基于ARIMA 模型的北京市GDP 分析及預(yù)測(cè)研究

劉癑婷 LIU Yue-ting

（北京信息科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100192）

0 引言

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值能夠綜合反映出一個(gè)地區(qū)或者國(guó)家在經(jīng)濟(jì)發(fā)展方面的實(shí)際情況。GDP 可以反映出經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)狀況、生活水平、區(qū)域發(fā)展速度等，所以GDP 對(duì)于未來(lái)政策制定和發(fā)展方向確立有著至關(guān)重要的作用。因此，眾多學(xué)者運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法來(lái)預(yù)測(cè)國(guó)家或地區(qū)GDP。在GDP 預(yù)測(cè)方面，國(guó)內(nèi)學(xué)者展開(kāi)了豐富研究，預(yù)測(cè)方法主要包括時(shí)間序列分析法[1]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2]、灰色預(yù)測(cè)法[3]。研究表明，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈現(xiàn)非平穩(wěn)趨勢(shì)規(guī)律，符合時(shí)間序列分析的預(yù)測(cè)條件。

北京市在經(jīng)濟(jì)、文化、社會(huì)生活等發(fā)展進(jìn)程中發(fā)揮了舉足輕重的作用。北京市擁有著眾多企業(yè)、高等院校、科研院所，中關(guān)村科技園是中國(guó)第一個(gè)國(guó)家級(jí)高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)，經(jīng)過(guò)不斷地壯大發(fā)展，中關(guān)村科技園成為科技創(chuàng)新高地。北京市以科技創(chuàng)新發(fā)揮輻射帶動(dòng)作用，助力區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展。因此，選擇研究北京市GDP 未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)，這將有利于協(xié)助相關(guān)部門(mén)做出經(jīng)濟(jì)決策，進(jìn)一步助力北京市高質(zhì)量發(fā)展。

1 文獻(xiàn)綜述

ARIMA 模型主要應(yīng)用在GDP 和人口數(shù)量預(yù)測(cè)方面。在GDP 預(yù)測(cè)研究方面，王佳佳[4]選用1978-2019年安徽省GDP 數(shù)據(jù)，建立ARIMA（2，1，3）模型。王芳芳[5]選用2000-2018年陜西省GDP 數(shù)據(jù)，建立了ARIMA（5，2，1）模型。在人口數(shù)量預(yù)測(cè)方面，趙子銘[6]利用中國(guó)1949-2017年人口數(shù)據(jù)，研究發(fā)現(xiàn)ARIMA（1，2，1）模型較能完整合理的對(duì)中國(guó)人口總數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。郭敏等[7]構(gòu)建了ARIMA（0，1，2）模型預(yù)測(cè)了未來(lái)三年人口出生率。孫鑫鑫等[8]通過(guò)對(duì)1949-2017年全國(guó)人口出生率的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了ARIMA（1，2，2）模型。

通過(guò)查閱文獻(xiàn)，學(xué)者對(duì)陜西省、山東省等地研究較多，但是還未有學(xué)者對(duì)北京市GDP 進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。因此，選取北京市1997-2019年的GDP 數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，以此來(lái)預(yù)測(cè)北京市2020-2025年GDP。之所以以1997年作為開(kāi)始數(shù)據(jù)，主要因?yàn)?997年是北京市GDP 首次超過(guò)2 千億元，從此以后北京市GDP 不斷加速增長(zhǎng)，更具參考價(jià)值。

2 建立ARIMA 模型步驟

2.1 模型原理

ARIMA 模型全稱(chēng)為差分自回歸移動(dòng)平均模型，由博克思和詹金斯提出。ARIMA 模型所預(yù)測(cè)隨時(shí)間發(fā)展的數(shù)據(jù)是一個(gè)隨機(jī)序列，可以通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)和描述此隨機(jī)序列，利用時(shí)間序列的已發(fā)生數(shù)據(jù)結(jié)合模型去預(yù)測(cè)出未來(lái)數(shù)據(jù)，可認(rèn)為是自回歸（AR）模型與滑動(dòng)平均（MA）模型的差分組合，一般適用于非平穩(wěn)時(shí)間序列建立的模型。ARIMA 模型包括AR、MA 和自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）幾種特殊情況[8]。

