變量相關(guān)性對(duì)隧道二次襯砌可靠指標(biāo)的影響

趙東平，吳 楠，涂懷宇

（1. 西南交通大學(xué)交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610031；2. 西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031）

長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)鐵路隧道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)主要采用安全系數(shù)法，這種方法與國(guó)際上普遍采用的極限狀態(tài)法存在較大差異。為與國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)接軌，自2011年以來(lái)，諸多學(xué)者在鐵路隧道極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法領(lǐng)域展開(kāi)了系統(tǒng)研究，部分成果已經(jīng)納入相關(guān)規(guī)范。趙東平等［1］采用校準(zhǔn)法對(duì)不同時(shí)速的隧道襯砌結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)開(kāi)展了研究，提出我國(guó)鐵路隧道襯砌承載能力極限狀態(tài)的目標(biāo)可靠指標(biāo)建議值；宋玉香等［2］運(yùn)用Monte Carlo 隨機(jī)有限元法對(duì)復(fù)合式襯砌進(jìn)行了計(jì)算研究，提出抽樣次數(shù)的建議值，得出隨機(jī)變量的分布特征和各參數(shù)的敏感性特征；李奎等［3］對(duì)素混凝土襯砌可靠度計(jì)算模型的研究表明，作用效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗力的概率分布類型直接影響襯砌可靠度指標(biāo)計(jì)算方法和計(jì)算結(jié)果的合理性；譚忠盛等［4］通過(guò)對(duì)各種結(jié)構(gòu)可靠度算法的比較分析，提出了一種簡(jiǎn)便實(shí)用的二次二階矩法進(jìn)行隧道襯砌結(jié)構(gòu)可靠度分析，與改進(jìn)蒙特卡羅法的對(duì)比結(jié)果表明，其提出的新方法具有較高的精度；宋玉香等［5］對(duì)比分析了響應(yīng)面法計(jì)算結(jié)果和Monte Carlo法抽樣10 萬(wàn)次計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)兩者具有較高的一致性，驗(yàn)證了響應(yīng)面法可應(yīng)用于隧道襯砌的可靠性分析；余永康等［6］采用假定隧道襯砌結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量相關(guān)性系數(shù)的方法，分析了變量相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)作用效應(yīng)的影響，結(jié)果表明隨機(jī)變量之間的相關(guān)性會(huì)對(duì)隧道結(jié)構(gòu)的效應(yīng)產(chǎn)生較大的影響；李曉軍等［7］采用數(shù)據(jù)表（Spreadsheet）法與Monte Carlo 法對(duì)盾構(gòu)襯砌的2 種極限狀態(tài)進(jìn)行可靠度分析，結(jié)果表明兩者誤差不超過(guò)4%，但Spreadsheet法可節(jié)省大量計(jì)算時(shí)間；蘇永華等［8-11］通過(guò)理論研究和公式推導(dǎo)，提出了多種隧道結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)分析方法，并將這些方法的計(jì)算結(jié)果與蒙特卡羅法的精確解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提方法具有較高準(zhǔn)確性；Guo等［12］對(duì)隧道支護(hù)襯砌進(jìn)行了可靠性分析，結(jié)果表明土體空間變異性對(duì)隧道襯砌可靠度有顯著影響；Hamrouni 等［13］、Lü 等［14-15］采用響應(yīng)面法和二階可靠度計(jì)算方法對(duì)隧道隨機(jī)變量的相關(guān)性和分布形態(tài)開(kāi)展研究，結(jié)果表明考慮摩擦角和黏聚力的相關(guān)性會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。

分析上述成果可知，既有研究聚焦于隧道襯砌隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征、隧道襯砌參數(shù)敏感性及土體變量相關(guān)性等方面，且研究過(guò)程中未考慮襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)表達(dá)式中隨機(jī)變量的相關(guān)性問(wèn)題。根據(jù)可靠度相關(guān)計(jì)算理論可知，基本隨機(jī)變量的相關(guān)性與結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的失效概率相關(guān)，即隨機(jī)變量的相關(guān)性與可靠指標(biāo)有關(guān)。

