陀螺儀噪聲對(duì)軌道高低不平順檢測的影響

程朝陽 趙延峰 陳仕明 韓志 張茂軒 魏世斌

1.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司基礎(chǔ)設(shè)施檢測研究所，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院研究生部，北京 100081

軌道檢測是及時(shí)掌握軌道幾何形位、指導(dǎo)工務(wù)養(yǎng)護(hù)、保證鐵路安全運(yùn)行的重要保障［1］?；趹T性基準(zhǔn)法的軌道檢測一般采用光纖陀螺提供慣性基準(zhǔn)，因此有必要分析光纖陀螺噪聲對(duì)軌道檢測的影響［2］。

衡量光纖陀螺性能的基本指標(biāo)是零偏穩(wěn)定性。零偏穩(wěn)定性是指輸入角速率為零，采樣周期一定，陀螺輸出角速率的標(biāo)準(zhǔn)差。零偏穩(wěn)定性是一個(gè)綜合指標(biāo)［3］，包含多項(xiàng)誤差。Allan 方差法［4］是在時(shí)域上對(duì)頻域特性進(jìn)行分析的方法，可估計(jì)光纖陀螺角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走的功率譜密度［5］。三種噪聲的功率譜密度分別與頻率f的γ次方成反比，滿足冪律譜模型，屬于1∕f γ分形噪聲，其功率譜密度的傅里葉逆變換可仿真三種噪聲的時(shí)間樣本序列。

用正弦波窄帶信號(hào)模擬軌道不平順空間連續(xù)波形，基于鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)時(shí)間和空間求導(dǎo)獲取該空間波形對(duì)應(yīng)的角速率時(shí)間序列，進(jìn)行抗混濾波、空間采樣、速度補(bǔ)償、高通濾波等高低不平順檢測算法流程，對(duì)比疊加噪聲的角速率通過相同算法流程的結(jié)果，可表征陀螺儀噪聲對(duì)檢測結(jié)果的影響。

1 用Allan方差估計(jì)陀螺儀噪聲功率譜密度

1.1 用Allan方差和噪聲功率譜密度的關(guān)系

令{x(t)，- ∞＜t＜∞}為各態(tài)歷經(jīng)的零均值平穩(wěn)過程（t為時(shí)間），樣本函數(shù)的時(shí)間平均可替代過程的總體平均，獲取過程{x(t)}的一個(gè)樣本函數(shù)xj，j=0、1、…、M，將其分成若干個(gè)連貫數(shù)組［7］，每組有連貫的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。相鄰的第k、k+1 組的平均值分別表示為

式中：tk、tk-1分別為相鄰兩組時(shí)間起始值；τ為時(shí)間差，tk=tk-1+τ。

由式（1）、式（2）可知

因?yàn)閤(t)為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)過程，自相關(guān)函數(shù)R(τ)與功率譜密度Sω為傅里葉變換對(duì)，且只與時(shí)間差τ有關(guān)，總平均功率與平均交流功率相同，自相關(guān)函數(shù)即為協(xié)方差，故協(xié)方差與功率譜密度為傅里葉變換對(duì)，表達(dá)式為

將式（5）代入式（4），可得

又因協(xié)方差為實(shí)函數(shù)，功率譜密度為偶函數(shù)，故Allan方差為

式（8）建立了Allan 方差和功率譜密度的關(guān)系，可有效分析陀螺各種隨機(jī)誤差［8］。

1.2 陀螺儀噪聲功率譜對(duì)應(yīng)的Allan方差

基于慣性基準(zhǔn)法的高低不平順檢測要求陀螺測量輸出的角速率在短時(shí)間內(nèi)保持較高精度，故角度隨機(jī)游走是影響檢測的主要因素；同時(shí)軌道幾何檢測中陀螺儀工作時(shí)間通常較長，因此導(dǎo)致長期漂移誤差的零偏不穩(wěn)定性和角速率隨機(jī)游走也成為影響檢測精度的主要因素［9］。本節(jié)主要對(duì)光纖陀螺的角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走噪聲的功率譜密度與Allan方差的關(guān)系進(jìn)行說明。

