一種基于近場動(dòng)力學(xué)的纖維復(fù)合材料仿真加速方法研究

周 吉，錢松榮，冉 秀，徐崢勻

(1.貴州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學(xué)省部共建公共大數(shù)據(jù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，貴州 貴陽 550025)

1 引言(Introduction)

纖維復(fù)合材料因具有比重小、比強(qiáng)度高、比模量大和動(dòng)力學(xué)性能優(yōu)越等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、土木工程、海洋工程等領(lǐng)域。在以往的研究中，主要使用經(jīng)典彈性力學(xué)來描述復(fù)合材料的本構(gòu)關(guān)系，其中有限元方法應(yīng)用最為廣泛。當(dāng)SILLING博士在2000 年提出近場動(dòng)力學(xué)理論后，纖維復(fù)合材料的近場動(dòng)力學(xué)本構(gòu)模型很快建立起來。但是，在求解這種近場動(dòng)力學(xué)數(shù)值問題時(shí)需要耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)資源，耗費(fèi)時(shí)間較多，工作效率低，阻礙了近場動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用速度。

針對(duì)這一問題，本文提出一種結(jié)合經(jīng)典彈性力學(xué)解析法的近場動(dòng)力學(xué)加速方法。為了驗(yàn)證該方法的有效性，引入以迭代誤差收斂速度為標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)價(jià)方法，并設(shè)計(jì)開發(fā)相關(guān)程序。結(jié)果表明，該程序能有效模擬單層纖維度和材料受載荷位移情況；在迭代誤差收斂到 1 × 1 0mm時(shí)速度提升1倍，在精度標(biāo)準(zhǔn)要求不高時(shí)，收斂速度更明顯；另外，迭代誤差之和最大值相差近一個(gè)數(shù)量級(jí)，加速效果明顯。

2 近場動(dòng)力學(xué)理論(Peridynamics theory)

近場動(dòng)力學(xué)理論有效解決了傳統(tǒng)的局部和非局部理論在不連續(xù)問題求解上的缺陷。在近場動(dòng)力學(xué)理論公式中，使用的是位移而不是位移倒數(shù)，避免了傳統(tǒng)經(jīng)典力學(xué)理論中在求解時(shí)因局部不連續(xù)而導(dǎo)致不可微的問題。但鍵型的近場動(dòng)力學(xué)理論在求解塑性問題時(shí)會(huì)存在一定困難，為解決這個(gè)問題，SILLING提出了基于狀態(tài)的近場動(dòng)力學(xué)理論。在后續(xù)的研究中，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)近場動(dòng)力學(xué)數(shù)值求解過程非常適合使用并行化計(jì)算方法；將近場動(dòng)力學(xué)與有限元方法耦合，既發(fā)揮出有限元在計(jì)算上的速度優(yōu)勢(shì)，又應(yīng)用到近場動(dòng)力學(xué)在裂紋擴(kuò)展方面的優(yōu)勢(shì)；用熱力學(xué)與近場動(dòng)力學(xué)耦合，發(fā)現(xiàn)了近場動(dòng)力學(xué)在求解熱力學(xué)問題方面的優(yōu)勢(shì)；此外，還建立了纖維復(fù)合材料的近場動(dòng)力學(xué)模型，并有效地運(yùn)用。

圖1 物質(zhì)點(diǎn)的相互作用關(guān)系Fig.1 Interactive relations of the material points

變換之后可得：

根據(jù)式(1)進(jìn)行離散化，使用中心差分公式變化如式(6)所示：

式(1)中的表示第個(gè)物質(zhì)點(diǎn)，而表示第個(gè)時(shí)間步。中心差分公式可近似擬合積分?jǐn)?shù)值，使積分的求解變得容易。通過中心差分方法，隨著每一時(shí)間步的不斷迭代，即可求得物質(zhì)點(diǎn)的位移情況，進(jìn)而得到材料物質(zhì)點(diǎn)變形后的位置。最終，材料變形模型可通過可視化軟件展示出來。由式(6)進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)變換可得到如式(7)所示的位移求解方程：

3 纖維復(fù)合材料層合板模型(Fiber composite laminate model)