本文依托京張高鐵新八達(dá)嶺隧道工程，采用Monte Carlo 隨機(jī)有限元方法對(duì)隧道襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣計(jì)算，通過(guò)確定各個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性系數(shù)求解考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的隧道襯砌可靠指標(biāo)，并論證隨機(jī)變量相關(guān)性對(duì)隧道襯砌結(jié)構(gòu)截面可靠指標(biāo)的影響。

1 設(shè)計(jì)變量相關(guān)性

隧道襯砌是偏心受壓構(gòu)件，根據(jù)圍巖級(jí)別和埋深不同，可采用素混凝土或鋼筋混凝土襯砌。為了分析隧道襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中隨機(jī)變量的相關(guān)性，首先要建立素混凝土襯砌和鋼筋混凝土襯砌的極限狀態(tài)方程。

1.1 極限狀態(tài)方程

根據(jù)截面受力狀態(tài)不同，素混凝土襯砌可分為受壓和受拉2 種控制狀態(tài)。2 種狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的襯砌結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程［16］分別為

式中：Z1和Z2分別為素混凝土襯砌受壓和受拉控制時(shí)的極限狀態(tài)功能函數(shù)；h為襯砌截面高度；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；M為襯砌截面所受彎矩；FN為襯砌截面所受軸力；b為襯砌截面寬度；ft為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。

根據(jù)受壓區(qū)高度不同，鋼筋混凝土襯砌可分為大偏心受壓和小偏心受壓2 種受力狀態(tài)。2 種狀態(tài)下的襯砌結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程均為

式中：Z3為鋼筋混凝土襯砌受力時(shí)的極限狀態(tài)功能函數(shù)；x為混凝土受壓區(qū)高度；h0為襯砌截面有效高度；f'y為鋼筋抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；A's為受壓區(qū)縱向鋼筋截面面積；a's為受壓區(qū)縱向鋼筋合力點(diǎn)至襯砌截面受壓邊緣的距離；ea為附加偏心距；as為受拉區(qū)鋼筋合力點(diǎn)至襯砌截面近邊的距離。

1.2 變量相關(guān)性系數(shù)

由式（1）—式（3）可知，隧道襯砌結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程中涉及多個(gè)隨機(jī)變量，如果這些隨機(jī)變量之間存在相關(guān)性，則可能會(huì)對(duì)襯砌截面失效概率產(chǎn)生影響。為了確定上述變量之間的相關(guān)性，首先要確定式（1）—式（3）中任意2 個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性系數(shù)。

根據(jù)概率理論可知，任意2個(gè)隨機(jī)變量X1，X2之間是否具有相關(guān)性以及相關(guān)程度大小可通過(guò)相關(guān)系數(shù)ρX1X2來(lái)評(píng)價(jià)，ρX1X2可表示為［17］

式中：σX1，σX2分別為變量X1，X2的標(biāo)準(zhǔn)差；Cov(X1，X2)為變量X1，X2的協(xié)方差；μX1，μX2分別為變量X1，X2的均值。

當(dāng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算得出ρX1X2=0 時(shí)，說(shuō)明2 個(gè)變量不存在相關(guān)性；當(dāng)0 ＜|ρX1X2|＜1 時(shí)，說(shuō)明2 個(gè)變量之間存在相關(guān)性；當(dāng)|ρX1X2|=1 時(shí)，說(shuō)明2 個(gè)變量之間存在強(qiáng)相關(guān)性。

式（4）僅能表示2 個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，在式（1）—式（3）的極限方程中涉及多個(gè)變量，為便于計(jì)算，可將任意2 個(gè)變量之間的相關(guān)性系數(shù)組合為相關(guān)性系數(shù)矩陣。

對(duì)于素混凝土襯砌結(jié)構(gòu)，截面受壓和受拉控制狀態(tài)的相關(guān)系數(shù)矩陣RSc和RSt分別為

對(duì)于鋼筋混凝土襯砌結(jié)構(gòu)，其相關(guān)系數(shù)矩陣RG為

在式（5）—式（7）中相關(guān)性系數(shù)矩陣參量的下標(biāo)表示該系數(shù)參量對(duì)應(yīng)的2個(gè)變量。

1.3 變量相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)的影響

以二維連續(xù)分布隨機(jī)變量為例，當(dāng)變量存在相關(guān)性時(shí)，其聯(lián)合概率密度函數(shù)f(X1，X2)［18］為

