有序思考促進(jìn)數(shù)學(xué)基本圖的合理生長(zhǎng)

章渭根

【摘要】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，發(fā)展學(xué)生“幾何直觀”素養(yǎng)是課程重要內(nèi)容之一。這一素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵在于如何培養(yǎng)學(xué)生的圖象表征能力。從學(xué)生學(xué)情出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生有序思考，理解基本圖的來(lái)源、常態(tài)、變化，探究知識(shí)間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)，促進(jìn)基本圖的生長(zhǎng)，得到豐富的拓展圖。學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上鞏固常規(guī)圖形，單元知識(shí)結(jié)構(gòu)直觀呈現(xiàn)、不斷完善。

【關(guān)鍵詞】有序思考;圖象表征;生長(zhǎng);基本圖;拓展圖

在一次八上數(shù)學(xué)期末測(cè)試中，對(duì)兩個(gè)試題的學(xué)生解答情況反饋引發(fā)筆者的深入反思：

試題一：?jiǎn)芜x題第4題，已知下列尺規(guī)作圖：①作一個(gè)角的角平分線;②作一個(gè)角等于已知角;③作一條線段的垂直平分線，其中作法正確的是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

試題二：第12題，“等腰三角形底邊上的高線與中線互相重合”的逆命題是，這個(gè)逆命題是命題.（真、假）

試題一的準(zhǔn)確率比我們預(yù)計(jì)的要低，試題二的正確率更是低得出奇，不得不讓我們對(duì)幾何教學(xué)進(jìn)行深入反思。在教學(xué)中，我們從教師角度出發(fā)思考教學(xué)策略、設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，過(guò)于重視作圖的規(guī)范性，定理、證明如何使用，幾何語(yǔ)言如何書(shū)寫(xiě)。忽視了從學(xué)生角度來(lái)質(zhì)疑：為什么要學(xué)這個(gè)內(nèi)容？為什么要這樣畫(huà)圖？未追問(wèn)“等腰三角形三線合一”為什么一定要先知道等腰三角形底邊上的中線兩個(gè)條件，缺乏有序思考。

圖象表征是指借助圖象表達(dá)幾何問(wèn)題及內(nèi)在關(guān)系的一種直觀形式，是“幾何直觀”素養(yǎng)實(shí)踐的一種操作載體。通過(guò)圖象表征能力培養(yǎng)，形成“主動(dòng)思考問(wèn)題→分析思維障礙→尋求最近發(fā)展區(qū)→學(xué)會(huì)圖象表征→思考問(wèn)題更直觀”的有效解題途徑。

一、導(dǎo)入中，通過(guò)有序思考觸發(fā)基本圖的生長(zhǎng)

課堂教學(xué)中，有序思考對(duì)“教”與“學(xué)”的整個(gè)活動(dòng)流程起引領(lǐng)作用。上面試題二的相關(guān)教學(xué)中，教學(xué)導(dǎo)入與探究環(huán)節(jié)可設(shè)計(jì)為：復(fù)習(xí)三角形中線的定義、性質(zhì)和相關(guān)推論→探究等腰三角形的中線（腰上、底邊上）會(huì)有什么特殊性？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)腰上的中線無(wú)特殊性質(zhì)，而底邊上的中線有“三線合一”的性質(zhì)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，能夠讓學(xué)生明白“等腰三角形三線合一”三角形中線性質(zhì)的一種特例（同理也可以從高線、角平分線來(lái)探究），找到其合理的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，讓單元教學(xué)的過(guò)渡非常自然，學(xué)生的知識(shí)體系邏輯性更強(qiáng)。

理解“教學(xué)活動(dòng)”，在有序思考原則下進(jìn)行質(zhì)疑，達(dá)到數(shù)學(xué)概念、方法在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中的一致性，貫穿課堂、作業(yè)、復(fù)習(xí)、考試這些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，使“教”與“學(xué)”高度融合，其

關(guān)系如下圖所示：

基本圖不是直接給出的，而是通過(guò)分析圖形基本要素間的關(guān)系之后觸發(fā)生長(zhǎng)，對(duì)比歸納后才基本定型。如在“解直角三角形”的教學(xué)中，先設(shè)疑“直角三角形是怎么來(lái)的？為什么要解直角三角形？如何解直角三角形？”，然后設(shè)計(jì)“串式”問(wèn)題引領(lǐng)：兩個(gè)角行不行？→一直角加一邊行不行？→再加一角（或一邊）呢？再通過(guò)探索證明、舉例驗(yàn)證得到基本圖，激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的主動(dòng)性和體驗(yàn)感。

二、糾錯(cuò)中，通過(guò)質(zhì)疑分析鞏固基本圖的常態(tài)

