通脹風(fēng)險(xiǎn)和激勵(lì)方案下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資

余 鑫， 王傳玉， 何學(xué)強(qiáng)

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院金融工程系， 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

傳統(tǒng)上，養(yǎng)老金固定繳款(DC)計(jì)劃管理者的管理激勵(lì)是單一管理費(fèi)安排，根據(jù)基金的價(jià)值收取費(fèi)用。然而，在激勵(lì)較低的方案下，經(jīng)理們的表現(xiàn)通常很差，無(wú)法跟上基準(zhǔn)。Hawthorne[1]指出：相對(duì)于管理者們?cè)愀獾臉I(yè)績(jī)，獲得了過(guò)高的管理費(fèi)。類似的現(xiàn)象在對(duì)沖基金和共同基金管理領(lǐng)域也得到了廣泛的研究。Gomez-Mejia和Wiseman[2]的研究表明，單一管理費(fèi)用制度下的管理者缺乏激勵(lì)，無(wú)法為更好的績(jī)效付出更大的努力。

Stoughton[3]和Li等[4]發(fā)現(xiàn)激勵(lì)改變了管理者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，從而產(chǎn)生了道德風(fēng)險(xiǎn)；Stark[5]和Elton等[6]分別從理論和實(shí)證的角度研究了激勵(lì)機(jī)制對(duì)風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)行為和基金績(jī)效的影響；Foster等[7]使用實(shí)證數(shù)據(jù)表明，在管理費(fèi)用和業(yè)績(jī)費(fèi)用方案下，激勵(lì)安排增加了風(fēng)險(xiǎn)分配和基金波動(dòng)性。幾何布朗運(yùn)動(dòng)資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)和期望效用理論框架是模型化基金過(guò)程和研究管理者風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)政策最常用的設(shè)置。Gerber等[8]綜述了幾何布朗運(yùn)動(dòng)在養(yǎng)老基金動(dòng)態(tài)建模中的應(yīng)用；Carpenter[9]和Hoand[10]確定了在這些情況下風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)和管理激勵(lì)之間的正相關(guān)關(guān)系；此外，Bichuch等[11]使用一般的半鞅來(lái)描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)；He和等[12]提出了一個(gè)基于累積前景理論的框架工作來(lái)研究對(duì)沖基金的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)與績(jī)效費(fèi)用之間的關(guān)系。他們成功地獲得了第一損失計(jì)劃下封閉形式的最優(yōu)交易策略。因此，以幾何布朗運(yùn)動(dòng)資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)和恒定相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用為背景，研究了通脹風(fēng)險(xiǎn)下加入激勵(lì)方案之后管理者的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)策略。

Lin[13]研究指出:績(jī)效費(fèi)可能會(huì)產(chǎn)生更大的激勵(lì)，促使管理者在投資方面做出更多努力。因此，不同激勵(lì)方案下的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)政策在基金管理文獻(xiàn)中得到了廣泛的研究。近幾年通貨膨脹對(duì)金融市場(chǎng)的影響愈發(fā)顯著，王傳玉等[14]研究了通貨膨脹和損失厭惡下的DC養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問(wèn)題。在前景理論的框架下，應(yīng)用伊藤公式得到通脹折現(xiàn)后真實(shí)股票價(jià)格的微分方程；然后，考慮通脹環(huán)境下的退休時(shí)刻終端財(cái)富期望效用最大化問(wèn)題，應(yīng)用鞅方法推導(dǎo)退休前任意時(shí)刻DC養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的顯式解，分析損失厭惡對(duì)DC養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略的影響。在Lin[13]的基礎(chǔ)上加入通脹風(fēng)險(xiǎn)的因素，在此環(huán)境下建立了管理者的關(guān)于時(shí)間和基金財(cái)富的風(fēng)險(xiǎn)結(jié)構(gòu)。一方面，在方案中，管理者的收益是最終積累的分段函數(shù)，DC養(yǎng)老金經(jīng)理在時(shí)間和基金財(cái)富方面復(fù)雜的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)行為尚未得到很好的研究。另一方面，對(duì)于DC養(yǎng)老金而言，繳款過(guò)程是消除基金財(cái)富過(guò)程中自籌資金和鞅特性的重要決定因素。采用隨機(jī)最優(yōu)控制方法，研究了管理費(fèi)用和績(jī)效費(fèi)用方案下養(yǎng)老金管理者的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)政策。為了解決這些問(wèn)題，在模型中加入了輔助的勞動(dòng)資本過(guò)程，如Kwak[15]， Pirvu等[16]，Guan等[17]。假設(shè)繳款過(guò)程是非隨機(jī)的，使用對(duì)偶方法和賦值技術(shù)，見(jiàn)Karatzas[18]求解鞅框架下的奇異優(yōu)化問(wèn)題。

1 數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)

1.1 金融市場(chǎng)