其中，

對(duì)于一般結(jié)構(gòu)而言，功能函數(shù)可簡(jiǎn)化為抗力R與效應(yīng)S的函數(shù)，即功能函數(shù)Z=R-S。假設(shè)R和S均為正態(tài)分布，且R和S的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(R，S)，則功能函數(shù)的失效概率Pf為

當(dāng)隨機(jī)變量R和S相互獨(dú)立時(shí)，即ρRS=0，聯(lián)合概率密度函數(shù)f(R，S)為

當(dāng)隨機(jī)變量R和S具有相關(guān)性時(shí)，即|ρRS|≤1且ρRS≠0，聯(lián)合概率密度函數(shù)f(R，S)為

其中，

由式（8）—式（11）可知，當(dāng)隨機(jī)變量R和S相關(guān)時(shí)，其聯(lián)合概率密度函數(shù)f(R，S)的表達(dá)式不同，功能函數(shù)的失效概率也不同，因此隨機(jī)變量的相關(guān)性會(huì)影響結(jié)構(gòu)失效概率，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果。

目前，用于求解可靠指標(biāo)的方法主要有驗(yàn)算點(diǎn)法、響應(yīng)面法及數(shù)據(jù)表法等。當(dāng)考慮變量相關(guān)性時(shí)，數(shù)據(jù)表法［19-21］相對(duì)簡(jiǎn)便，且形象直觀。根據(jù)該方法的計(jì)算公式，通過(guò)Excel 編程可實(shí)現(xiàn)考慮相關(guān)性的可靠指標(biāo)計(jì)算。

根據(jù)數(shù)據(jù)表法，可靠指標(biāo)β可由隨機(jī)變量矩陣、隨機(jī)變量均值矩陣及協(xié)方差矩陣之間通用矩陣運(yùn)算后求得，其計(jì)算表達(dá)式為

式中：x為多元正態(tài)分布隨機(jī)變量矩陣，當(dāng)x為其他分布時(shí)，可通過(guò)當(dāng)量正轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布后再進(jìn)行計(jì)算；F為失效域；μ為隨機(jī)變量均值矩陣；C為變量協(xié)方差矩陣，可由式（13）表示，協(xié)方差矩陣中的元素可采用式（5）—式（7）確定的相關(guān)系數(shù)根據(jù)式（4）計(jì)算獲得。

在隨機(jī)變量空間內(nèi)，可靠指標(biāo)的物理含義由式（14）解釋，該式表示空間的1個(gè)橢球。

隨機(jī)變量為二維時(shí)，式（14）表示平面內(nèi)的1個(gè)橢圓，橢圓中心在變量均值處；當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ=0 時(shí)，橢圓的長(zhǎng)、短軸分別為σ1和σ2；隨著相關(guān)系數(shù)的變化，橢圓形狀也相應(yīng)改變。橢圓與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系如圖1所示。

圖1 橢圓與相關(guān)系數(shù)關(guān)系

根據(jù)上述原理，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差變化β倍后，可得到橢圓與極限狀態(tài)面相切時(shí)的方程式為

式中：C*為標(biāo)準(zhǔn)差改變?chǔ)卤逗髮?duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣。

由于此時(shí)橢圓與極限狀態(tài)面相切，故所求得的β值即為要求的可靠指標(biāo)，如圖2所示。

圖2 數(shù)據(jù)表法可靠指標(biāo)的確定

2 可靠指標(biāo)求解

在計(jì)算襯砌可靠指標(biāo)時(shí)，首先要確定極限狀態(tài)方程中隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，為此需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)抽樣。運(yùn)用開(kāi)發(fā)的TRAS V1.0 程序，采用Monte Carlo 隨機(jī)有限元分析與數(shù)據(jù)表法相結(jié)合的方法計(jì)算考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的襯砌結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)值。新八達(dá)嶺隧道工程中的Ⅳ，Ⅴ級(jí)圍巖深埋地段分別采用素混凝土和鋼筋混凝土襯砌，以下分別展示隧道襯砌可靠指標(biāo)的求解過(guò)程。

