基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道的隆起變形分析

趙維，梁亞華，江杰，邢軒偉

(1.中國(guó)建筑第八工程局有限公司，上海 200112；2.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004；3.工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

近年來，隨著國(guó)內(nèi)城軌交通建設(shè)步伐的加快，鄰近地鐵沿線進(jìn)行基坑開挖的情況時(shí)有發(fā)生，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致隧道發(fā)生管片開裂、滲水等病害，而地鐵作為人們?nèi)粘３鲂械慕煌üぞ?，其安全運(yùn)行的重要性不言而喻。因此，如何準(zhǔn)確合理預(yù)估基坑工程施工工程中對(duì)下方既有地鐵隧道的影響成為近年來研究的重點(diǎn)。

目前，眾多學(xué)者針對(duì)基坑開挖對(duì)下方地鐵隧道影響方面的研究取得了一些成果。在數(shù)值模擬方面，Huang等[1]使用數(shù)值模擬的手段對(duì)基坑開挖作用下鄰近隧道的變形情況和穩(wěn)定性進(jìn)行了參數(shù)化研究；Liu等[2]使用數(shù)值模擬的手段預(yù)測(cè)了粉質(zhì)黏土地區(qū)基坑開挖作用下鄰近隧道的長(zhǎng)期變形響應(yīng)，并提出了有針對(duì)性的現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)方案。在理論分析方面，張治國(guó)等[3]使用兩階段法研究了基坑開挖對(duì)鄰近隧道的縱向變形影響；Sun等[4]提出了圓形基坑開挖作用下隧道變形的解析方法，與離心模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證；Liang等[5]基于兩階段法，通過引入修正系數(shù)，考慮了隧道埋深效應(yīng)和剪切效應(yīng)，推導(dǎo)出了基坑開挖作用下鄰近隧道變形的解析解；張兵兵等[6]以濟(jì)南歷下醫(yī)養(yǎng)結(jié)合中心項(xiàng)目為背景研究了基坑開挖對(duì)臨近既有地鐵隧道影響。

根據(jù)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50157—2013)[7]，地鐵線路縱斷面設(shè)計(jì)，正線的最大坡度不宜超過30‰，困難地段不宜超過35‰，但目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在采用理論分析手段計(jì)算基坑開挖引起下臥縱向斜穿地鐵隧道的隆起變形時(shí)，一般采用隧道的平均埋深帶入計(jì)算，無法準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)隧道的真實(shí)隆起變形。

鑒于此，現(xiàn)基于兩階段法，引入隧道縱向夾角，考慮隧道的縱向坡度對(duì)于隧道變形的影響，并將隧道視為擱置在Pasternak地基模型上的Timoshenko長(zhǎng)梁，提出基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道隆起變形的理論解，通過與數(shù)值模擬算例進(jìn)行對(duì)比分析，并分別與采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的算法和傳統(tǒng)算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 理論推導(dǎo)

1.1 基本假定

基坑開挖將造成地基出現(xiàn)附加應(yīng)力，從而導(dǎo)致鄰近隧道產(chǎn)生相應(yīng)的隆起變形。為簡(jiǎn)化計(jì)算，理論模型做如下假定。

(1)假定地基為均勻各向同性半無限彈性體，且在基坑開挖前隧道變形已經(jīng)穩(wěn)定。

(2)不考慮基坑開挖卸荷作用隨時(shí)間的變化，以及土體排水固結(jié)和蠕變作用。

(3)假定隧道襯砌與土體始終接觸，不考慮隧道襯砌與土體分離的情況。隧道-土體相互作用通過Pasternak地基模型考慮，滿足變形協(xié)調(diào)條件，即隧道隆起量等于地基變形量。

1.2 基坑卸荷作用在下方縱向斜穿隧道上的附加應(yīng)力

計(jì)算模型如圖1所示，一矩形基坑下方有一縱向斜穿的地鐵隧道。使用Mindlin基本解積分得到基坑卸荷作用在鄰近隧道軸線上的某一點(diǎn)(X,S,H)的豎向附加應(yīng)力δ(x)為

L為基坑長(zhǎng)度；B為寬度；S為基坑中心與隧道軸線水平距離；c為基坑開挖深度；z1、z2為隧道軸線埋深，由z1變化到z2；β為隧道的縱向夾角；D為隧道外徑

