解析幾何“搭臺(tái)”，核心素養(yǎng)“唱戲”

謝飛燕

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 因此，我們讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中如何發(fā)展并形成核心素養(yǎng)，是新一輪課程改革的任務(wù).培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要貫徹到每一節(jié)課中，落實(shí)到每一道題的解決過(guò)程之中，細(xì)化到每道題的每個(gè)步驟.下面以2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷解析幾何解答題為例，通過(guò)解析幾何問(wèn)題的解答探究提出課堂教學(xué)中如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，正所謂解析幾何“搭臺(tái)”，核心素養(yǎng)“唱戲”.

一、試題再現(xiàn)

（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1（-17，0），F(xiàn)2（17，0），|MF1|-|MF2|=2，點(diǎn)M的軌跡為C.（1）求C的方程;（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=12上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A、B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

二、解法探究

1.第一問(wèn)解法分析

分析1：第一問(wèn)利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點(diǎn)F1、F2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，求出a、b的值，即可得出軌跡C的方程.

解法1：因?yàn)閨MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=217，所以，軌跡C是以點(diǎn)F1、F2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡C的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），則2a=2，可得a=1，b=17-a2=4，所以，軌跡C的方程為x2-y216=1（x≥1）.

評(píng)析：掌握了雙曲線的定義，才能辨別出問(wèn)題的條件與定義的不同之處，準(zhǔn)確不漏地寫(xiě)出軌跡C的方程.不少考生可能忽略了雙曲線定義中的“絕對(duì)值”字眼而誤認(rèn)為軌跡C是雙曲線，這充分暴露了考生在解析幾何方面嚴(yán)重缺乏數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)所以對(duì)雙曲線的定義未能真正地理解，未能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中抽象出雙曲線的兩支，題中的軌跡C只是雙曲線的右支，并非整條雙曲線.

分析2：第一問(wèn)也可以用解析法，根據(jù)求軌跡的步驟，先設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)（x，y）根據(jù)題中的等式，代入坐標(biāo)得到關(guān)于x，y的方程并化簡(jiǎn)則可得出軌跡C的方程.

解法2：設(shè)點(diǎn)C（x，y），∵|MF1|-|MF2|=2，（x+17）2+y2-（x-17）2+y2=2，

則（x+17）2+y2=（x-17）2+y2+2，

兩邊平方并化簡(jiǎn)可得17x-1=（x-17）2+y2①

兩邊平方并化簡(jiǎn)可得x2-y216=1.

由①式可知，17x-1>0即x>0，/C的方程為x2-y216=1（x>0）.

評(píng)析：解析幾何法的基礎(chǔ)是解析法，解法2回歸原始的解析幾何思想，學(xué)生只要回憶之前推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)的那段“艱苦”的歷程，重復(fù)體驗(yàn)一下那兩次平方的過(guò)程即可.當(dāng)然這里的化簡(jiǎn)過(guò)程考察了考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，并且要求不低，會(huì)算可能也會(huì)出錯(cuò)，即“會(huì)而不對(duì)”.解析法遵循“建立坐標(biāo)系—設(shè)點(diǎn)—列出限制條件—代入坐標(biāo)—化簡(jiǎn)—檢驗(yàn)”等步驟，一般情況下最后一步可以省略，所以坐標(biāo)法步驟簡(jiǎn)稱“建設(shè)現(xiàn)（限）代化”五個(gè)步驟，但此題最后一步必不可少，不少考生沒(méi)有檢驗(yàn)從而忽略了化簡(jiǎn)過(guò)程中的隱藏條件x>0導(dǎo)致得出不完整的答案.

2.第二問(wèn)解法分析

分析1：第二問(wèn)的解題思路很清晰，先設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（12，t），再設(shè)直線AB與PQ的斜率分別為k1和k2，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式或弦長(zhǎng)公式便可求出|TA|和|TB|，同理可得|TP|和|TQ|，最后通過(guò)運(yùn)算化簡(jiǎn)可得k1+k2=0.

解法1：設(shè)點(diǎn)T（12，t），若過(guò)點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無(wú)公共點(diǎn)，不妨直線AB的方程為y-t=k1（x-12），即y=k1x+t-12k1，聯(lián)立y=k1x+t-12k1

16x2-y2=16，消去y并整理可得（k21-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-12k1）2+16=0，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1>12且x2>12.由韋達(dá)定理可得x1+x2=k21-2k1tk21-16，x1x2=（t-12k1）2+16k21-16.