2.1 計(jì)算模型

新八達(dá)嶺隧道Ⅳ，Ⅴ級(jí)圍巖深埋襯砌結(jié)構(gòu)尺寸如圖3所示。

根據(jù)圖3所示的結(jié)構(gòu)幾何尺寸基于荷載-結(jié)構(gòu)法建立有限元數(shù)值模型，采用二維梁?jiǎn)卧M襯砌，二維桿單元模擬圍巖對(duì)襯砌的約束作用，模型劃分為38個(gè)單元，如圖4所示。

圖3 Ⅳ級(jí)圍巖深埋襯砌（單位：cm）

圖4 襯砌結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算模型

2.2 素混凝土襯砌

隧道襯砌結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算的難點(diǎn)在于襯砌是多次超靜定結(jié)構(gòu)，襯砌截面內(nèi)力無(wú)顯式表達(dá)式，因此要采用隨機(jī)有限元抽樣計(jì)算的方法獲取內(nèi)力的樣本數(shù)據(jù)。

Ⅳ級(jí)圍巖襯砌采用C30素混凝土，二次襯砌承受荷載比例取50%，此前關(guān)于結(jié)構(gòu)材料、圍巖彈性反力系數(shù)及側(cè)壓力系數(shù)等基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征值已有較全面的研究，本文根據(jù)前期研究成果確定了圍巖重度、彈性模量、側(cè)壓力系數(shù)、混凝土軸心抗拉強(qiáng)度、襯砌厚度及彈性反力系數(shù)等統(tǒng)計(jì)特征［22］，具體見(jiàn)表1。

表1 Ⅳ級(jí)圍巖深埋隧道襯砌基本隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征

經(jīng)驗(yàn)表明，采用Monte Carlo 隨機(jī)有限元法進(jìn)行隨機(jī)抽樣時(shí)，若樣本容量有限，會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響。為確定抽樣次數(shù)，使襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)力統(tǒng)計(jì)特征計(jì)算結(jié)果不受抽樣次數(shù)的影響，以襯砌拱頂20 號(hào)單元為例進(jìn)行試算，得到軸力和彎矩值樣本歷史曲線，如圖5和圖6所示。

由圖5和圖6可知：拱頂截面軸力及彎矩的均值和標(biāo)準(zhǔn)差變化曲線在抽樣5 000次時(shí)仍有較大變化，抽樣7 500次時(shí)趨于平緩，抽樣1萬(wàn)次時(shí)趨于穩(wěn)定。

圖5 20號(hào)單元軸力樣本曲線

圖6 20號(hào)單元彎矩樣本曲線

襯砌其余截面內(nèi)力抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征與拱頂20號(hào)截面相似，出于保守考慮確定抽樣為1萬(wàn)次進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)襯砌1 個(gè)橫斷面上的38 個(gè)單元分別抽樣1 萬(wàn)次，即獲得了1 個(gè)全截面的抽樣數(shù)據(jù)，通過(guò)式（4）計(jì)算可得到兩兩變量之間的相關(guān)系數(shù)。仍以襯砌拱頂20 號(hào)單元為例，計(jì)算得到隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為

由式（16）可知，除彎矩與軸力之間的相關(guān)系數(shù)接近于1、具有較強(qiáng)相關(guān)性外，其他變量之間的相關(guān)系數(shù)幾近于0，相關(guān)性并不明顯，故主要考慮彎矩與軸力之間的相關(guān)性對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，得到該截面襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)力的統(tǒng)計(jì)特征見(jiàn)表2。

