懸力無限的焦點(diǎn)三角形

廖慶偉

與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題在雙曲線中經(jīng)常出現(xiàn)，?？碱}型是求離心率、角度、面積、最值、焦點(diǎn)弦、距離等問題。解題時(shí)一般用到定義、正弦定理或余弦定理，也涉及三個(gè)基本量間的關(guān)系，故要仔細(xì)審題，選準(zhǔn)解題方法。

一、離心率問題

解析：由（OP+OF2）·F2戶=0，得（O3+OF2）·（O2-OF2）=0，即1OP12-1OF212=0，所以1OP|=OF21=c。

在△PF1F2中，邊F1F2上的中線等于|F1F2|的-半，則PF1⊥PF2，即|PF1|2+|PF212=4c2。由|PF1|-|PF2|=2a，及題意可得|PF：|=3|PF2|=（3+3）a，|PF2|=（1+/3）a。

則F1F2=2c，且F1F2=2PF2，所以e=3+1，選A。

點(diǎn)評(píng)：解決雙曲線的離心率的求值及范圍問題的關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于α，b，c的方程或不等式，再根據(jù)α，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式時(shí)，要充分利用雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍等知識(shí)。

二、角度問題

例2（2021年安徽黃山市-診）雙曲與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)，，F(xiàn)，為雙曲線C的焦點(diǎn)，A為雙曲線C上一點(diǎn)，若F1A=2|F2A|，則cos∠AF2F1等于（）。

解析：因?yàn)殡p曲線的-條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，所以b=2a。

又F1A=2|F2A，且|F1A|-F2A=2a，所以|F2A|=2a，|F1A|=4a。

從而c2=5a2，則2c=2/5a。

點(diǎn)評(píng)：在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，并且結(jié)合||PF1|-|PF2「=2a，經(jīng)常運(yùn)用平方的方法解題。

三、面積問題

的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且3|PF1=4PF2|，則△PF1F2的面積等于（）。

A.4/2

B.83

C.24

D.48

故選C。

點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線還是雙曲線的-支，若是雙曲線的-支，則需確定是那一支。

四、取值范圍與最值問題

例4已知M（xo，yo）是雙曲線C：

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)在雙曲線上，則，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足雙曲線方程。

例5已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C：x2-

點(diǎn)評(píng)：用基本不等式求最值，應(yīng)注意等號(hào)成立的條件。

五、焦半徑問題

故PF2=PF1+8=17。

點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線上任意一點(diǎn)M與圓錐曲線焦點(diǎn)的連線段，叫作圓錐曲線的焦半徑。圓錐曲線上一點(diǎn)到焦，點(diǎn)的距離不是定值。

六、距離問題

例7已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上任一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則OH=

解析：如圖1所示，

延長F1H交PF2于點(diǎn)Q。

由PH為∠F1PF2的平分線及PH⊥FQ，可知PF1=PQ。根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|-|PF1I=2，從而|QF2|=2。

在△FQF2中，易知OH為中位線，故OH=1。

點(diǎn)評(píng)：雙曲線x2-y2=1是等軸雙曲線，其離心率為2，漸近線方程為y=士x，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。注意OP不是∠F1PF2的角平分線。

（責(zé)任編輯 徐利杰）