ARIMA（p，d，q）模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中：p-自回歸次數(shù)；q-滑動(dòng)平均次數(shù)；d-差分次數(shù)（階數(shù)），指原始序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的差分次數(shù)；L-滯后算子。不平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)在有限次差分運(yùn)算后可將變?yōu)槠椒€(wěn)序列，通過(guò)差分后重新得到的時(shí)間序列，稱(chēng)之為齊次非平穩(wěn)時(shí)間序列，差分一次，即稱(chēng)為一階齊次非平穩(wěn)時(shí)間序列，以此類(lèi)推。

2.2 建模步驟

①平穩(wěn)性檢驗(yàn)。利用Eviews 軟件進(jìn)行ADF 單位根檢驗(yàn)判斷序列是否平穩(wěn)。若統(tǒng)計(jì)量值均小于各水平段的臨界值且概率值小于0.05，則序列是平穩(wěn)的，反之不平穩(wěn)。利用Eviews 軟件可以更加直接和客觀的反映出序列是否平穩(wěn)。

②模型選擇。首先通過(guò)差分次數(shù)確定d；其次通過(guò)自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏向關(guān)函數(shù)（PACF）或BIC 準(zhǔn)則，綜合確定p，q。ARIMA 模型要求序列為平穩(wěn)序列，可通過(guò)ACF 和PACF 圖來(lái)判斷p 和q。如果ACF 圖在q 階處截尾，并且PACF 圖呈現(xiàn)拖尾，ARIMA 模型可簡(jiǎn)化為MA（q）；如果PACF 圖在p 階處截尾，同時(shí)ACF 圖拖尾，ARIMA 模型可簡(jiǎn)化為AR（p）；如果ACF 圖和PACF 圖都明顯呈現(xiàn)拖尾狀態(tài)，可考慮ACF 圖中最顯著的階數(shù)設(shè)為q 值，PACF 中最顯著的階數(shù)設(shè)為p 值；如果ACF 圖和PACF 圖都呈現(xiàn)截尾狀態(tài)，說(shuō)明序列為白噪聲序列，不能使用ARIMA 模型。

③殘差檢驗(yàn)。為了驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)精度，需要對(duì)殘差進(jìn)行檢驗(yàn)。利用SPSS 軟件繪制殘差自相關(guān)圖與偏相關(guān)圖，確定殘差序列是否為白噪聲序列。

通過(guò)以上三個(gè)步驟，可以對(duì)北京市GDP 數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證和建模預(yù)測(cè)。

3 實(shí)例分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

首先選取北京市1997-2019年地區(qū)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，所有數(shù)據(jù)均來(lái)源于《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》，具體見(jiàn)表1。

表1 北京市生產(chǎn)總值數(shù)據(jù) 單位：億元

3.2 平穩(wěn)性檢測(cè)

利用Eviews 軟件對(duì)北京市1997-2019年地區(qū)生產(chǎn)總值進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。首先，利用SPSS 軟件繪制北京市GDP 時(shí)序圖（見(jiàn)圖1）。

腰椎間盤(pán)突出癥屬于常見(jiàn)老年疾病，合并基礎(chǔ)疾病較多，治療難度較大[5]。該病治療方式較多，但臨床中不同治療方案下療效各不相同，在術(shù)后疼痛與功能障礙方面也有顯著差異。本研究旨在探討經(jīng)皮椎間孔鏡治療腰椎間盤(pán)突出癥患者的臨床效果。

圖1 北京市1997-2019年地區(qū)生產(chǎn)總值時(shí)序圖

由圖1 可以看出，北京市地區(qū)生產(chǎn)總值總體呈上升趨勢(shì)，并且速度較快，是典型的非平穩(wěn)序列，說(shuō)明北京市1997-2019年地區(qū)生產(chǎn)總值為非平穩(wěn)時(shí)間序列。

其次，應(yīng)用對(duì)數(shù)法使序列平穩(wěn)化使其可以進(jìn)一步分析。應(yīng)用對(duì)數(shù)法繪制出的時(shí)序圖，見(jiàn)圖2。

圖2 北京市1997-2019年地區(qū)生產(chǎn)總值自然對(duì)數(shù)的時(shí)序圖

運(yùn)用Eviews 軟件對(duì)取對(duì)數(shù)之后的北京市GDP 序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，見(jiàn)表2。

