考慮退化相關(guān)的裝備多部件系統(tǒng)維修決策優(yōu)化模型

馬維寧, 胡起偉,*, 楊志遠(yuǎn)

(1. 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)裝備指揮與管理系, 河北 石家莊 050003;2. 國防大學(xué)聯(lián)合作戰(zhàn)學(xué)院, 河北 石家莊 050003)

0 引 言

近年來,隨著大批高新裝備的研制并投入使用,部隊(duì)裝備體系發(fā)生了巨大變化,對(duì)裝備維修保障也提出了新的要求。高新裝備技術(shù)密集、結(jié)構(gòu)復(fù)雜,往往是由多型號(hào)單體裝備組成的復(fù)雜系統(tǒng),承擔(dān)著多樣化、復(fù)雜化的軍事任務(wù),動(dòng)用使用頻繁,任務(wù)時(shí)間要求短,保障難度大,維修費(fèi)用日趨昂貴,對(duì)先進(jìn)維修理論的依賴作用越來越突出。目前維修領(lǐng)域?qū)尾考到y(tǒng)研究相對(duì)較多,而對(duì)軍事裝備系統(tǒng)等大部分多部件組成的復(fù)雜系統(tǒng)研究相對(duì)較少。復(fù)雜系統(tǒng)的各組成部件間存在各種關(guān)聯(lián)關(guān)系,在這種情況下,單個(gè)部件的維修決策優(yōu)化結(jié)果不能直接作為整個(gè)系統(tǒng)的維修決策優(yōu)化結(jié)果,否則將影響整個(gè)系統(tǒng)維修決策的科學(xué)性和合理性。因此,針對(duì)裝備多部件系統(tǒng),為確保維修更加高效,系統(tǒng)運(yùn)行更加安全可靠,考慮部件自身特點(diǎn)和部件間依賴關(guān)系的動(dòng)態(tài)維修決策優(yōu)化研究具有重要意義。

多部件系統(tǒng)的部件間可能存在經(jīng)濟(jì)相關(guān)、結(jié)構(gòu)相關(guān)和隨機(jī)相關(guān)。經(jīng)濟(jì)相關(guān)包括經(jīng)濟(jì)正相關(guān)和經(jīng)濟(jì)負(fù)相關(guān),如果成組維修部件的費(fèi)用低于部件單獨(dú)維修的費(fèi)用,則為經(jīng)濟(jì)正相關(guān);如果成組維修部件的費(fèi)用高于部件單獨(dú)維修的費(fèi)用,則為經(jīng)濟(jì)負(fù)相關(guān)。結(jié)構(gòu)相關(guān)是指當(dāng)對(duì)某故障部件進(jìn)行修理時(shí)必須要拆卸其他正常工作的部件。隨機(jī)相關(guān)是指部件間的故障或退化將影響其他部件的退化或壽命分布。在多部件系統(tǒng)維修優(yōu)化問題中,研究較多的是以最小化維修費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)。如文獻(xiàn)[4]利用整數(shù)規(guī)劃方法建立了考慮區(qū)間費(fèi)用的多部件系統(tǒng)預(yù)防性維修優(yōu)化模型,文獻(xiàn)[10]在考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)和失效相關(guān)的基礎(chǔ)上,建立了多部件系統(tǒng)折扣準(zhǔn)則模型,得到了維修費(fèi)率的最優(yōu)方程,并采用聚合迭代算法獲得了最優(yōu)解。在部件間隨機(jī)相關(guān)性研究方面,一種研究方法是考慮部件間故障的相關(guān)關(guān)系。如文獻(xiàn)[12]考慮到維修時(shí)間有限的約束條件,基于故障率分布建立了考慮預(yù)防性維修時(shí)間的動(dòng)態(tài)成組維修模型。文獻(xiàn)[15]利用Gamma過程描述部件的退化,建立了重型卡車基于役齡的成組更換模型,該模型在決策時(shí)刻可以融合系統(tǒng)狀態(tài)退化信息,更新部件的故障分布,并通過滾動(dòng)時(shí)間窗法不斷更新維修決策。隨機(jī)相關(guān)性的另一種研究方法是考慮部件退化的相關(guān)關(guān)系。如文獻(xiàn)[20]建立了考慮退化沖擊影響的可靠度模型,并使用蒙特卡羅仿真方法計(jì)算了系統(tǒng)可靠度。文獻(xiàn)[22]利用回歸的方法獲得了兩部件的交互影響關(guān)系式,通過模擬退火算法得到了低溫箱的管道視情維修優(yōu)化結(jié)果,證明部件間的交互對(duì)于維修決策有著重要影響。