1.2.1 角度隨機(jī)游走

角度隨機(jī)游走表現(xiàn)為陀螺輸出的角速率白噪聲。角度隨機(jī)游走反映了角速率信號(hào)中寬帶白噪聲的特性，是寬帶角速度白噪聲積分的結(jié)果，即陀螺從0時(shí)刻起累積的總角增量誤差表現(xiàn)為隨機(jī)游走［10］，而每一時(shí)刻等效角速度誤差表現(xiàn)為白噪聲。這種噪聲是服從高斯分布、具有零均值的廣義平穩(wěn)白噪聲，其功率譜密度為

式中：Sω，ARW(f)為角度隨機(jī)游走噪聲功率譜密度；N為角度隨機(jī)游走噪聲功率譜密度系數(shù)。

因此，N由Allan方差表達(dá)為

1.2.2 零偏不穩(wěn)定性

采樣周期較短時(shí)，光纖陀螺的零偏穩(wěn)定性隨采樣周期的增大而減小。采樣周期增加到某一值時(shí)，零偏穩(wěn)定性會(huì)限制在某一量級(jí)內(nèi)，此時(shí)光纖陀螺輸出中的低頻漂移開始起作用，通過增加平均時(shí)間無法加以抑制。零偏不穩(wěn)定性可用于描述陀螺角速率測量數(shù)據(jù)中的低頻漂移。當(dāng)光纖陀螺工作時(shí)間較長時(shí)，零偏不穩(wěn)定性是角誤差的主要來源。

零偏不穩(wěn)定性具有低頻特性，該噪聲表現(xiàn)為偏置不穩(wěn)定性，最簡單的表達(dá)形式為隨機(jī)常數(shù)?？紤]到陀螺的動(dòng)態(tài)時(shí)變特性，選擇用1∕f來模擬偏置不穩(wěn)定性噪聲功率譜，其表達(dá)式為

式中：Sω，BI(f)為零偏不穩(wěn)定性噪聲功率譜密度；B為零偏不穩(wěn)定性噪聲功率譜密度系數(shù)。

因此，B由Allan方差表達(dá)為

1.2.3 角速率隨機(jī)游走

陀螺角加速率誤差表現(xiàn)為寬帶白噪聲，角速率隨機(jī)游走（Rate Random Walk，RRW）是角加速率經(jīng)過積分后疊加在陀螺角速率觀測量上的一部分誤差，這類誤差的方差隨采樣周期增大而增大。積分后的角速率誤差表現(xiàn)為隨機(jī)游走，可通過對(duì)白噪聲的積分來近似得到，其隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性服從布朗運(yùn)動(dòng)特征。角速率功率譜密度表達(dá)式為

式中：Sω，RRW(f)為角速率隨機(jī)游走功率譜密度；K為角速率隨機(jī)游走功率譜密度系數(shù)。

K對(duì)應(yīng)的角速率誤差S∫ωt(f)為

角速率隨機(jī)游走對(duì)應(yīng)的Allan方差σ2RRW(τ)為

因此，K由Allan方差表達(dá)為

1.3 用Allan方差計(jì)算陀螺儀噪聲功率譜密度系數(shù)

按照上述分析，陀螺儀輸出角速率構(gòu)成的一個(gè)樣本空間采用Allan 方差法進(jìn)行處理，可以辨識(shí)出角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走各項(xiàng)誤差的噪聲系數(shù)。計(jì)算Allan方差的具體步驟如下。

①采集陀螺儀角速率靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)，以采樣頻率f采集光纖陀螺的輸出角速率，獲取長度為L的樣本空間。

②將長度為L的樣本空間每m個(gè)數(shù)據(jù)分成一組（m＜L∕2），得到L∕m個(gè)獨(dú)立的數(shù)組。

上述步驟的Allan方差σ2(τ)計(jì)算公式為

按照上述方法采集陀螺儀靜態(tài)輸出角速率，計(jì)算Allan方差曲線，結(jié)果見圖1。

圖1 陀螺儀Allan方差曲線

用最小二乘法擬合Allan 方差曲線，獲取噪聲功率譜密度系數(shù)，結(jié)果見圖2。可知，角度隨機(jī)游走噪聲功率譜密度系數(shù)N= 12.608 2°∕h1∕2，零偏不穩(wěn)定性噪聲功率譜密度系數(shù)B= 1.030 4°∕h，角速率隨機(jī)游走功率譜密度系數(shù)K= 0.060 0°∕h3∕2。