(1)

1.3 由附加應(yīng)力引起的隧道隆起變形

如圖2所示，首先把xoz直角坐標(biāo)系在xoz平面上繞坐標(biāo)原點(diǎn)o，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角度，得到直角坐標(biāo)系x′oz′，然后將隧道受到的豎向附加應(yīng)力δ(x)D在直角坐標(biāo)系x′oz′中沿相互垂直的兩坐標(biāo)軸oz′、ox′分解為兩個(gè)分力δz′和δx′，其大小分別為δz′=δ(x)Dcosβ，δx′=δ(x)Dsinβ。

圖2 豎向附加應(yīng)力δ(x)D正交分解圖

如圖3所示，將隧道簡(jiǎn)化為放置在Pasternak地基上的Timoshenko梁(簡(jiǎn)稱T-P模型)，在隧道上取微元體在直角坐標(biāo)系x′oz′中做受力分析，可以得到隧道在附加應(yīng)力δ(x)作用下，關(guān)于隧道隆起值w和轉(zhuǎn)角θ的平衡微分方程，即

圖3 微元體受力分析圖

(2)

(3)

式(2)中：(EI)eq、(λCΩ)eq分別為隧道等效抗彎剛度。由于式(2)是一個(gè)4階常微分方程，直接計(jì)算解析解難度較大，采用有限差分法將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程進(jìn)行求解。離散隧道單元如圖4所示，將隧道沿隧道軸線等分為n個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為l，并在隧道一端增設(shè)2個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)-2和-1，隧道另一端增設(shè)2個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)n+1和n+2。

圖4 盾構(gòu)隧道劃分圖

(4)

式(4)中：δi和wi分別為節(jié)點(diǎn)單元i受到的豎向附加應(yīng)力和隆起值。

由于隧道兩端自由，隧道兩端受到的彎矩，剪力為零，則邊界條件為

(5)

求解式(5)可得隧道兩端4個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)的位移表達(dá)式為

(6)

(7)

(8)

(9)

令i=0，1，…，n，代入式(4)并結(jié)合式(6)～式(9)可以得到以隧道隆起值w為未知量的n+1個(gè)方程，分別對(duì)應(yīng)第1，2，…，n+1節(jié)點(diǎn)單元，將這些方程裝配到矩陣中，可以得到整個(gè)隧道的位移計(jì)算公式為

{K1+K2+K3}w=Q1+Q2+Q3

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

最后使用MATLAB編程計(jì)算式(10)可以得到整個(gè)隧道的隆起w，再將w代入式(5)中可以得到整個(gè)隧道所受的彎矩M和剪力Q。

2 計(jì)算參數(shù)的確定

2.1 地基模型計(jì)算參數(shù)

如圖5所示，Pasternak地基模型通過在土體彈簧上加入一層不能壓縮的剪切層改進(jìn)了Winkler地基模型無法考慮土體彈簧相互之間剪切作用的缺點(diǎn)，計(jì)算公式為

圖5 Pasternak地基模型圖

(18)

式(18)中：p為施加在地基表面上的壓力；k為地基基床系數(shù)；G為剪切層的剪切剛度。Tanahashi[8]提出了一種經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算G，即

(19)

式(19)中：Es為隧道所在土層的彈性模量；hp為剪切層的厚度，取hp=2.5D，D為隧道外徑；μ為地基土層的泊松比。

Vesic[9]提出了擱置于地面的長(zhǎng)梁，其基床系數(shù)kVesic的計(jì)算式，但Attewell等[10]研究發(fā)現(xiàn)：對(duì)于一定埋深下的地基梁，采用kVesic代入計(jì)算將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果大于實(shí)測(cè)值，應(yīng)采用2倍kVesic來估算一定埋深下的地基梁的基床系數(shù)。

(20)

2.2 隧道模型計(jì)算參數(shù)