通過分析發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有的多部件系統(tǒng)維修優(yōu)化大多只關(guān)注經(jīng)濟(jì)相關(guān),而對(duì)于隨機(jī)相關(guān)和結(jié)構(gòu)相關(guān)考慮較少,忽視了系統(tǒng)中的負(fù)載分配以及故障傳播導(dǎo)致的隨機(jī)相關(guān)。另外,系統(tǒng)的性能狀態(tài)是隨著使用動(dòng)態(tài)變化的,為此,多部件系統(tǒng)維修決策要能夠依據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)的變化而動(dòng)態(tài)調(diào)整?；诖?本文在Gamma退化過程模型基礎(chǔ)上,采用Frank Copula函數(shù)考慮分析系統(tǒng)中多部件之間的退化相關(guān)性,建立長期運(yùn)行下系統(tǒng)可用度為目標(biāo)的維修決策優(yōu)化模型,采用改進(jìn)人工蜂群(artificial bee colony,ABC)算法進(jìn)行求解獲得系統(tǒng)最優(yōu)維修策略,為裝備多部件系統(tǒng)維修決策優(yōu)化提供了新的理論支持。

1 系統(tǒng)描述與退化過程模型

1.1 退化過程模型

令{():∈}表示系統(tǒng)某部件性能退化過程,()表示部件在時(shí)刻的性能退化量。若{():∈}滿足以下條件:

(1)(0)=0;

(2) 對(duì)任意時(shí)間0≤<,()-()～Ga((-),),其中Ga(·,·)表示Gamma分布。

(3)()具有獨(dú)立增量性,即對(duì)任意時(shí)間0≤<<…<,退化增量()-(),()-(),…,()-(-1)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,此時(shí),稱連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程{():∈}為Gamma過程,其中>0和>0分別為Gamma分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

對(duì)于Gamma過程定義,在任意時(shí)間間隔[,]內(nèi),系統(tǒng)退化增量()-()服從Gamma分布,其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)為

(1)

根據(jù)定義,Gamma過程為單調(diào)非減隨機(jī)過程。在式(1)基礎(chǔ)上,可得系統(tǒng)壽命的分布為

(2)

1.2 系統(tǒng)描述

假設(shè)某裝備系統(tǒng)由個(gè)不同部件串聯(lián)組成,部件性能指標(biāo)隨工作時(shí)間增加不斷退化,當(dāng)退化量超過特定閾值時(shí),部件發(fā)生故障。并假設(shè)如下:

(1) 每個(gè)部件性能退化過程通過一個(gè)狀態(tài)參數(shù)即可描述；

(2) 系統(tǒng)各部件退化狀態(tài)只有通過檢測(cè)才能得到,且系統(tǒng)各部件的檢測(cè)是同時(shí)進(jìn)行的,檢測(cè)結(jié)果不存在誤差；

(3) 部件故障是軟失效,即在發(fā)生故障后部件還能繼續(xù)運(yùn)行,只是部件性能狀態(tài)已無法滿足使用要求,在初始時(shí)刻部件處于全新狀態(tài)。

為使建立的維修優(yōu)化模型具有一般性,采用Frank Copula函數(shù)描述部件間的交互關(guān)系。Copula函數(shù)是一種常用的聯(lián)合分布工具,其提供了豐富的函數(shù)族以描述不同的相關(guān)性結(jié)構(gòu),近年來在可靠性領(lǐng)域有一定的應(yīng)用。元Frank Copula函數(shù)可表示為

(3)

式中：表示相關(guān)性參數(shù),當(dāng)≥3時(shí),∈(0,+∞),其值越大說明變量間的相關(guān)性越強(qiáng);當(dāng)→0時(shí),Frank Copula所描述的變量關(guān)系趨于相互獨(dú)立;而當(dāng)→+∞時(shí),變量間關(guān)系趨于完全正相關(guān)。