圖2 陀螺儀噪聲功率譜密度系數(shù)

2 基于FFT生成陀螺儀噪聲

2.1 陀螺儀噪聲的仿真

仿真生成角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走等1∕f γ分形噪聲一般有兩種方法：①利用小波［11］方法通過Karhunen-Loeve 展開式來合成；②利用FFT（Fast Fourier Transform）方法將白噪聲［12］通過一個(gè)線性濾波器，利用測定的N、B、K即可建立所有功率譜密度頻率的比例因子，采用IFFT（Inverse Fast Fourier Transform）得到分形噪聲的時(shí)間序列樣本。

本文選用第二種方法，如圖3 所示，隨機(jī)信號(hào)x(t)經(jīng)線性濾波器后得到分形信號(hào)y(t)，其功率譜密度為|H(f)|2Sx(f)。

圖3 冪律噪聲仿真算法

如圖4所示，基于同一個(gè)白噪聲信號(hào)，仿真了一組功率譜密度分別為N∕f0、B∕f1、K∕f2（自上而下）的分形噪聲，分別對(duì)應(yīng)陀螺儀輸出角速率信號(hào)中的角度隨機(jī)游走d、零偏不穩(wěn)定性b和角速率隨機(jī)游走ωg，幅值歸一化，單位為°∕h。

圖4 分形噪聲仿真結(jié)果

2.2 仿真陀螺儀噪聲的驗(yàn)證

理論上分形噪聲的功率譜系數(shù)-2～0是噪聲功率譜密度對(duì)應(yīng)的傅里葉頻率f的冪，故功率譜密度線性擬合的斜率可以驗(yàn)證仿真噪聲的真實(shí)性。

如圖5 所示，自上而下依次是角度隨機(jī)游走d、零偏不穩(wěn)定性b和角速率隨機(jī)游走ωg的功率譜密度，仿真生成的噪聲功率譜密度為藍(lán)色曲線，其一次線性擬合的結(jié)果為紅色直線，直線的斜率即為噪聲功率譜密度的系數(shù)。

圖5 仿真冪律噪聲擬合結(jié)果

陀螺儀噪聲功率譜密度系數(shù)見表1?？芍現(xiàn)FT方法生成的分形噪聲的實(shí)際仿真值與理論值的最大相對(duì)誤差不超過1%，且隨著取樣點(diǎn)數(shù)的增加，仿真值將更接近理論值。本文所提方法的實(shí)際仿真值與理論值的最大相對(duì)誤差不超過2%。

表1 陀螺儀噪聲功率譜密度系數(shù)

將三種噪聲疊加生成陀螺噪聲信號(hào)（圖6），即為影響陀螺儀高低不平順檢測精度的主要噪聲信號(hào)。

圖6 陀螺儀噪聲仿真信號(hào)

3 高低不平順的陀螺儀信號(hào)

3.1 高低不平順陀螺儀實(shí)測信號(hào)的仿真

軌道不平順的空間曲線幅值y（單位：mm）和軌道不平順對(duì)應(yīng)的陀螺儀角速率ω（前后兩空間采樣點(diǎn)之間的平均角速率，單位：rad∕s）的表達(dá)式分別為

式中：x為空間里程，m；λ為軌道不平順波長，m；A為軌道不平順幅值，mm；v為速度，m∕s。

3.2 陀螺儀實(shí)測信號(hào)融合噪聲

陀螺儀信號(hào)融合噪聲算法見圖7。其中，ωn為二階環(huán)節(jié)的自然振蕩頻率；s為復(fù)頻率；ωout為陀螺的輸出頻率；在忽略標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差及頻帶寬度的情況下，陀螺儀信號(hào)融合噪聲后輸出為ωm，其表達(dá)式為