表2 襯砌結(jié)構(gòu)內(nèi)力統(tǒng)計(jì)特征

以式（16）和表2中數(shù)據(jù)為已知參數(shù)，根據(jù)式（13）計(jì)算可得20號(hào)單元的協(xié)方差矩陣為

根據(jù)上述算法，襯砌每一個(gè)單元均可計(jì)算得出1 個(gè)協(xié)方差矩陣。根據(jù)數(shù)據(jù)表法，在Excel 中編制相關(guān)計(jì)算公式，即可求解考慮變量相關(guān)性的襯砌各個(gè)截面可靠指標(biāo)。

在Excel 中輸入各隨機(jī)變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)矩陣，通過(guò)計(jì)算得到協(xié)方差矩陣和協(xié)方差逆矩陣，并編寫(xiě)極限狀態(tài)功能函數(shù)，通過(guò)Excel 的規(guī)劃求解功能計(jì)算可靠指標(biāo)。具體方法為：在“規(guī)劃求解參數(shù)”中，將“設(shè)置目標(biāo)”設(shè)置為可靠指標(biāo)單元格，設(shè)置目標(biāo)為“最小值”；將“可變單元格”設(shè)置為試算值單元格，約束條件設(shè)置功能函數(shù)值小于或等于0；選擇迭代求解方法為“非線性”；點(diǎn)擊求解后，“可靠指標(biāo)”單元格即輸出求得的可靠指標(biāo)。

對(duì)每一個(gè)單元，分別按上述流程進(jìn)行計(jì)算求解，即可得到Ⅳ圍巖素混凝土襯砌考慮變量相關(guān)性的全截面可靠指標(biāo)，將可靠指標(biāo)計(jì)算值及差異值、截面偏心距及其抗裂、抗壓控制標(biāo)準(zhǔn)0.2h等參數(shù)編制于1 張圖上，如圖7所示。

圖7 素混凝土襯砌可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

為更為直觀地將截面可靠指標(biāo)與襯砌橫斷面的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)起來(lái)，將每個(gè)截面考慮可靠相關(guān)性與不考慮相關(guān)性時(shí)計(jì)算得到的可靠指標(biāo)繪制于襯砌截面上，如圖8所示。圖中：“＋”表示軸力與彎矩變量之間呈現(xiàn)正相關(guān)性。

圖8 素混凝土襯砌可靠指標(biāo)包絡(luò)圖

由圖7和圖8可知：15，20 及25 號(hào)3 個(gè)襯砌單元截面偏心距均大于0.2h，屬于抗裂極限狀態(tài)控制；其余斷面偏心距均小于0.2h，屬于抗壓極限狀態(tài)控制；素混凝土襯砌各單元軸力與彎矩均呈現(xiàn)正相關(guān)性；對(duì)于抗壓極限狀態(tài)，考慮隨機(jī)變量相關(guān)性與不考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的可靠指標(biāo)計(jì)算值，除在仰拱截面和左墻角截面差異值達(dá)到6.8%和9.6%外，其余各單元兩者差異均小于4%，平均差異為1.2%，即兩者的可靠指標(biāo)結(jié)果基本一致；對(duì)于素混凝土襯砌抗裂極限狀態(tài)，考慮隨機(jī)變量相關(guān)性與不考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的可靠指標(biāo)計(jì)算值，兩者差異在拱頂截面達(dá)到最大為67.0%，在左、右拱腰截面差異值分別為56.0%和48.3%，其余各單元兩者差異均小于7%，平均差異為30.3%，即兩者的可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果差異較大。

2.3 鋼筋混凝土襯砌

V 級(jí)圍巖襯砌采用C35 鋼筋混凝土，結(jié)構(gòu)材料、圍巖彈性反力系數(shù)及側(cè)壓力系數(shù)等基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征值具體見(jiàn)表3。

表3 V級(jí)圍巖深埋隧道襯砌基本隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征

采用與素混凝土襯砌相同的計(jì)算方法，計(jì)算得到鋼筋混凝土襯砌各單元的可靠指標(biāo)如圖9和圖10所示。圖9中：可靠指標(biāo)值的正負(fù)分別表示軸力FN與彎矩M之間相關(guān)性的正負(fù)；ξbh0為界限受壓區(qū)高度，其中ξb為相對(duì)界限受壓區(qū)高度。圖10中：“＋”、“－”分別表示軸力與彎矩變量之間相關(guān)性的正負(fù)。