所以|TA|·|TB|=（1+k21）·|x1-12|·|x2-12|=（1+k21）·（x1x2-x1+x22+14）=（t2+12）（1+k21）k21-16.

設(shè)直線PQ的斜率為k2，同理可得|TP|·|TQ|=（t2+12）（1+k22）k22-16，因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即（t2+12）（1+k21）k21-16=（t2+12）（1+k22）k22-16，整理可得k21=k22，即（k1-k2）（k1+k2）=0，顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

評(píng)析：圓錐曲線綜合問(wèn)題常用的“設(shè)直線方程—聯(lián)立方程組—消元—韋達(dá)定理……”解題策略，對(duì)于第二問(wèn)，大部分考生都能完成前四步，但又只能到此“望題興嘆”了.因?yàn)榘凑諆牲c(diǎn)間的距離公式代入運(yùn)算非常復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算要求很高，此時(shí)優(yōu)化運(yùn)算變得尤為重要.我們熟悉的圓錐曲線弦長(zhǎng)公式其實(shí)是直線上兩點(diǎn)間的距離公式，若A（x1，y1），B（x2，y2）是直線y=kx+b（k≠0）的兩點(diǎn)，則|AB|=1+k2|x1-x2=|1+1k2|y1-y2|，稱此公式為直線上的兩點(diǎn)的距離公式，若A，B是直線上與圓錐曲線的交點(diǎn)，則此公式即我們的弦長(zhǎng)公式，因此本題可以直接應(yīng)用以優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算.

分析2：因?yàn)轭}中涉及兩個(gè)線段的長(zhǎng)度的乘積，可以借用向量的數(shù)量積解決問(wèn)題，由T，A，B三點(diǎn)共線可知|TA||TB|=|TA||TB|=TA·TB，現(xiàn)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和前面得到的根與系數(shù)的關(guān)系求解.

解法2：（以上同解法1）|TA||TB|=|TA||TB=|TA·TB=（x1-12）（x2-12）+（y1-t）（y2-t）

=（k21+1）（x1-12）（x2-12）

=（k21+1）[x1x2-12（x1+x2）+14]

=（k21+1）（t2+12）k21-16

同理可得|TP||TQ|=（k22+1）（t2+12）k22-16（以下同解法1）.

評(píng)析：整體考慮|TA||TB|，利用向量工具解決問(wèn)題可以避免運(yùn)用弦長(zhǎng)公式在運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)絕對(duì)值或根號(hào)等象征著復(fù)雜運(yùn)算的符號(hào)，運(yùn)用向量作為工具解決解析幾何問(wèn)題是常用方法之一.

分析3：考慮到第二問(wèn)中的|TA|和|TB|為過(guò)點(diǎn)T的直線與雙曲線的交點(diǎn)所形成的線段的長(zhǎng)度，利用點(diǎn)T建立直線的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)方程中t的幾何意義可快速求得|TA|和|TB|，可以簡(jiǎn)化部分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算.

解法3：設(shè)點(diǎn)T（12，m），若過(guò)點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無(wú)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T的直線的參數(shù)方程為

x=12+tcosα

y=m+tsinα（t為參數(shù)）

代入雙曲線可得（16cos2α-sin2α）t2+（16cosα-2msinα）t-12-m2=0

|TA||TB|=t1t2=-12+m216cos2α-sin2α=-12+m217cos2α-1

同理|TP||TQ|=-12+m217cos2β-1

因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，所以cos2α=cos2β.

則cosα+cosβ=0，所以α=π-β即兩斜率和為零.

評(píng)析：引入?yún)?shù)，用直線的參數(shù)方程或曲線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義搭起題目中量與量之間的關(guān)系，建立方程進(jìn)行運(yùn)算求解，這是解析幾何中常用的方法，但可能是學(xué)生們對(duì)參數(shù)方程的學(xué)習(xí)不夠，很少能把解析幾何問(wèn)題與參數(shù)方程聯(lián)系一起，特別是在新高考中取消了最后一道大題即往年的選做題后，學(xué)生對(duì)參數(shù)方程更陌生了.

3. 教學(xué)思考

加強(qiáng)學(xué)生對(duì)解析幾何知識(shí)本質(zhì)的理解，提升其數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng).注重學(xué)生的運(yùn)算能力培養(yǎng)，提升其數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).探索數(shù)學(xué)中幾何關(guān)系如何代數(shù)化的途徑，提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).