圖7 陀螺儀信號(hào)融合噪聲算法

4 高低不平順?biāo)惴ǚ抡?/h2>

4.1 高低不平順?biāo)惴ǎ▓D8）

圖8 高低不平順?biāo)惴?/p>

仿真后的陀螺儀信號(hào)融合噪聲的信號(hào)ωm在通過抗混濾波、空間采樣、速度補(bǔ)償、高通濾波等算法流程后即可得出高低不平順。

4.2 抗混濾波及速度補(bǔ)償

抗混濾波H1(s)計(jì)算公式為

式中：Ω1為濾波器固有頻率，rad∕s。

時(shí)間空間的頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系為

式中：Ω為時(shí)間角頻率，rad∕s；l為空間波長，m；φ為空間頻率，1/m。

由s= jΩ及式（24），式（23）轉(zhuǎn)化為

式中：H1(φ)關(guān)于空間頻率和車速v的函數(shù)。

對(duì)于同樣的時(shí)間截止角頻率，車速不同，則對(duì)應(yīng)的空間截止頻率不同。為消除速度對(duì)抗混濾波器在空間截止波長的影響，采用去移變?yōu)V波器H1(z)消除H1(s)的移變特性，計(jì)算式為

式中：a1、a2為常系數(shù)；z為拉普拉斯變換因子，z= esLi∕vi，Li為空間采樣距離，vi為采樣距離對(duì)應(yīng)的車速。

則H1(z)的拉普拉斯變換表達(dá)式為

由H1(s)H1z(s) ≡1，取其物理意義為空間波長為零時(shí)滿足條件，此時(shí)Z平面的零點(diǎn)與S平面的極點(diǎn)相互抵消。H1(z)可寫成

式（28）中，H1(z)的系數(shù)中含有Ti，與列車運(yùn)行速度有關(guān)，從而實(shí)現(xiàn)濾波特性隨車速的變化而變化。

4.3 高通濾波器

高通濾波器P(z)采用矩形窗、三角窗并聯(lián)的形式，其表達(dá)式為

式中：b1、b2、b3、p、q、r、u均為常系數(shù)，隨截止頻率變化而變化。

按照式（29）可將濾波器系統(tǒng)函數(shù)利用轉(zhuǎn)化為差分方程形式，或單個(gè)濾波器時(shí)域補(bǔ)零后卷積，二者均可快速實(shí)現(xiàn)該高通濾波器，25 ～ 120 m 不同截止波長的對(duì)應(yīng)的幅頻特性曲線如圖9所示。

圖9 高通濾波器幅頻特性

4.4 仿真結(jié)果

按照?qǐng)D8 算法流程，對(duì)于模擬的幅值為12.5 mm的正弦軌道高低不平順波形，陀螺儀疊加仿真噪聲與非疊加仿真噪聲的差值見圖10?？梢钥闯鼋嵌入S機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角度隨機(jī)游走、三種噪聲同時(shí)疊加對(duì)軌道高低不平順檢測精度的影響?？芍?，三種噪聲中，角度隨機(jī)游走對(duì)陀螺儀高低不平順檢測結(jié)果影響較小，而角速率隨機(jī)游走和零偏不穩(wěn)定性噪聲在算法中并未受抑制，是檢測中慣性基準(zhǔn)誤差的主要來源。

圖10 高低不平順仿真結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

1）在陀螺儀軌道高低不平順檢測中，零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走是影響系統(tǒng)檢測精度的主要因素。

2）利用Allan 方差擬合出陀螺儀噪聲的功率譜密度系數(shù)，并基于該系數(shù)使用FFT 逆變換仿真符合該功率譜密度的噪聲時(shí)域信號(hào)，能夠有效仿真生成符合陀螺儀特性的噪聲。

3）陀螺儀噪聲對(duì)檢測結(jié)果的重復(fù)性具有一定影響，選取合適精度的陀螺儀，尤其是零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走噪聲較小的陀螺儀可有效提高檢測結(jié)果的重復(fù)性。

4）本文分析結(jié)果為軌道幾何高低不平順檢測系統(tǒng)的慣性組件選型提供了參考，也為提升高低不平順檢測的重復(fù)性提供了方向。慣性器件是軌道幾何檢測中的重要傳感器，也應(yīng)用于超高、水平檢測項(xiàng)，可以基于相同思路對(duì)超高、水平檢測算法流程的慣性噪聲誤差進(jìn)行分析，研究影響測量精度的主要因素。