2 裝備多部件系統(tǒng)維修決策建模

2.1 維修策略

對(duì)系統(tǒng)各部件采取機(jī)會(huì)維修、預(yù)防性維修和故障維修相結(jié)合的控制限策略,在運(yùn)行過程中對(duì)各部件退化狀態(tài)進(jìn)行檢測(cè),第次檢測(cè)時(shí)刻記為,機(jī)會(huì)維修閾值記為={,…,},預(yù)防性維修閾值記為={,,…,},故障維修閾值集合記為={,,…,}。其中,≤≤。部件維修方式包括機(jī)會(huì)維修、預(yù)防性維修和故障維修。

在系統(tǒng)各部件維修結(jié)束后,需要根據(jù)當(dāng)前系統(tǒng)部件退化狀態(tài)確定下次檢測(cè)時(shí)間。為提高檢測(cè)工作效益,當(dāng)系統(tǒng)退化量較高時(shí),應(yīng)當(dāng)縮短檢測(cè)時(shí)間間隔以防止系統(tǒng)出現(xiàn)故障。假設(shè)當(dāng)前系統(tǒng)各部件退化量為(,,…,),檢測(cè)間隔期由以下檢測(cè)規(guī)劃函數(shù)確定:

(4)

2.2 維修決策優(yōu)化模型

可用度是衡量裝備系統(tǒng)性能好壞的重要指標(biāo)之一,表示任一時(shí)刻系統(tǒng)處于可使用狀態(tài)的概率。本文以裝備多部件系統(tǒng)長期運(yùn)行情況下可用度最大為優(yōu)化指標(biāo),由以上維修策略可以看出,系統(tǒng)維修決策由變量(,,,)確定。長期運(yùn)行情況下系統(tǒng)可用度模型表示為

(5)

式中:E()表示系統(tǒng)一個(gè)壽命周期內(nèi)的期望維修停機(jī)時(shí)間；E()表示系統(tǒng)的期望壽命周期長度。

本文研究完全維修下裝備多部件系統(tǒng)的維修決策優(yōu)化問題。完全維修是指部件經(jīng)過維修后恢復(fù)如新,通常是部件發(fā)生故障或有預(yù)防性維修需求時(shí),采取更換的方式進(jìn)行修復(fù),此種方式在裝備維修實(shí)踐中廣泛存在。由于系統(tǒng)各部件的維修決策以及后續(xù)退化狀態(tài)只與當(dāng)前檢測(cè)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān),而與系統(tǒng)歷史狀態(tài)無關(guān),符合Markov特性,由于經(jīng)過完全維修后的部件又處于全新狀態(tài)。因此,可將任意維修決策點(diǎn)視為系統(tǒng)退化狀態(tài)的半更新點(diǎn),兩個(gè)連續(xù)維修決策點(diǎn)之間的運(yùn)行時(shí)間視為一個(gè)半更新周期,在半更新周期內(nèi),經(jīng)過維修后的部件又從全新狀態(tài)(0狀態(tài))開始退化,分析兩個(gè)連續(xù)的維修決策點(diǎn)之間的系統(tǒng)退化特征可近似代替系統(tǒng)的半更新循環(huán)過程。在此基礎(chǔ)上,分析系統(tǒng)退化狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)特性,進(jìn)而可以得到系統(tǒng)期望可用度表達(dá)式:

(6)

式中：E()表示一個(gè)半更新周期內(nèi)的維修停機(jī)時(shí)間;E()表示半更新周期長度的期望值。

2.3 退化狀態(tài)空間劃分

在多部件系統(tǒng)退化建模中,采用連續(xù)狀態(tài)隨機(jī)過程模型。為建立解析模型,對(duì)連續(xù)狀態(tài)退化過程模型進(jìn)行近似簡化,將連續(xù)退化過程離散化為有限個(gè)狀態(tài)空間,通過部件在不同退化狀態(tài)空間的轉(zhuǎn)移近似描述其退化過程。部件的狀態(tài)空間記為={0,1,…,,…,,},其中,0表示部件完好狀態(tài),表示部件故障狀態(tài)?；诖?部件退化過程可用+2個(gè)離散狀態(tài)進(jìn)行描述。

