少妇的丰满在线观看| 亚洲精品中文字幕在线视频| 成人亚洲精品一区在线观看| xxxhd国产人妻xxx| 免费在线观看完整版高清| 人妻久久中文字幕网| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 国产成人影院久久av| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 免费看a级黄色片| 中国美女看黄片| 9热在线视频观看99| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 人成视频在线观看免费观看| 五月开心婷婷网| 国产亚洲欧美在线一区二区| www.熟女人妻精品国产| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 亚洲一码二码三码区别大吗| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 操出白浆在线播放| 一本综合久久免费| 美女高潮到喷水免费观看| 久久国产精品人妻蜜桃| 欧美黑人精品巨大| 亚洲人成伊人成综合网2020| 国产精品国产高清国产av | 亚洲精品久久午夜乱码| 国产一卡二卡三卡精品| 首页视频小说图片口味搜索| 国产深夜福利视频在线观看| 午夜福利在线观看吧| www日本在线高清视频| 欧美激情极品国产一区二区三区| 99久久综合精品五月天人人| 女同久久另类99精品国产91| 国产成人精品在线电影| 国产成人免费观看mmmm| av免费在线观看网站| 亚洲av美国av| 国产区一区二久久| 久久久精品区二区三区| 在线看a的网站| 中文字幕高清在线视频| 天堂动漫精品| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 91成人精品电影| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 国产成人欧美| 欧美日韩成人在线一区二区| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 国产精品一区二区在线观看99| 久久久久视频综合| 免费av中文字幕在线| 日本欧美视频一区| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 男人舔女人的私密视频| 久久性视频一级片| 曰老女人黄片| 国产亚洲精品久久久久5区| 香蕉久久夜色| 亚洲精品av麻豆狂野| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 国产片内射在线| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 夜夜夜夜夜久久久久| 男人舔女人的私密视频| 中文欧美无线码| 一边摸一边做爽爽视频免费| 亚洲精品自拍成人| 国产精品免费视频内射| 在线观看午夜福利视频| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 亚洲国产欧美一区二区综合| 国产精品99久久99久久久不卡| 国产av精品麻豆| 一级毛片精品| 午夜免费观看网址| 中文字幕最新亚洲高清| 一区福利在线观看| www.熟女人妻精品国产| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 首页视频小说图片口味搜索| 男女午夜视频在线观看| 国产区一区二久久| 色在线成人网| 欧美黄色淫秽网站| 老熟女久久久| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 久热爱精品视频在线9| 在线永久观看黄色视频| 黄色女人牲交| 成人三级做爰电影| 一级a爱片免费观看的视频| 99久久精品国产亚洲精品| 亚洲 国产 在线| 久9热在线精品视频| 成年版毛片免费区| 91av网站免费观看| 美女国产高潮福利片在线看| 一级,二级,三级黄色视频| 午夜两性在线视频| 欧美日韩成人在线一区二区| 超碰97精品在线观看| 久99久视频精品免费| 婷婷精品国产亚洲av在线 | 亚洲精品在线美女| 一级作爱视频免费观看| 999久久久国产精品视频| 亚洲人成伊人成综合网2020| 新久久久久国产一级毛片| 久久草成人影院| 久久狼人影院| svipshipincom国产片| 国产精品久久久人人做人人爽| 久久久国产一区二区| 成年动漫av网址| 多毛熟女@视频| 丰满的人妻完整版| 黑人欧美特级aaaaaa片| 国产精品二区激情视频| 国产成人av激情在线播放| 欧美激情极品国产一区二区三区| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 一个人免费在线观看的高清视频| 久久 成人 亚洲| 国产精品一区二区在线观看99| 高清欧美精品videossex| 国产成人精品无人区| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 久久中文字幕一级| 无限看片的www在线观看| 亚洲视频免费观看视频| √禁漫天堂资源中文www| 欧美黑人精品巨大| 国产精品永久免费网站| 国产精品国产av在线观看| 免费av中文字幕在线| 午夜福利一区二区在线看| 欧美一级毛片孕妇| 在线观看一区二区三区激情| 精品欧美一区二区三区在线| 国产又爽黄色视频| 人妻久久中文字幕网| 人妻 亚洲 视频| 久久久久国产一级毛片高清牌| 国产精品欧美亚洲77777| 国产精品一区二区精品视频观看| 亚洲国产欧美一区二区综合| 国产精品98久久久久久宅男小说| 99国产精品一区二区蜜桃av | 亚洲国产欧美日韩在线播放| 视频区图区小说| www.自偷自拍.com| 精品久久蜜臀av无| 国产一区在线观看成人免费| 正在播放国产对白刺激| 黄色视频不卡| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看 | 午夜福利视频在线观看免费| 国产男女内射视频| 免费在线观看完整版高清| 日日夜夜操网爽| 90打野战视频偷拍视频| 色婷婷久久久亚洲欧美| 嫁个100分男人电影在线观看| 身体一侧抽搐| 日本wwww免费看| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 搡老乐熟女国产| 国产精品.久久久| 看黄色毛片网站| 日本a在线网址| 国产精品国产高清国产av | 搡老熟女国产l中国老女人| 黑丝袜美女国产一区| 午夜福利影视在线免费观看| 18禁美女被吸乳视频| 老司机在亚洲福利影院| 日韩大码丰满熟妇| 久久久久久久国产电影| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 亚洲精品国产精品久久久不卡| 9191精品国产免费久久| 大陆偷拍与自拍| 亚洲色图综合在线观看| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 我的亚洲天堂| 亚洲成人国产一区在线观看| 免费av中文字幕在线| 宅男免费午夜| 中文字幕高清在线视频| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 亚洲中文字幕日韩| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 国产野战对白在线观看| 亚洲精品国产一区二区精华液| 亚洲视频免费观看视频| 亚洲色图综合在线观看| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 午夜激情av网站| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 婷婷精品国产亚洲av在线 | 国产麻豆69| 国产在线一区二区三区精| 国产单亲对白刺激| 18禁国产床啪视频网站| 一夜夜www| 水蜜桃什么品种好| 99精品久久久久人妻精品| 久久精品国产a三级三级三级| 精品午夜福利视频在线观看一区| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 9色porny在线观看| 久久久国产精品麻豆| 9热在线视频观看99| 欧美日韩一级在线毛片| 国产不卡一卡二| 国产精品电影一区二区三区 | 我的亚洲天堂| 一个人免费在线观看的高清视频| 美女国产高潮福利片在线看| 桃红色精品国产亚洲av| 丝瓜视频免费看黄片| 大片电影免费在线观看免费|