裂紋擴(kuò)展增量對(duì)裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定性影響的研究

朱凱林，米彩盈

西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031

0 前言

工程上構(gòu)件疲勞失效的主要原因是構(gòu)件危險(xiǎn)部位裂紋的萌生及擴(kuò)展，目前機(jī)械結(jié)構(gòu)疲勞裂紋剩余擴(kuò)展壽命計(jì)算都是基于Paris公式，計(jì)算出裂紋尖端的應(yīng)力分布情況和應(yīng)力強(qiáng)度因子（stress intensity factor，SIF）大小，結(jié)合相應(yīng)工程判據(jù)計(jì)算出裂紋尖端扭轉(zhuǎn)角度和材料斷裂韌性來(lái)確定裂紋擴(kuò)展速率及其擴(kuò)展壽命［1］。

利用裂紋尖端應(yīng)力計(jì)算SIF需要裂紋尖端具有非常細(xì)密的網(wǎng)格，而常用的有限元分析軟件如ANSYS、Abaqus和Nastran等難以對(duì)局部網(wǎng)格進(jìn)行理想的細(xì)化。FRANC3D是FAC公司開(kāi)發(fā)的新一代裂紋分析軟件，不僅可以對(duì)局部裂紋尖端進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，還可以在裂紋尖端生成三圈環(huán)狀奇異單元，提高計(jì)算精度，并且提供了ANSYS、Abaqus和Nastran等軟件接口［2］。

目前有關(guān)動(dòng)態(tài)裂紋的研究最經(jīng)典的案例是利用拉格朗日有限差分法分析階躍載荷作用下中心裂紋板的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子。彭英［3］應(yīng)用相互作用積分法計(jì)算動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，考慮了裂紋面接觸作用、沖擊載荷形式、裂紋長(zhǎng)度、裂紋角度及裂紋位置等參數(shù)的影響；姜偉［4］采用將動(dòng)態(tài)有限元分析過(guò)程和相互作用積分相結(jié)合的方法，在有限元分析軟件ANSYS中求解動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子。盡管動(dòng)態(tài)求解方法更趨近于實(shí)際，但其計(jì)算過(guò)程極其復(fù)雜，不適用于復(fù)雜模型，故常用的疲勞裂紋擴(kuò)展分析方法是通過(guò)設(shè)置不同的靜態(tài)裂紋分析步進(jìn)行迭代，在相鄰兩分析步中，很重要的一個(gè)參數(shù)是裂紋擴(kuò)展增量。擴(kuò)展增量越大，裂紋擴(kuò)展分析步較少，計(jì)算時(shí)間短；增量越小，裂紋擴(kuò)展分析步較多，計(jì)算精度高，但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。故裂紋擴(kuò)展增量的確定對(duì)裂紋擴(kuò)展仿真分析有重要意義。而在實(shí)際的裂紋擴(kuò)展仿真分析中，諸多研究學(xué)者往往根據(jù)結(jié)果精度的需求來(lái)確定裂紋擴(kuò)展增量的大小，忽略了擴(kuò)展增量對(duì)裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定性的影響，為探究這一問(wèn)題，本文結(jié)合FRANC3D軟件，分析了在不同擴(kuò)展增量下緊湊拉伸（CT）試樣的裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定性情況，并根據(jù)貫穿裂紋SIF的分布特點(diǎn)分析了裂紋凸凹擴(kuò)展的原因及裂紋擴(kuò)展增量的確定方法，為裂紋擴(kuò)展剩余壽命計(jì)算問(wèn)題提供參考依據(jù)。