部件在時(shí)刻的退化量(),其與所屬退化狀態(tài)()之間的關(guān)系如下所示:

(7)

為方便分析,令表示在檢測(cè)時(shí)刻無需采取維修措施對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)集合,表示在檢測(cè)時(shí)刻有維修活動(dòng)發(fā)生對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)集合,={(,,…,)|?,0≤()<},因此,系統(tǒng)狀態(tài)空間集合可表示為=∪。

2.4 系統(tǒng)退化穩(wěn)態(tài)概率分布

為得到系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)分布,首先需要計(jì)算系統(tǒng)不同退化狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率。由以上狀態(tài)空間劃分方法可知,系統(tǒng)退化狀態(tài)由各部件狀態(tài)共同決定。因此,首先對(duì)單部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行分析,而后計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,在此基礎(chǔ)上,可得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布。

241 單部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

在檢測(cè)間隔期[,+1]內(nèi),部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率與在初始時(shí)刻的退化狀態(tài)和對(duì)應(yīng)的維修方式有關(guān)。具體可劃分為以下兩種情況。

(1) 在檢測(cè)時(shí)刻,如果部件的退化量滿足()<,即不需要對(duì)其進(jìn)行維修。根據(jù)Gamma過程的獨(dú)立增量特性,可得部件在時(shí)間區(qū)間[,+1]內(nèi)從狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)(≤≤)的概率為

,(,+1)=((+1)=|()=)=

(lb< Δ< ub)=

(8)

式中：Δ=(+1)-()；ub=(-+05)；lb=max{0,(--05)}。如果=,即部件在檢測(cè)間隔期內(nèi)發(fā)生故障,則只需令式(8)中ub=+∞,即可得到對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。

如果<,容易得到相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為0,即,(,+1)=0,這是由于部件退化過程是遞增的,所以((+1)-()<0)=0。

(2) 在檢測(cè)時(shí)刻,如果系統(tǒng)退化量滿足()≥或=,即需要對(duì)部件進(jìn)行維修。在完全維修條件下,部件經(jīng)過維修后狀態(tài)恢復(fù)如新,此時(shí),部件在時(shí)間區(qū)間[,+1]內(nèi)從狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率可表示為

(9)

242 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

在單部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分析基礎(chǔ)上,系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間[,+1]內(nèi)可能發(fā)生的狀態(tài)轉(zhuǎn)移及相應(yīng)概率也可分為兩種情況,分別如下。

(1) 在檢測(cè)時(shí)刻,若系統(tǒng)狀態(tài)滿足(,,…,)∈,則沒有發(fā)生維修作業(yè)。此時(shí),系統(tǒng)由狀態(tài)(,,…,)至狀態(tài)(,,…,),?,≥的轉(zhuǎn)移概率為

(10)

對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)(,,…,),如果滿足?,<,即至少存在一個(gè)部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況滿足<,顯然

(, ,…, ),(,,…,)(,+1)=0,原因與單部件情況相同。

(2) 在檢測(cè)時(shí)刻,若系統(tǒng)狀態(tài)滿足(,,…,)∈,則系統(tǒng)中至少有一個(gè)部件需要維修。定義表示在檢測(cè)時(shí)刻采取預(yù)防性維修和機(jī)會(huì)維修的部件集合,表示在檢測(cè)時(shí)刻采取故障維修的部件集合?；诖?在完全維修條件下,系統(tǒng)由狀態(tài)(,,…,)至狀態(tài)(,,…,),?,≥的轉(zhuǎn)移概率可表示為

(11)

2.4.3 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程及維修方式

系統(tǒng)退化狀態(tài)Markov轉(zhuǎn)移過程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)退化狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程圖Fig.1 Transition process diagram of system degradation state

系統(tǒng)由狀態(tài)(,,…,)退化至狀態(tài)(,,…,),若?,()<,則不采取任何維修方式,只完成系統(tǒng)檢查工作;若某部件退化量滿足≤()<,則對(duì)部件進(jìn)行預(yù)防性維修;若在檢測(cè)時(shí)刻系統(tǒng)有維修活動(dòng)發(fā)生,即?,有()≥,則對(duì)于滿足≤()<的所有部件(≠)進(jìn)行機(jī)會(huì)維修。否則,不進(jìn)行機(jī)會(huì)維修;若某部件退化量滿足()≥,則對(duì)部件進(jìn)行故障維修。