在DC養(yǎng)老金管理中，繳款被不斷的支付給養(yǎng)老金，管理者動(dòng)態(tài)地將基金財(cái)富分配給有風(fēng)險(xiǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，以達(dá)到投資目標(biāo)。首先，建立了動(dòng)態(tài)的風(fēng)險(xiǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合模型。

假設(shè)所有過(guò)程和隨機(jī)變量都定義在概率空間(Ω,F，{Ft}t∈[0,T],P)上，且滿足一般條件，其中P表示真實(shí)概率測(cè)度。而所考慮的完備的金融市場(chǎng)由兩種資產(chǎn)組成：一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。兩種資產(chǎn)的定價(jià)過(guò)程如下：

假設(shè)1 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格{Rt}t≥0滿足下列微分方程：

dRt=rRtdt

其中，r是固定收益率，r>0。

假設(shè)2 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格{St}t≥0是一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，滿足下列隨機(jī)微分方程：

假設(shè)3 假設(shè)通貨膨脹是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其收益水平Qt滿足下面的微分方程:

1.2 養(yǎng)老基金財(cái)富

假定t時(shí)刻的總財(cái)富為Xt，初始財(cái)富記為X0，πt為投資于有風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)的資金比例，(1-πt)為投資到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)金融資產(chǎn)的資金比例，可以得到在t時(shí)刻的基金財(cái)富過(guò)程為

這里c是繳款率，πt表示t∈[0,T]分配給風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總額。

金融市場(chǎng)是完備的，存在一個(gè)且只存在一個(gè)定價(jià)核。

定義狀態(tài)價(jià)格密度過(guò)程{ξt}0≤t≤T如下(Lin)[36]：

清算級(jí)別應(yīng)包括在DC養(yǎng)老金管理中，這是基準(zhǔn)G=G(T)在T時(shí)刻的比例ρ，0<ρ<1。基準(zhǔn)G(T)是在合理累計(jì)率下的直到時(shí)間T為止的預(yù)期累積繳款：

假設(shè)4 假設(shè)激勵(lì)方案下，管理者的收益Θ(XT)為

其中k1是管理費(fèi)的費(fèi)率，k2是績(jī)效費(fèi)率，XT是終端基金財(cái)富。顯然較高的k2會(huì)給管理者帶來(lái)更高的激勵(lì)?？?jī)效費(fèi)的有效性由基準(zhǔn)決定G=G(T)。如果基金財(cái)富大于基準(zhǔn)，管理者將獲得基本管理費(fèi)和額外的績(jī)效費(fèi)作為獎(jiǎng)勵(lì)。

下面將對(duì)模型進(jìn)行求解，來(lái)得出通脹風(fēng)險(xiǎn)和激勵(lì)方案下DC型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資。

2 模型求解

2.1 效用函數(shù)

假設(shè)管理者的期望效用是E[U(XT)],其中U是管理者激勵(lì)方案下的效用函數(shù)，選擇CRRA效用函數(shù)。XT是終端財(cái)富過(guò)程。

目標(biāo)是求出最大效益，即

其中,π∈v[0,T]表示所有的可行性策略，

p∈(-∞,0)∪(0,1)是靈敏度遞減的參數(shù)，衡量管理者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。激勵(lì)方案下的效用函數(shù)表示為

此外，為了衡量成員的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，設(shè)成員的效用函數(shù)為

q∈(-∞,0)∪(0,1)是靈敏度遞減的參數(shù)，衡量成員的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。通常成員的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度高于管理者，即q

根據(jù)上述分析，連續(xù)注資過(guò)程消除了基金財(cái)富過(guò)程的自融資屬性。文獻(xiàn)[10，19]增加了一個(gè)輔助的勞動(dòng)資本過(guò)程，將原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的自籌資金問(wèn)題。因此，鞅方法和對(duì)偶方法可用于自籌資金優(yōu)化，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)政策可通過(guò)市場(chǎng)的完備性從終端收益中導(dǎo)出。

將H(t)定義為t時(shí)刻單位貢獻(xiàn)的勞動(dòng)資本：

H(t)c是未來(lái)繳款的現(xiàn)值，代表t時(shí)刻的勞動(dòng)資本。財(cái)富總值Yt在時(shí)刻t為

Yt=Xt+H(t)c

這是基金財(cái)富和勞動(dòng)資本的結(jié)合。因此，Yt滿足以下隨機(jī)微分方程：

顯然，總財(cái)富過(guò)程{Yt}0≤t≤T是一個(gè)自籌過(guò)程，且在鞅框架下，可以解決隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題。此外，勞動(dòng)資本{H(t)c}0≤t≤T是一個(gè)確定過(guò)程，在{Xt}0≤t≤T上的優(yōu)化問(wèn)題可以很容易地轉(zhuǎn)化成在{Yt}0≤t≤T上的優(yōu)化問(wèn)題。特別是，勞動(dòng)資本在退休時(shí)終止，XT=YT是有效的。此外，最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)策略可以通過(guò)市場(chǎng)的完備性從最優(yōu)的終端收益中獲得。