在計(jì)算隧道的變形和內(nèi)力時(shí)，隧道等效彎曲剛度和等效剪切剛度起到了重要的作用。計(jì)算方法中應(yīng)用最為廣泛的是志波由紀(jì)夫等[11]提出的等效軸向剛度模型，該模型計(jì)算簡(jiǎn)便，但忽略了隧道橫向剛度變化對(duì)隧道縱向剛度的影響，相較于實(shí)際工程過于理想化?，F(xiàn)引用由葉飛等[12]在橫向修正慣用法的基礎(chǔ)上提出的考慮橫向剛度變化的盾構(gòu)隧道縱向等效剛度模型，其等效抗彎剛度(EI)eq計(jì)算公式為

(21)

式(21)中：Ec為管片混凝土的彈性模量；n為縱向接頭螺栓個(gè)數(shù)；ls為隧道管片環(huán)寬；Kb為螺栓的縱向平均線剛度，Kb=EbAb/lb，Eb為螺栓的彈性模量，Ab為螺栓的橫截面積，lb為螺栓的長(zhǎng)度；As為隧道橫截面積；λ1和λ2均為與隧道橫截面有關(guān)的參數(shù)，其表達(dá)式見文獻(xiàn)[12]。

Wu等[13]基于Timoshenko梁理論提出了盾構(gòu)隧道等效剪切剛度(λCΩ)eq的計(jì)算式，即

(22)

式(22)中：ξ為考慮影響盾構(gòu)隧道剪切剛度因素(如管片之間的摩擦，密封墊片等)的修正系數(shù)，取1；kb為Timoshenko螺栓剪切系數(shù)，取0.9；ks為Timoshenko隧道管片環(huán)剪切系數(shù)，取0.5；Gb為螺栓剪切模量；Gs為隧道管片剪切模量。

3 算例驗(yàn)證

假設(shè)如下工況，有一基坑開挖深度為4 m，基坑平面尺寸為長(zhǎng)×寬(L×B)為150 m×16 m，基坑四周設(shè)置了地下連續(xù)墻用來抵擋基坑開挖引起的基坑側(cè)壁水平卸荷，地下連續(xù)墻厚1 m，墻高10 m。一盾構(gòu)隧道在其正下方穿過，盾構(gòu)隧道的縱向坡度為30‰，隧道長(zhǎng)600 m，隧道兩端埋深不同：分別為12 m和30 m。隧道所在土層參數(shù)如表1所示，隧道螺栓管片參數(shù)如表2所示。

表1 隧道所在土層參數(shù)

表2 隧道螺栓管片參數(shù)

使用有限差分軟件FLAC3D進(jìn)行數(shù)值模擬，模型網(wǎng)格劃分如圖6所示，整個(gè)模型網(wǎng)格單元個(gè)數(shù)為133 587個(gè)，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為84 121個(gè)。隧道與基坑空間相對(duì)位置如圖7所示，采用FLAC3D軟件自帶的殼單元(shell)模擬隧道襯砌管片，采用摩爾-庫倫本構(gòu)模型(Mohr-Coulomb)模擬隧道周圍土體。采用線彈性模型(elastic)模擬地下連續(xù)墻，地下連續(xù)墻密度為2 500 kg/m3，彈性模量為40 GPa，泊松比為0.2，地下連續(xù)墻與周圍土體綁定。

圖6 模型網(wǎng)格劃分

圖7 隧道與基坑空間相對(duì)位置

由于基坑開挖對(duì)隧道的影響范圍有限，選取沿隧道長(zhǎng)度方向距基坑中心水平距離為[-150,150]m的隧道區(qū)間進(jìn)行分析。

圖8為本文方法(T-P模型)、將隧道簡(jiǎn)化為放置在Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁(簡(jiǎn)稱為EB-P模型)的算法和將隧道簡(jiǎn)化為放置在Winkler地基上的Timoshenko梁(簡(jiǎn)稱為T-W模型)的算法得到的隧道隆起值曲線與數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。