244 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布計(jì)算

在以上系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分析基礎(chǔ)上,由Markov穩(wěn)態(tài)分布特性可知系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布滿足以下方程組:

(12)

其中,(,,…,)表示系統(tǒng)處于狀態(tài)(,,…,)的穩(wěn)態(tài)概率。

2.5 系統(tǒng)期望可用度模型

基于上述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布,利用系統(tǒng)半更新過程特性,可得到長期運(yùn)行條件下的系統(tǒng)期望可用度。記系統(tǒng)每次檢測(cè)時(shí)間為,部件的機(jī)會(huì)維修時(shí)間為,,預(yù)防性維修時(shí)間為,,故障更換時(shí)間為,,維修準(zhǔn)備時(shí)間為,。一般來說,,>,。由于機(jī)會(huì)維修實(shí)質(zhì)屬于預(yù)防性維修,因此本文認(rèn)為機(jī)會(huì)維修所需時(shí)間,與預(yù)防性維修所需時(shí)間,相等。由式(6)維修決策優(yōu)化模型可知,要計(jì)算系統(tǒng)期望可用度,需分別計(jì)算系統(tǒng)維修停機(jī)時(shí)間和系統(tǒng)半更新周期長度。

(1) 系統(tǒng)維修停機(jī)時(shí)間

當(dāng)系統(tǒng)在檢測(cè)時(shí)刻狀態(tài)為(,,…,)時(shí),令(, ,…, )表示系統(tǒng)在該半更新周期內(nèi)的期望維修停機(jī)時(shí)間。

根據(jù)(,,…,)取值不同,維修停機(jī)時(shí)間(, ,…, )可表示為

(13)

式中：為示性函數(shù)。

結(jié)合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布(,,…,),可得一個(gè)半更新周期內(nèi)系統(tǒng)期望維修停機(jī)時(shí)間為

E()=∑(, ,…, )∈(, ,…, )π(,,…,)

(14)

(2) 半更新周期長度

半更新周期長度即為檢測(cè)間隔期,系統(tǒng)檢測(cè)間隔期由檢測(cè)時(shí)刻的退化狀態(tài)及相應(yīng)維修方式?jīng)Q定,令(, ,…, )表示系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)(,,…,)對(duì)應(yīng)的半更新周期長度。根據(jù)(,,…,)取值不同,半更新周期長度(, ,…, )取值可分為以下兩種情況。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)(,,…,)∈時(shí),根據(jù)檢測(cè)規(guī)劃函數(shù)式和退化空間劃分方法,半更新周期長度可表示為

(15)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)(,,…,)∈時(shí),半更新周期長度可表示為

(16)

結(jié)合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布(,,…,),可得系統(tǒng)期望半更新周期長度為

E()=∑(, ,…, )∈(, ,…, )(,,…,)

(17)

綜合上述系統(tǒng)各狀態(tài)對(duì)應(yīng)維修停機(jī)時(shí)間和半更新周期長度,以及系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)態(tài)概率分布,在維修決策變量(,,,)確定時(shí),系統(tǒng)期望可用度可表示為

(18)

2.6 維修決策優(yōu)化模型

在期望可用度模型基礎(chǔ)上,以系統(tǒng)期望可用度最大為目標(biāo),對(duì)維修決策參數(shù)(,,,)進(jìn)行優(yōu)化?？紤]決策變量的約束條件,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)維修決策優(yōu)化模型如下:

(19)