1 疲勞裂紋擴(kuò)展分析方法

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展分析首先是建立模型，本文采用HyperMesh對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分并將其導(dǎo)入Abaqus定義材料屬性、載荷以及約束，并提交分析。然后導(dǎo)入FRANC3D中在裂紋擴(kuò)展區(qū)域引入裂紋并重新劃分網(wǎng)格，得到新的完整有限元模型后再提交到Abaqus中進(jìn)行應(yīng)力分析，計(jì)算出裂紋尖端的SIF值，根據(jù)SIF大小計(jì)算出裂紋尖端節(jié)點(diǎn)的局部扭轉(zhuǎn)角度，結(jié)合給定的裂紋擴(kuò)展距離或載荷循環(huán)次數(shù)確定裂紋擴(kuò)展幾何并再次重新劃分裂紋網(wǎng)格，如此反復(fù)，便可得到裂紋每一步擴(kuò)展的應(yīng)力、SIF以及擴(kuò)展壽命的詳細(xì)數(shù)據(jù)。具體的疲勞裂紋擴(kuò)展仿真模擬流程如圖1所示。

圖1 疲勞裂紋擴(kuò)展分析的具體流程Fig.1 Specific flow of fatigue crack propagation analysis

2 疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程

對(duì)裂紋進(jìn)行疲勞裂紋擴(kuò)展分析時(shí)需要確定三個(gè)重要參數(shù)，分別為局部裂紋扭轉(zhuǎn)角度、局部裂紋擴(kuò)展增量以及擴(kuò)展后裂紋尖端的擬合外伸，如圖2所示。

圖2 裂紋擴(kuò)展示意Fig.2 Schematic diagram of crack propagation

2.1 計(jì)算裂紋尖端局部扭轉(zhuǎn)角度

通過(guò)Abaqus應(yīng)力分析后，根據(jù)式（1）計(jì)算出裂紋尖端的SIF大小。

式中m取Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，分別表示三種裂紋類型；a為裂紋尺寸；F為與裂紋尺寸相關(guān)的系數(shù)。結(jié)合工程判據(jù)計(jì)算出裂紋尖端各個(gè)節(jié)點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)角度（見(jiàn)圖2中的θ角）。其工程判據(jù)有最大張應(yīng)力準(zhǔn)則、局部對(duì)稱原則、最大能量釋放率準(zhǔn)則以及最小應(yīng)變能密度準(zhǔn)則等，這些判據(jù)本質(zhì)上相差不大，都是傾向于最小化Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的準(zhǔn)則，均可得到準(zhǔn)確且相似的結(jié)果，本文采用最大張應(yīng)力準(zhǔn)則［5］，如圖3所示，其裂紋偏轉(zhuǎn)角θ計(jì)算公式見(jiàn)式（2）。

圖3 最大張應(yīng)力準(zhǔn)則示意Fig.3 Schematic diagram of maximum tensile stress criterion

最大張應(yīng)力準(zhǔn)則的基本假設(shè)如下：

綜上，通過(guò)此次PDCA循環(huán)法優(yōu)化改進(jìn)工作，我院住院藥房藥品調(diào)劑流程更加規(guī)范化，有效減少了領(lǐng)藥次數(shù)和領(lǐng)藥時(shí)間，提高了工作效率，形成了科學(xué)的管理制度和規(guī)范，最終形成長(zhǎng)效機(jī)制，實(shí)現(xiàn)了對(duì)藥品調(diào)劑流程的優(yōu)化并且達(dá)到了持續(xù)改進(jìn)的目的。

（1）裂紋沿最大周向應(yīng)力σθmax的方向開(kāi)裂；

（2）當(dāng)此方向的周向應(yīng)力到達(dá)臨界值時(shí)，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。

2.2 計(jì)算裂紋尖端局部擴(kuò)展距離

得到裂紋尖端的扭轉(zhuǎn)角后，還需確定裂紋尖端節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展距離（見(jiàn)圖2中的Δa），從而確定擴(kuò)展后裂紋尖端的位置。但裂紋尖端各個(gè)節(jié)點(diǎn)的SIF大小不一致，裂紋擴(kuò)展時(shí)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展距離也不一致，且裂紋尖端局部擴(kuò)展距離是針對(duì)一個(gè)節(jié)點(diǎn)而言，為了確定所有節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展距離，需要指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展距離，其余節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展距離根據(jù)其SIF值與指定節(jié)點(diǎn)SIF的比值大小來(lái)確定。由于裂紋兩端接近表面，局部不再保持平面應(yīng)變條件［6］，計(jì)算出的SIF精度較差，為了減小誤差，通常指定的節(jié)點(diǎn)都選取為裂紋中部且SIF值接近于平均應(yīng)力強(qiáng)度因子的節(jié)點(diǎn)，其擴(kuò)展距離為 Δamid，其余節(jié)點(diǎn)Δa由式（1）確定。