由圖8可以看出，隧道隆起值并不是在隧道中心線處達(dá)到最大值，隧道最大隆起值位置線在隧道中心線沿坐標(biāo)橫軸負(fù)方向45 m處，且隧道隆起值曲線不關(guān)于隧道最大隆起值位置線對(duì)稱。究其原因是：隧道縱斷面具有30‰的坡度，隧道埋深沿著坐標(biāo)橫軸正方向線性增大，當(dāng)x從-150 m增加到150 m時(shí)，隧道埋深增加了9 m。在基坑開挖卸荷的作用下，受基坑開挖影響而產(chǎn)生隆起的隧道范圍為[-125,125]m，約為基坑開挖寬度的1.67倍。使用本文方法計(jì)算得到的隧道最大隆起值為2.84 mm，略大于數(shù)值模擬結(jié)果2.76 mm，隧道受基坑開挖卸荷作用影響范圍也略大于數(shù)值模擬結(jié)果，分析其原因是數(shù)值模擬中土體可能發(fā)生塑性變形，而本文方法將土體簡(jiǎn)化為Pasternak彈性地基，故本文方法計(jì)算結(jié)果相比于數(shù)值模擬結(jié)果略大。使用T-W模型計(jì)算得到的隧道最大隆起值最大，為3.47 mm；使用EB-P模型計(jì)算得到的隧道最大隆起值最小，為2.48 mm；使用本文方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果最為接近。Timoshenko梁模型能夠考慮隧道管片之間接頭螺栓對(duì)隧道整體等效彎曲剛度和等效剪切剛度的削弱作用，因此本文方法計(jì)算結(jié)果大于使用EB-P模型的計(jì)算結(jié)果。此外，Pasternak地基模型在Winkler地基模型的基礎(chǔ)上，通過在地基彈簧上加入一不可壓縮的剪切層考慮了地基彈簧之間的相互剪切作用，反映了土介質(zhì)的連續(xù)性，因此本文方法計(jì)算結(jié)果小于使用T-W模型的計(jì)算結(jié)果。

圖8 計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果隧道隆起值對(duì)比

4 與傳統(tǒng)算法的對(duì)比

傳統(tǒng)算法對(duì)于隧道具有30‰縱向坡度的情況，會(huì)采用隧道的平均埋深21 m代入計(jì)算，下面將使用傳統(tǒng)算法和本文算法得到的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析兩種算法的差別。

如圖9所示，將使用本文算法和傳統(tǒng)算法得到的隧道隆起值進(jìn)行比較，由圖9可以看出：使用本文算法和傳統(tǒng)算法計(jì)算得到的隧道受基坑開挖影響產(chǎn)生隆起變形范圍基本一致，但由于傳統(tǒng)算法采用了隧道平均埋深來簡(jiǎn)化計(jì)算，導(dǎo)致隧道的隆起值曲線關(guān)于隧道中心線x=0對(duì)稱，這一現(xiàn)象明顯與隧道真實(shí)隆起變形情況不符，例如：傳統(tǒng)算法計(jì)算結(jié)果中x=-50 m和x=50 m處相對(duì)應(yīng)的隧道隆起值相等，但隧道實(shí)際情況，當(dāng)x從-50 m變化到50 m的過程中，隧道的埋深相應(yīng)地線性增大了3 m，勢(shì)必會(huì)對(duì)隧道受基坑開挖卸荷作用而產(chǎn)生的隆起變形造成影響。本文算法通過在計(jì)算中引入隧道縱向夾角β，考慮了隧道的縱向坡度，計(jì)算結(jié)果中，隧道最大隆起值為2.84 mm，發(fā)生位置為x=-45 m處，而傳統(tǒng)算法得到的隧道最大隆起值為2.57 mm，發(fā)生位置為x=0 m處，傳統(tǒng)算法得到的隧道最大隆起值有10.5%的誤差，且發(fā)生位置相差了45 m。在實(shí)際施工中，需要通過理論計(jì)算，數(shù)值分析等手段預(yù)測(cè)隧道最大隆起變形發(fā)生的位置，提前在此處采用設(shè)置抗拔樁，三軸攪拌樁加固土體等方式控制隧道隆起變形，若在傳統(tǒng)算法計(jì)算得到的隧道最大隆起變形位置處設(shè)置加固措施，將起不到較好的隧道隆起變形控制效果。

圖9 本文算法與傳統(tǒng)算法結(jié)果隧道隆起對(duì)比

使用本文算法和傳統(tǒng)算法得到的隧道彎矩值的比較如圖10所示。

由圖10可以看出，由于傳統(tǒng)算法采用了隧道平均埋深來簡(jiǎn)化計(jì)算，導(dǎo)致傳統(tǒng)算法給出的最大正彎矩和最大負(fù)彎矩均小于本文算法的計(jì)算結(jié)果，傳統(tǒng)算法得到的最大正彎矩和最大負(fù)彎矩的誤差分別為25.48%和20.88%。