其中,第一個(gè)約束條件限制了機(jī)會(huì)維修閾值和預(yù)防性維修閾值的取值范圍。

2.7 基于改進(jìn)ABC算法的模型求解

上述系統(tǒng)維修決策優(yōu)化模型中,決策變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響是非線性、不可微的,且模型決策變化較多,當(dāng)系統(tǒng)存在個(gè)部件時(shí),模型有2+2個(gè)決策變量,難以用傳統(tǒng)方法得到解析解。當(dāng)前,智能優(yōu)化算法已廣泛應(yīng)用于復(fù)雜系統(tǒng)維修決策優(yōu)化,如遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法等,雖然這些算法可以得到所建模型的近似最優(yōu)解,但因?yàn)闆Q策變量較多,仍存在全局搜索能力不足、易陷入局部最優(yōu)等問題。ABC算法是由Karaboga基于蜂群搜索蜜源行為提出的一種啟發(fā)式群體智能優(yōu)化算法。相比之下,ABC算法在尋優(yōu)過程中兼顧局部搜索和全局搜索,控制參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn),在非線性函數(shù)優(yōu)化求解方面具有良好的性能?；诖?本文采用ABC算法進(jìn)行求解。同時(shí),為提高搜索效率,對(duì)ABC算法進(jìn)行改進(jìn)。對(duì)于決策變量和來說,,-2<≤,+2和,-2<≤,+2,與=,和=,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)期望可用度TA是相同的。因此,以將決策變量和的搜索空間轉(zhuǎn)化為,,,∈{0,1,2,…,},,<,,以上處理方法在很大程度上減少了算法搜索空間。

基于以上分析,對(duì)于決策變量預(yù)防性維修閾值和機(jī)會(huì)維修閾值來說,采蜜蜂階段和觀察蜂階段的搜索方程分別為

(20)

式中：和分別為蜜源新位置和初始位置；為當(dāng)前種群最優(yōu)位置；、和分別為隨機(jī)選擇的其他蜜源位置；rand[int(,)]表示區(qū)間[,]內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)；決策變量和,仍采用原來的搜索方程產(chǎn)生備選解。

3 算例分析

該算例考慮某系統(tǒng)由3個(gè)存在退化相關(guān)的部件組成,為便于分析,假設(shè)部件1和部件3相同,每個(gè)部件的退化特征均從0狀態(tài)開始,且服從增量非負(fù)、穩(wěn)定、隨機(jī)獨(dú)立的Gamma分布,設(shè)定3個(gè)部件的故障維修閾值分別為4 mm、5 mm和4 mm,Gamma退化過程的形狀參數(shù)分別為(,,)=(1,2,1),尺度參數(shù)分別為(,,)=(23,12,23),系統(tǒng)檢測(cè)時(shí)間為0.01 h,維修準(zhǔn)備時(shí)間為0.1 h,狀態(tài)數(shù)量參數(shù)均為10,因此,離散狀態(tài)對(duì)應(yīng)的退化量區(qū)間長度(,,)=(04,05,04)。選用Frank Copula函數(shù)描述系統(tǒng)中3個(gè)部件退化間的相關(guān)關(guān)系。三元Frank Copula函數(shù)可表示為

(21)

在本算例中,設(shè)定退化相關(guān)性參數(shù)的值為5。

3.1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布計(jì)算

由上述維修決策優(yōu)化模型知,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布與維修決策變量值相關(guān),即在不同的維修決策變量取值(,,,)下,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布不同,系統(tǒng)期望可用度也會(huì)相應(yīng)隨之變化。以決策變量值(,,,,,,,)=(28,25,28,16,15,16)為例,分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布特征,如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布Fig.2 Steady-state distribution of system

圖2分別給出了在部件3狀態(tài)=8時(shí),考慮退化相關(guān)性和獨(dú)立條件下其余兩個(gè)部件的穩(wěn)態(tài)分布。由圖2對(duì)比可以看出,退化相關(guān)性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分布特征有明顯影響,相對(duì)于部件相互獨(dú)立的情況,在系統(tǒng)長期運(yùn)行條件下,考慮退化相關(guān)性時(shí)系統(tǒng)退化狀態(tài)的分布更為集中。同時(shí),由于系統(tǒng)中3個(gè)部件不完全相同,且存在一定的相關(guān)關(guān)系,因此對(duì)應(yīng)穩(wěn)態(tài)分布曲面是非對(duì)稱的。