非線性增益特性破壞了激勵(lì)方案下效用函數(shù)的凹形，因此用對(duì)偶方法來(lái)解決這一問(wèn)題，通過(guò)建立奇異效用函數(shù)的包絡(luò)線，最終確定最優(yōu)基金的終端財(cái)富，并根據(jù)包絡(luò)線產(chǎn)生的收益確定最優(yōu)的投資策略。

首先，激勵(lì)方案下效用函數(shù)U的對(duì)偶函數(shù)V的共軛函數(shù)V和共軛點(diǎn)Y的表達(dá)式分別為

其次，對(duì)于基金財(cái)富過(guò)程，顯示的表達(dá)為

Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z的累積分布函數(shù)。此外，對(duì)于任意的t∈[0,T]，d1,t和d2,t是t和ξt的函數(shù)：

情況1：

此時(shí)U的凹包絡(luò)為

v*為方案下的邊際效用且滿足

t時(shí)刻的最優(yōu)基金財(cái)富是

對(duì)于任意的t∈[0,T]，有：

t時(shí)刻的最優(yōu)策略是

情況2：

此時(shí)U的凹包絡(luò)為

其中C2為管理者態(tài)度從追求風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)向規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，得出最優(yōu)基金財(cái)富和最優(yōu)投資比:

3 數(shù)值模擬與結(jié)果分析

現(xiàn)將進(jìn)行數(shù)值模擬，以便更直觀表示出通脹環(huán)境下，激勵(lì)方案對(duì)DC型養(yǎng)老金投資策略的影響。首先為模型中的參數(shù)設(shè)置合理的值。數(shù)值分析的參數(shù)值來(lái)自Lin[36]，選取參數(shù)值為r=0.05,σ=0.3,μ=0.17,θ=0.4。

從圖1和圖2可以看出：額外的基金財(cái)富通過(guò)直接增加激勵(lì)方案下的獎(jiǎng)勵(lì)金額，提高了管理者的效用。具體來(lái)說(shuō)，在方案下，額外的基金財(cái)富也增加了獲得績(jī)效費(fèi)的可能性，從而以比較保守的政策增加了績(jī)效費(fèi)的可能。此外，在績(jī)效費(fèi)率最高的情況下，每增加一單位的基金財(cái)富，管理者產(chǎn)生的效用最高。在通脹環(huán)境下，當(dāng)基金財(cái)富較低時(shí)，較高的績(jī)效費(fèi)率會(huì)導(dǎo)致更激進(jìn)的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)行為。這種賭博導(dǎo)致更大收益的可能性更高。因此，在這種情況下，效用相對(duì)較高。而且，效用的改善隨著接近終端時(shí)間而減小。前者的積累對(duì)于DC養(yǎng)老基金的管理至關(guān)重要，因?yàn)楣芾碚哂袝r(shí)間實(shí)施后續(xù)的適應(yīng)性政策。根據(jù)以上結(jié)果，在通脹環(huán)境下，管理良好的基金將顯著提高管理者的效用。

圖1 邊際效用與資產(chǎn)關(guān)系圖

圖2 加入通脹后邊際效用與資產(chǎn)關(guān)系圖

4 結(jié)論與展望

推導(dǎo)了通脹風(fēng)險(xiǎn)下DC養(yǎng)老金激勵(lì)方案下的最優(yōu)投資問(wèn)題。根據(jù)以上情況，在激勵(lì)方案下，最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資比例在清算水平與轉(zhuǎn)折點(diǎn)之間呈峰谷形態(tài)。由于Lin[36]解釋到清算不會(huì)在終端時(shí)刻之前發(fā)生，所以在本文中，終端時(shí)刻之前的任意時(shí)刻，不同的激勵(lì)方案下，收益明顯不同，且更冒險(xiǎn)的賭博行為只發(fā)生在基金財(cái)富較低和到期時(shí)間較短的時(shí)候。相應(yīng)地，當(dāng)基金財(cái)富較低，到期時(shí)間較短時(shí)，經(jīng)理和成員會(huì)采取更加激進(jìn)的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)政策以獲得更高的收益而賭博；當(dāng)基金財(cái)富相對(duì)較大時(shí)，經(jīng)理和成員可以通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)目?jī)效費(fèi)率來(lái)提高收益，從而采取更加保守的風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)政策。因此，通脹環(huán)境下，將激勵(lì)機(jī)制引入DC養(yǎng)老金計(jì)劃管理是一種雙贏的局面。

主要貢獻(xiàn)是在考慮激勵(lì)方案對(duì)管理者投資策略的影響時(shí)，加入了通脹風(fēng)險(xiǎn)的因素，因?yàn)樵诮鹑谑袌?chǎng)中，通貨膨脹是實(shí)際存在的，因此得出的結(jié)果會(huì)與現(xiàn)實(shí)更貼近。