在基本圖的運(yùn)用（練習(xí)、作業(yè)、測(cè)試等）中，教師的意愿是通過(guò)反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生能熟練運(yùn)用某一種基本圖。而實(shí)際上從學(xué)生反饋情況來(lái)看基本圖是千姿百態(tài)的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)已學(xué)知識(shí)及時(shí)進(jìn)行分析和糾錯(cuò)，從有利于學(xué)生圖象表征能力發(fā)展出發(fā)，科學(xué)分析和合理評(píng)價(jià)。

例如，“畫(huà)線段的垂直平分線”教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的各種畫(huà)法及時(shí)進(jìn)行歸類(lèi)、分析和點(diǎn)評(píng)，對(duì)于錯(cuò)誤的畫(huà)法要分析錯(cuò)因，對(duì)于正確的畫(huà)法要分析為什么對(duì)？哪種畫(huà)法更簡(jiǎn)便？

三、交流中，通過(guò)反思變式探究拓展圖的應(yīng)用

學(xué)生掌握基本圖的基礎(chǔ)上，通過(guò)交流引導(dǎo)學(xué)生反思和質(zhì)疑，在探究解決學(xué)生疑點(diǎn)的過(guò)程中，自然地生長(zhǎng)出拓展圖，構(gòu)建出較完整的圖象體系，學(xué)生獲得研究問(wèn)題的基本方法和程序，樹(shù)立用數(shù)學(xué)思維來(lái)解決問(wèn)題的意識(shí)。

例如，在上述試題二中蘊(yùn)含的“等腰三角形的性質(zhì)‘三線合一”教學(xué)中，其基本圖有三種，這三種基本圖有共同的前提條件“等腰三角形”，而子條件是“底邊上的高線”“底邊上的中線”“頂角的角平分線”三者中選一個(gè)，另外兩個(gè)當(dāng)結(jié)論。得到第一個(gè)基本圖形之后，另外兩個(gè)基本圖可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生反思質(zhì)疑來(lái)導(dǎo)出。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)子條件和其中一個(gè)結(jié)論互換后仍然是真命題，就很自然地設(shè)疑“可不可以將等腰三角形作為結(jié)論呢？”，然后通過(guò)探究推理得到了與基本圖相關(guān)的一些拓展圖。

學(xué)生設(shè)疑：可不可以將等腰三角形作為結(jié)論呢？運(yùn)用分類(lèi)討論思想，然后通過(guò)推理證明，可得相關(guān)拓展圖：

四、復(fù)習(xí)中，通過(guò)思維導(dǎo)圖建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng)

知識(shí)梳理是復(fù)習(xí)的重要方面，是鞏固基礎(chǔ)、理清脈絡(luò)的有效方法， 思維導(dǎo)圖能更直觀地顯示各知識(shí)的來(lái)龍去脈，更具邏輯性，提高了復(fù)習(xí)效率。例如上述試題二涉及的知識(shí)內(nèi)容源于“三角形”大單元的一個(gè)分支，再引出三角形的“三線”性質(zhì)特殊化，即等腰三角形的“三線” 性質(zhì)及拓展，后續(xù)學(xué)等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形時(shí)又會(huì)引出三角形“三線”性質(zhì)的另三個(gè)特殊化分支，如“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，這樣的知識(shí)系統(tǒng)構(gòu)建過(guò)渡自然、邏輯性強(qiáng)、學(xué)生易于理解和掌握。

圖象表征能力的培養(yǎng)貫穿于學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，新課重視基本圖的來(lái)源、拓展圖的生長(zhǎng)，復(fù)習(xí)課重視這兩類(lèi)圖的關(guān)聯(lián)體系構(gòu)建。教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生漸進(jìn)探究，有序思考，清晰表達(dá)。教學(xué)時(shí)厘清三種序列：（1）知識(shí)脈絡(luò)發(fā)展序列。從已學(xué)到未知、從特殊到一般。（2）探究操作活動(dòng)序列。教學(xué)時(shí)化“無(wú)形”為“有形”，學(xué)生積極參與看、說(shuō)、畫(huà)、問(wèn)、思等活動(dòng)，獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合。（3）思維脈絡(luò)發(fā)展序列。遵循由具體到抽象，由分散到聚焦等思維脈絡(luò)培養(yǎng)。實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這樣可使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間關(guān)系的理解，理解基本圖和常見(jiàn)圖的條件和構(gòu)造特點(diǎn)，并在學(xué)習(xí)中不斷地豐富儲(chǔ)備。學(xué)生更容易走近數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)和老師更有親切感，在嘗試中獲得成功體驗(yàn)，增強(qiáng)自信。在解決教復(fù)雜的圖象類(lèi)問(wèn)題時(shí)，能拆解成許多關(guān)聯(lián)的基本圖。沒(méi)有形成解題思路，也會(huì)從基本圖出發(fā)去考慮，迅速找到題眼，提高解題效率。

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