2.3 擴(kuò)展后裂紋的擬合及外伸

擴(kuò)展后的裂紋尖端由各節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展后的位置連接確定，但直接相連接會(huì)形成鋸齒形裂紋尖端（如圖2中的藍(lán)虛線所示），形成數(shù)值“噪音”，這種非光順的裂紋在下一步裂紋擴(kuò)展計(jì)算出的SIF曲線也是鋸齒形的，導(dǎo)致后續(xù)裂紋擴(kuò)展極其不穩(wěn)定。為了消除數(shù)值“噪音”的影響，需要對(duì)每一步擴(kuò)展后的裂紋尖端進(jìn)行光順化處理（如圖2中紅實(shí)線所示）。

3 裂紋擴(kuò)展增量對(duì)裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定性的影響

在指定裂紋尖端局部擴(kuò)展距離時(shí)，有以下兩種確定方法。

（1）指定載荷循環(huán)次數(shù)來(lái)推算。

根據(jù)指定的載荷循環(huán)次數(shù)來(lái)推算出裂紋擴(kuò)展距離，但指定的載荷循環(huán)次數(shù)在裂紋擴(kuò)展初期可能偏小，導(dǎo)致擴(kuò)展距離步過(guò)小，計(jì)算時(shí)間加長(zhǎng)，效率低。而對(duì)于裂紋擴(kuò)展后期而言又可能過(guò)大，裂紋擴(kuò)展過(guò)快導(dǎo)致失穩(wěn)斷裂。

（2）指定擴(kuò)展增量計(jì)算。

指定的擴(kuò)展增量若過(guò)小，裂紋擴(kuò)展過(guò)程會(huì)較為緩慢，計(jì)算時(shí)間雖然加長(zhǎng)，但裂紋前緣相對(duì)比較穩(wěn)定。若裂紋擴(kuò)展增量過(guò)大，由于裂紋兩端的SIF值精度較低，會(huì)加劇裂紋兩端與中間部分?jǐn)U展增量的差值，造成裂紋的不穩(wěn)定擴(kuò)展。

圖4 CT試樣外形尺寸參數(shù)Fig.4 Contour dimension parameter diagram of CT sample

在Hypermesh中構(gòu)建有限元網(wǎng)格模型如圖5所示，隨后導(dǎo)入Abaqus中定義載荷及約束條件，分別將上、下加載孔心與其孔表面耦合在一起，對(duì)上加載孔心施加6 kN向上的拉力，對(duì)下加載孔孔心的XYZ位移及其轉(zhuǎn)動(dòng)全部約束住。

圖5 CT試樣有限元網(wǎng)格模型Fig.5 Finite element mesh model of CT samples

材料選取為低碳鋼Q235，參考董達(dá)善［8］和趙章焰［9］等用三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)測(cè)定的Q235鋼材料的疲勞裂紋擴(kuò)展性能參數(shù)，得到材料斷裂參數(shù)C、m、應(yīng)力強(qiáng)度因子閥值ΔKth以及斷裂韌性KC如表1所示。

表1 低碳鋼Q235材料參數(shù)Table 1 Material parameters of low carbon steel Q235

在Abaqus中提交應(yīng)力分析后導(dǎo)入FRANC3D軟件中，在CT試樣缺口處預(yù)設(shè)一條長(zhǎng)8 mm的貫穿裂紋并重新繪制局部裂紋網(wǎng)格，得到如圖6所示的初始裂紋尖端應(yīng)力分布。