3.2 維修策略優(yōu)化

(1) 檢測(cè)間隔期參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響

分析檢測(cè)間隔期參數(shù)(,)變化對(duì)系統(tǒng)期望可用度TA的影響。首先,固定預(yù)防性維修閾值和機(jī)會(huì)維修閾值,當(dāng)預(yù)防性維修閾值分別為(,,)=(28,25,28),機(jī)會(huì)維修閾值分別為(,,)=(2,15,2)時(shí),系統(tǒng)半更新周期內(nèi)期望可用度隨檢測(cè)間隔期參數(shù)(,)的變化趨勢(shì)如圖3所示。其中,的取值范圍為[1～5],的取值范圍為[02～2]。

圖3 檢測(cè)間隔期參數(shù)對(duì)系統(tǒng)可用度的影響Fig.3 Influence of detection interval parameter on system availability

由圖3可以看出,當(dāng)固定預(yù)防性維修閾值和機(jī)會(huì)維修閾值時(shí),隨著(,)的增大,TA先增大后減小。這是由于當(dāng)檢測(cè)間隔期較小時(shí),頻繁的檢測(cè)會(huì)增加維修停機(jī)時(shí)間,系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間相對(duì)減少,因而TA較小。隨著(,)的增大,檢測(cè)間隔期逐漸增大,系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間相應(yīng)延長,因而TA隨之增大。當(dāng)檢測(cè)間隔期較大時(shí),會(huì)增加系統(tǒng)故障概率,而故障后維修時(shí)間一般較長,又會(huì)使得TA呈現(xiàn)下降趨勢(shì)?？傮w來說,存在最優(yōu)的(,)值使得TA達(dá)到最大。

(2) 預(yù)防性維修閾值和機(jī)會(huì)維修閾值對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響

類似地,固定參數(shù)(,,)=(04,1,04),(,)=(3,08),分析預(yù)防性維修閾值的變化對(duì)期望可用度TA的影響,TA隨預(yù)防性維修閾值的變化趨勢(shì)如圖4(a)所示。之后,固定參數(shù)(,,)=(32,4,32),(,)=(3,08)分析機(jī)會(huì)維修閾值變化對(duì)系統(tǒng)期望可用度TA的影響,TA隨機(jī)會(huì)維修閾值的變化趨勢(shì)如圖4(b)所示。

圖4 維修閾值對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響Fig.4 Influence of maintenance threshold on optimization objective

由圖4可以看出,隨著預(yù)防性維修閾值或機(jī)會(huì)維修閾值的增大,系統(tǒng)期望可用度TA呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。這是因?yàn)楫?dāng)或較小時(shí),半更新周期內(nèi)對(duì)各部件預(yù)防性維修和機(jī)會(huì)維修的概率較大,不能充分利用各部件的使用壽命,增加了系統(tǒng)維修停機(jī)時(shí)間;當(dāng)或逐漸增大時(shí),預(yù)防性維修和機(jī)會(huì)維修區(qū)域縮小,各部件預(yù)防性維修和機(jī)會(huì)維修概率隨之降低,TA逐漸增大;當(dāng)或較大時(shí),系統(tǒng)各部件發(fā)生故障的概率較高,受故障后維修時(shí)間較長的影響,導(dǎo)致TA相應(yīng)減小。總體來說,存在最優(yōu)維修閾值和使得系統(tǒng)期望可用度TA最大。

(3) 基于ABC算法的維修策略優(yōu)化

設(shè)置ABC算法的優(yōu)化參數(shù)為種群數(shù)量10,更新次數(shù)20,最大迭代次數(shù)100,ABC算法的一次優(yōu)化迭代過程如圖5所示。

圖5 ABC算法的一次優(yōu)化過程Fig.5 An optimization process of ABC algorithm

3.3 靈敏度分析

針對(duì)本文所建立的維修決策優(yōu)化模型,影響系統(tǒng)可用度的3個(gè)重要因素分別是維修停機(jī)時(shí)間、Copula函數(shù)中退化相關(guān)性參數(shù)和各部件狀態(tài)數(shù)量參數(shù),在此分析這3個(gè)參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

3.3.1 維修準(zhǔn)備時(shí)間

維修準(zhǔn)備時(shí)間直接影響系統(tǒng)可用度的大小。在其余參數(shù)設(shè)置不變的條件下,分析維修停機(jī)時(shí)間對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響,如圖1所示。

表1 維修準(zhǔn)備時(shí)間對(duì)維修優(yōu)化結(jié)果的影響Table 1 Influence of maintenance preparation time on maintenance optimization result