圖10 本文方法與傳統(tǒng)算法結(jié)果隧道彎矩對(duì)比

兩種算法給出的隧道彎矩值曲線變化趨勢(shì)不同，傳統(tǒng)算法給出的隧道彎矩值曲線關(guān)于隧道中心線x=0對(duì)稱，且隧道受到的最大正(負(fù))彎矩的絕對(duì)值相等，均為599.21 kN·m；本文算法給出的彎矩值曲線并不關(guān)于隧道中心線x=0對(duì)稱，本文算法得到的隧道受到的最大正彎矩為744.44 kN·m，位于x=-63 m處，最大負(fù)彎矩為-724.32 kN·m，位于x=-89 m處，兩者絕對(duì)值相差20.12 kN·m。距離隧道中心線相同距離，處于中心線左側(cè)的隧道受到的彎矩更大，例如，x=-60 m處隧道所受的彎矩為724.74 kN·m，x=60 m處隧道所受的彎矩為485.53 kN·m，相差49.27%。

如圖11所示，將使用本文算法和傳統(tǒng)算法得到的隧道剪力值進(jìn)行比較。

圖11 本文方法與使用傳統(tǒng)算法結(jié)果隧道剪力對(duì)比

由圖11可以看出：傳統(tǒng)算法給出的最大正剪力小于本文算法的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算誤差為30.14%；傳統(tǒng)算法給出的最大負(fù)剪力大于本文算法的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算誤差為28.94%。

兩種算法給出的隧道剪力曲線變化趨勢(shì)不同，傳統(tǒng)算法給出的隧道剪力曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，對(duì)于本文算法給出的隧道剪力曲線，距離隧道中心線相同距離，處于中心線左側(cè)的隧道受到的剪力更大。本文算法給出的隧道最大正剪力，最大負(fù)剪力分別為94.52 kN和-56.33 kN，兩者絕對(duì)值相差為38.19 kN，約為最大負(fù)剪力絕對(duì)值的0.68倍。

因此在計(jì)算基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道的隆起變形時(shí)，相比于傳統(tǒng)算法，采用本文算法得到的隧道隆起變形曲線和內(nèi)力曲線更加準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

從理論分析方面出發(fā)，提出了基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道隆起變形的理論解，首先在計(jì)算基坑卸荷作用在下方縱向斜穿隧道上的附加應(yīng)力時(shí)，引入了隧道縱向夾角β，考慮了隧道的縱向坡度，接著將隧道視為擱置在Pasternak地基模型上的Timoshenko長(zhǎng)梁，得到并使用有限差分法求解了隧道隆起變形方程，再通過數(shù)值模擬算例驗(yàn)證了提出的理論解，并分別與采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的算法和傳統(tǒng)算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，得到以下主要結(jié)論：

(1)將本章提出的理論解與使用有限差分軟件FLAC3D進(jìn)行數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)一致性較好，驗(yàn)證了本文提出的基坑開挖引起下方縱向斜穿地鐵隧道隆起變形理論解的正確性。

(2)通過將數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果與本文理論解的計(jì)算結(jié)果和采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)：相較于T-P模型的計(jì)算結(jié)果，采用Euler-Bernoulli梁計(jì)算將低估隧道的隆起變形，采用Winkler地基計(jì)算將高估隧道的隆起變形，其原因是：Euler-Bernoulli梁模型，無法考慮隧道管片之間接頭螺栓對(duì)隧道整體等效彎曲剛度和等效剪切剛度的削弱作用，且Winkler地基模型不能反映土介質(zhì)的連續(xù)性，也無法考慮地基彈簧之間的相互剪切作用。

(3)通過與傳統(tǒng)算法進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)：由于傳統(tǒng)算法采用了隧道平均埋深來簡(jiǎn)化計(jì)算，導(dǎo)致計(jì)算誤差較大，傳統(tǒng)算法給出的隧道最大隆起值有10.5%的誤差；傳統(tǒng)算法給出的最大正彎矩和最大負(fù)彎矩的誤差分別為25.48%和20.88%；傳統(tǒng)算法給出的最大正剪力和最大負(fù)剪力的誤差分別為30.14%和28.94%。