圖6 CT試樣初始裂紋尖端應(yīng)力分布Fig.6 Stress distribution at the initial crack tip of the CT sample

根據(jù)GB/T 6398-2017標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，設(shè)置其應(yīng)力比R=0.1，分別在0.2 mm、0.5 mm、1.0 mm、1.5 mm以及2.0 mm的裂紋擴(kuò)展增量（Δa）情況下對(duì)裂紋進(jìn)行擴(kuò)展分析，得到每種情況下的裂紋擴(kuò)展如圖7所示。

圖7 不同裂紋擴(kuò)展增量的裂紋擴(kuò)展示意Fig.7 Schematic diagram of crack growth at different crack growth increments

為了比較在不同Δa情況下的裂紋擴(kuò)展?fàn)顩r的好壞，將裂紋擴(kuò)展過(guò)程中裂紋尖端中部SIF值的穩(wěn)定性作為評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，GB/T 6398-2017標(biāo)準(zhǔn)中給出了CT試樣SIF值的計(jì)算公式［10］如式（2）所示，將其計(jì)算結(jié)果作為理論參考值。

需要注意的是，標(biāo)準(zhǔn)中公式計(jì)算出的理論SIF值代表整個(gè)裂紋尖端的值，即認(rèn)為CT試樣貫穿裂紋的裂紋尖端SIF值處處相等。而在實(shí)際仿真計(jì)算中，貫穿裂紋兩端為自由表面，靠近兩端的裂紋尖端逐漸趨向于平面應(yīng)力狀態(tài)，中間內(nèi)部裂紋處于平面應(yīng)變狀態(tài)，使得實(shí)際仿真計(jì)算出的CT試樣貫穿裂紋SIF值會(huì)出現(xiàn)兩端小、中間大的情況，長(zhǎng)8 mm的預(yù)制裂紋尖端SIF值及在Δa=2.0 mm時(shí)后續(xù)4步裂紋擴(kuò)展過(guò)程與理論參考值的比較如圖8所示。

圖8 CT試樣長(zhǎng)8 mm預(yù)制裂紋尖端SIF值及其理論參考值Fig.8 SIF value and its theoretical reference value of 8 mm prefabricated crack tip of CT sample

由圖7可知，Δa=0.2 mm、Δa=0.5 mm以及Δa=1.0 mm時(shí)，每一步擴(kuò)展擬合后的裂紋尖端形狀都比較平穩(wěn)，裂紋擴(kuò)展過(guò)程穩(wěn)定；Δa=1.5 mm以及Δa=2.0 mm時(shí)，裂紋擴(kuò)展尖端明顯趨向凸凹狀，擴(kuò)展極其不穩(wěn)定，甚至在擴(kuò)展后期由于裂紋尖端形狀異常導(dǎo)致重新引入裂紋網(wǎng)格的困難，無(wú)法進(jìn)行下一步擴(kuò)展分析，需要修正裂紋尖端的擬合形狀。由圖8可知，貫穿豎直裂紋尖端中部SIF大、兩端SIF小，導(dǎo)致在擴(kuò)展時(shí)中部擴(kuò)展距離長(zhǎng)、兩端短，形成凸?fàn)盍鸭y尖端。而凸?fàn)盍鸭y尖端兩端SIF大、中間SIF小，導(dǎo)致在擴(kuò)展時(shí)兩端距離長(zhǎng)、中間短，若擴(kuò)展增量合適，裂紋尖端會(huì)重新形成豎直貫穿裂紋（見(jiàn)圖7中Δa=1.0 mm）；若擴(kuò)展增量較大，則會(huì)形成凹狀裂紋尖端（見(jiàn)圖7中Δa=2.0 mm）。