圖10 鋼筋混凝土襯砌可靠指標(biāo)包絡(luò)圖

由圖9可知：14，19，20，21及26號(hào)5個(gè)襯砌單元截面受壓區(qū)高度小于界限受壓高度ξbh0，屬于大偏心受壓狀態(tài)，其余襯砌單元均屬于小偏心受壓狀態(tài)。

圖9 鋼筋混凝土襯砌可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

由圖10 可知：鋼筋混凝土襯砌各單元軸力與彎矩在仰拱、邊墻及拱頂截面呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性，在拱腰及拱腳截面呈現(xiàn)正相關(guān)性；對(duì)于鋼筋混凝土襯砌小偏心受壓截面，考慮隨機(jī)變量相關(guān)性與不考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的可靠指標(biāo)計(jì)算值，除在右拱腰截面兩者差異值為46.4%（23 號(hào)單元）外，其余各單元兩者差異均小于8%，平均差異為3.9%，即兩者的可靠指標(biāo)結(jié)果基本一致；對(duì)于鋼筋混凝土襯砌大偏心受壓截面，考慮隨機(jī)變量相關(guān)性與不考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的可靠指標(biāo)計(jì)算值，兩者差異在拱頂截面達(dá)到最大為51.9%（19 號(hào)單元），其余各單元兩者差異均小于8%，平均差異為21.6%，即兩者的可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果差異較大。

總體而言，當(dāng)軸力與彎矩負(fù)相關(guān)時(shí)，考慮變量相關(guān)性的計(jì)算可靠指標(biāo)偏大；當(dāng)軸力與彎矩正相關(guān)時(shí)，考慮變量相關(guān)性的計(jì)算可靠指標(biāo)偏小。

3 結(jié) 論

（1）基于2 個(gè)綜合隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的表達(dá)式，推導(dǎo)出考慮變量相關(guān)性時(shí)聯(lián)合概率密度函數(shù)的表達(dá)式，論證了考慮變量相關(guān)性與否會(huì)對(duì)失效概率的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響。

（2）鐵路隧道襯砌的隨機(jī)變量中，軸力與彎矩之間相關(guān)性較強(qiáng)，對(duì)可靠指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果影響較為顯著。當(dāng)變量之間呈現(xiàn)正相關(guān)性時(shí)，考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果偏小；當(dāng)變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性時(shí)，考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果偏大。

（3）對(duì)于素混凝土襯砌，結(jié)構(gòu)各單元軸力與彎矩均呈現(xiàn)正相關(guān)性。隨機(jī)變量相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)抗壓控制狀態(tài)截面的可靠指標(biāo)影響較?。粚?duì)抗裂控制狀態(tài)截面的可靠指標(biāo)影響較大，在拱頂截面考慮相關(guān)性后的可靠指標(biāo)值比不考慮時(shí)減小67.0%。

（4）對(duì)于鋼筋混凝土襯砌，結(jié)構(gòu)各單元軸力與彎矩在仰拱、邊墻及拱頂截面呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)性，在拱腰和拱腳截面呈現(xiàn)正相關(guān)性。隨機(jī)變量相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)小偏心受壓控制狀態(tài)截面的可靠指標(biāo)影響較小，僅在右拱腰截面考慮相關(guān)性后的可靠指標(biāo)值比不考慮時(shí)增大46.4%；隨機(jī)變量相關(guān)性對(duì)大偏心受壓控制狀態(tài)截面的可靠指標(biāo)影響較大，拱頂截面考慮相關(guān)性后的可靠指標(biāo)值比不考慮時(shí)增大51.9%。

（5）采用極限狀態(tài)法設(shè)計(jì)鐵路隧道襯砌時(shí)，宜考慮變量相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響。對(duì)于素混凝土襯砌，可適當(dāng)提高混凝土強(qiáng)度或增加襯砌厚度，從而保證結(jié)構(gòu)可靠性；對(duì)于鋼筋混凝土襯砌，可適當(dāng)減少配筋量以合理利用結(jié)構(gòu)承載能力，從而控制建造成本。