表2 原序列取對(duì)數(shù)后ADF 檢驗(yàn)表

ADF 檢驗(yàn)結(jié)果如表2 所示，單位根統(tǒng)計(jì)量ADF=-0.142491，大于顯著性水平（1%-10%）對(duì)應(yīng)的ADF 臨界值，P=0.9902＞0.01，不拒絕原假設(shè)，序列為非平穩(wěn)序列。因此對(duì)原始數(shù)據(jù)在取對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行一階差分，檢驗(yàn)其是否平穩(wěn)。

由圖3 可以看出，該序列始終在0 點(diǎn)左右隨機(jī)波動(dòng)，并且波動(dòng)范圍有界，因此，能夠確定原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)再進(jìn)行一階差分之后的序列平穩(wěn)。為了保證客觀，利用Eviews軟件對(duì)其進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，判斷其是否平穩(wěn)。

圖3 北京市1997-2019年地區(qū)生產(chǎn)總值自然對(duì)數(shù)一階差分時(shí)序圖

ADF 檢驗(yàn)結(jié)果如表3 所示，單位根統(tǒng)計(jì)量ADF=-5.489635，小于顯著性水平（1%-10%）對(duì)應(yīng)的ADF 臨界值，P=0.0003＜0.01，說(shuō)明拒絕原假設(shè)，序列為平穩(wěn)序列。因此，應(yīng)該建立ARIMA 模型，且差分的階數(shù)d=1。

表3 原序列取對(duì)數(shù)后一階差分ADF 檢驗(yàn)表

3.3 偏（自）相關(guān)性檢驗(yàn)及差分運(yùn)算

利用Eviews 進(jìn)行偏（自）相關(guān)性檢驗(yàn)，見(jiàn)表4。

表4 Eviews 自相關(guān)檢驗(yàn)和偏自相關(guān)檢驗(yàn)表

3.4 ARIMA 模型擬合及預(yù)測(cè)

由表5 看出，R 方為0.994，p=0.009＜0.01，擬合程度良好。

表5 模型統(tǒng)計(jì)量

對(duì)2019年往后五年進(jìn)行預(yù)測(cè)，見(jiàn)表6。

表6 預(yù)測(cè)值

通過(guò)表5 中預(yù)測(cè)值可以看出，2020年至2025年北京市GDP 一直不斷穩(wěn)定上升。

4 結(jié)束語(yǔ)

大部分GDP 原始數(shù)據(jù)都是不平穩(wěn)的，因此需要將數(shù)據(jù)平穩(wěn)化后，才能對(duì)其構(gòu)建ARIMA 模型。

本文對(duì)北京市GDP 指數(shù)進(jìn)行未來(lái)五年的預(yù)測(cè)，通過(guò)對(duì)北京市1997-2019年GDP 數(shù)據(jù)時(shí)序圖進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，該時(shí)間序列并不平穩(wěn)，而平穩(wěn)性是建模的基礎(chǔ)。

因此，運(yùn)用ADF 檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在原始序列取對(duì)數(shù)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一階差分后的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，可以構(gòu)建ARIMA 模型。

然后，對(duì)平穩(wěn)的時(shí)間序列模型進(jìn)行p，q 階數(shù)的確定，利用時(shí)間序列分析方法，建立ARIMA（0，1，0）模型，并對(duì)2020-2025年的北京市GDP 值進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)北京市GDP 不斷提升。

未來(lái)，還需對(duì)此研究進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)。本文沒(méi)有考慮宏觀和微觀外部環(huán)境對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響。比如2020年突如其來(lái)的新冠肺炎疫情，打破了全世界的經(jīng)營(yíng)秩序，生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)按下了暫停鍵，多各地經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生嚴(yán)重沖擊。但是通過(guò)該模型預(yù)測(cè)2020年北京市GDP 仍是比較大幅度提升，與實(shí)際情況比較偏離。

基于ARIMA 模型的GDP 分析與預(yù)測(cè)，僅從歷史GDP數(shù)據(jù)建立模型，沒(méi)有考慮外界其他因素的影響，會(huì)造成預(yù)測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)確，后續(xù)可以進(jìn)一步研究，不斷提高預(yù)測(cè)精度，為國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供指南。