為弱化裂紋兩端SIF值的影響，選取裂紋尖端中部計(jì)算結(jié)果為評(píng)估值，其與理論計(jì)算結(jié)果的誤差為7.59%，主要來(lái)源于標(biāo)準(zhǔn)給出的理論計(jì)算公式中假定了CT試樣為剛性體，未考慮外加載荷和邊界條件帶來(lái)的影響［11-12］。而仿真計(jì)算時(shí)為了提高計(jì)算精度，在裂紋尖端還設(shè)置了三圈奇異單元環(huán)，使得理論計(jì)算結(jié)果要小一些，與實(shí)際結(jié)果存在一定偏差。將不同擴(kuò)展增量下每一擴(kuò)展步的SIF結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖9所示。

圖9 不同擴(kuò)展增量下每一擴(kuò)展步的SIF結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果Fig.9 SIF results and theoretical calculation results of each expansion step under different expansion increments

由圖9可知，在小的裂紋擴(kuò)展增量情況下，裂紋中部尖端SIF值與理論參考值接近重合，存在一定可接受范圍內(nèi)的誤差，隨著擴(kuò)展增量的加大，尤其是在Δa=1.5 mm和Δa=2.0 mm時(shí)，裂紋擴(kuò)展變得逐漸不穩(wěn)定，呈現(xiàn)凸凹狀，且SIF值也在理論參考值附近波動(dòng)；在Δa=0.2 mm和Δa=0.5 mm時(shí)，裂紋擴(kuò)展平穩(wěn)，計(jì)算結(jié)果與理論值也相差不大；Δa=1.0 mm的裂紋擴(kuò)展后期逐漸出現(xiàn)不穩(wěn)定擴(kuò)展趨勢(shì)。為了在保證計(jì)算精度的前提下需盡可能減少計(jì)算時(shí)間，根據(jù)本文數(shù)據(jù)可知，裂紋擴(kuò)展增量Δa=0.5 mm時(shí)裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定、計(jì)算時(shí)間短并且計(jì)算精度高。本文模型的裂紋尖端單元特征尺寸為2 mm，結(jié)合管建東［12］的網(wǎng)格參數(shù)對(duì)FRANC3D軟件計(jì)算SIF精度的影響研究，裂紋擴(kuò)展增量選取為當(dāng)前裂紋尖端單元特征尺寸的15%～30%比較合適。

4 結(jié)論與展望

本文通過(guò)利用FRANC3D和Abaqus軟件聯(lián)合仿真分析了Q235鋼CT試樣在不同裂紋擴(kuò)展增量情況下的裂紋擴(kuò)展穩(wěn)定性，得出了以下結(jié)論：

（1）在實(shí)際仿真計(jì)算中，貫穿裂紋兩端為自由表面，由于靠近兩端的裂紋尖端逐漸趨向于平面應(yīng)力狀態(tài)，中間內(nèi)部裂紋處于平面應(yīng)變狀態(tài)，導(dǎo)致應(yīng)力強(qiáng)度因子SIF呈現(xiàn)中間大、兩端小的對(duì)稱分布，進(jìn)而使得裂紋擴(kuò)展時(shí)中間部分裂紋尖端擴(kuò)展距離長(zhǎng)，形成凸?fàn)盍鸭y尖端。凸?fàn)盍鸭y尖端中間SIF小、兩端大，在大的裂紋擴(kuò)展增量情況下裂紋形成凹狀裂紋尖端，凸凹交替的裂紋擴(kuò)展極其不穩(wěn)定，甚至?xí)绊懴乱粩U(kuò)展步的網(wǎng)格劃分。

（2）在進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析時(shí)，為保證計(jì)算精度和節(jié)約計(jì)算時(shí)間，并且保證裂紋擴(kuò)展的穩(wěn)定性，裂紋擴(kuò)展增量選取為當(dāng)前裂紋尖端單元特征尺寸的15%～30%比較合適。

本文研究的對(duì)象是標(biāo)準(zhǔn)拉伸試樣，裂紋為貫穿裂紋，屬于Ⅰ型裂紋擴(kuò)展，而裂紋擴(kuò)展增量對(duì)復(fù)合型裂紋擴(kuò)展結(jié)構(gòu)的影響未曾分析，還有待研究。