由表1可知,隨著維修準(zhǔn)備時(shí)間的增大,系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間相應(yīng)減小,系統(tǒng)可用度呈逐漸下降趨勢(shì),特別是當(dāng)維修準(zhǔn)備時(shí)間較長時(shí),會(huì)出現(xiàn)部件機(jī)會(huì)維修閾值為0的情況,這表明在檢測(cè)時(shí)刻就要對(duì)相應(yīng)部件進(jìn)行更換,這也說明利用維修停機(jī)時(shí)間對(duì)盡可能多的部件同時(shí)安排維修工作的重要意義。

3.3.2 退化相關(guān)性參數(shù)

本文考慮退化相關(guān)條件下多部件系統(tǒng)的維修決策優(yōu)化問題,因此需要分析退化相關(guān)性參數(shù)θ對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。在系統(tǒng)退化過程和其他參數(shù)不變的情況下,不同θ值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)維修策略如表2所示。

表2 退化相關(guān)性參數(shù)對(duì)維修優(yōu)化結(jié)果的影響Table 2 Influence of degradation dependence parameter on maintenance optimization result

由表2可知,隨著退化相關(guān)性參數(shù)的增大(即系統(tǒng)部件間退化相關(guān)性的增強(qiáng)),系統(tǒng)最優(yōu)視情維修策略也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化。注意到當(dāng)值較大時(shí)(>5),部件維修閾值會(huì)相應(yīng)降低,這是由于為確保系統(tǒng)長期穩(wěn)定可靠運(yùn)行,維修閾值的降低可以提前對(duì)部件進(jìn)行預(yù)防性維修和機(jī)會(huì)維修,從而提高了系統(tǒng)可用度。

同時(shí),隨著退化相關(guān)性參數(shù)的增大,系統(tǒng)期望可用度也隨之提高,這是由于隨著部件間退化相關(guān)性的增強(qiáng),可以利用維修停機(jī)時(shí)間對(duì)相關(guān)部件進(jìn)行同時(shí)維修,減少了額外的維修停機(jī)時(shí)間,從而提高了系統(tǒng)的可用度。

333 狀態(tài)數(shù)量參數(shù)

本文在推導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布時(shí),采用離散化系統(tǒng)狀態(tài)近似代替連續(xù)狀態(tài)退化過程,各部件狀態(tài)數(shù)量參數(shù)會(huì)直接影響系統(tǒng)期望可用度的計(jì)算精度,因此,有必要分析狀態(tài)數(shù)量參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,如表3所示。

表3 狀態(tài)數(shù)量參數(shù)對(duì)維修優(yōu)化結(jié)果的影響Table 3 Influence of state amount parameter on maintenance optimization result

由表3可知,在不同的狀態(tài)數(shù)量參數(shù)下,系統(tǒng)有著不同的最優(yōu)預(yù)防性維修閾值和機(jī)會(huì)維修閾值。狀態(tài)數(shù)量參數(shù)越小,系統(tǒng)可用度越大。隨著狀態(tài)數(shù)量參數(shù)的增大,系統(tǒng)期望可用度逐漸降低。這是由于狀態(tài)數(shù)量參數(shù)的變化,引起系統(tǒng)預(yù)防性維修閾值和機(jī)會(huì)維修閾值的變化,系統(tǒng)維修停機(jī)時(shí)間逐漸增大,從而導(dǎo)致系統(tǒng)可用度降低。

4 結(jié) 論

本文考慮裝備多部件系統(tǒng)任務(wù)特性的實(shí)際需求,以長期運(yùn)行下系統(tǒng)可用度為目標(biāo)建立了維修決策優(yōu)化模型,采用Gamma過程描述系統(tǒng)退化過程,采用Frank Copula函數(shù)描述系統(tǒng)各部件間相關(guān)關(guān)系,并利用改進(jìn)ABC算法進(jìn)行了求解,獲得了系統(tǒng)最優(yōu)檢測(cè)間隔期和維修閾值,通過算例驗(yàn)證了模型的有效性和可實(shí)施性,為裝備多部件系統(tǒng)預(yù)防性維修策略的實(shí)施提供了理論支持。