對(duì)于復(fù)合材料層合板動(dòng)力學(xué)與破壞損傷的機(jī)理研究，學(xué)者們已提出并發(fā)展了很多理論及數(shù)值計(jì)算方法，其中有限元法最為突出。最早有CHANG等提出二維的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板損傷模型，并使用該模型進(jìn)行單層板多種角度纖維的損傷模擬研究。TAN使用折減系數(shù)法對(duì)受損傷的材料剛度進(jìn)行折減，實(shí)現(xiàn)損傷函數(shù)的作用，達(dá)到復(fù)合材料漸近損傷過程的數(shù)值模擬效果。在基于近場動(dòng)力學(xué)的復(fù)合材料的力學(xué)性能模擬中，不僅在斷裂損傷方面的研究發(fā)展迅速，靜態(tài)分析方向的研究也快速發(fā)展。復(fù)合材料層合板模型由多層單層板黏合而成，如圖2所示。

圖2 復(fù)合材料層合板模型Fig.2 Composite laminates model

在大多數(shù)情況下，單層復(fù)合材料不單層使用，而作為層合板材料的基本單元，每一層單層板都有各自的材料屬性和厚度。單層板通常是正交各向異性的，在經(jīng)典復(fù)合材料力學(xué)中正交各向異性復(fù)合材料單層板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由剛度矩陣表示，如式(8)所示：

其中，為縱向剛度，為橫向剛度，為耦合影響剛度，而則表示剪切模量。在式(9)中列出工程彈性系數(shù)如下：

其值大小與縱向彈性模量、橫向彈性模量、泊松比和面內(nèi)剪切模量有關(guān)。其中：

復(fù)合材料的鍵型近場動(dòng)力學(xué)本構(gòu)方程如式(11)所示，是關(guān)于纖維方向的函數(shù)。與各向同性材料不同，式(5)中的微模量不再是一個(gè)固定的與彈性模量有關(guān)的固定值，這里= 4(+μ b)。通過改變式(3)中的參數(shù)即可得到如式(11)所示的本構(gòu)模型：

4 數(shù)值計(jì)算加速方法與仿真分析(Acceleration method of numerical calculation and simulation analysis)

4.1 加速方法與評(píng)價(jià)方法

在進(jìn)行復(fù)合材料單層板的數(shù)值仿真過程中，計(jì)算速度對(duì)計(jì)算機(jī)性能的要求較高，計(jì)算效率低，為了解決這個(gè)問題，提出一種先進(jìn)行解析法求解，后進(jìn)行近場動(dòng)力學(xué)計(jì)算實(shí)現(xiàn)微調(diào)的方法。解析法的物質(zhì)點(diǎn)初始分布位置如式(13)所示，公式中的 u與公式(7)中的值一樣，表示第個(gè)物質(zhì)點(diǎn)的位移量，僅軸方向有初始位移。

4.2 程序?qū)崿F(xiàn)

圖3 求解程序設(shè)計(jì)流程圖Fig.3 Flow chart of solution programming design

4.3 基體材料的準(zhǔn)靜態(tài)問題求解

圖4 基體材料仿真模型與結(jié)果Fig.4 Matrix material simulation model and results

4.4 復(fù)合材料的準(zhǔn)靜態(tài)問題求解

復(fù)合材料單層板的材料參數(shù)來自文獻(xiàn)[13]，纖維方向即縱向彈性模量= 142.1GPa,橫向彈性模量= 8.73GPa,密度= 1,580kg/m，泊松比= 0.33，面內(nèi)剪切模量= 4.49GPa。實(shí)現(xiàn)單一變量受力加載情況與基體材料一樣，如圖5(a)所示。

對(duì)于單層復(fù)合材料，當(dāng)達(dá)到第7,000時(shí)間步時(shí)，即= 0.7μs時(shí)，所有物質(zhì)點(diǎn)的迭代收斂誤差和為 3.2161 ×10，此時(shí)各向同性的基體材料的位移分布情況如圖5(b)所示。在結(jié)果中可以看出，單一材料的物質(zhì)點(diǎn)沿軸方向呈線性分布，而復(fù)合材料的物質(zhì)點(diǎn)呈非線性分布。

圖5 復(fù)合材料單層板仿真模型與結(jié)果Fig.5 Composite laminates simulation model and results

4.5 加速效果分析

分別對(duì)纖維角度為0°、30°、45°、60°和90°的單層板模型進(jìn)行計(jì)算分析，從0時(shí)間步到6,000時(shí)間步的誤差曲線如圖6所示。由于-60°、-45°、-30°分別與60°、45°、30°的迭代誤差曲線相似，這里不再列出-60°、-45°和-30°的曲線圖。

如圖6(a)所示，0°纖維方向在1,500時(shí)間步，加速后的迭代誤差逐漸平穩(wěn)，未加速計(jì)算模型的迭代誤差在3,000時(shí)間步后才逐漸穩(wěn)定，計(jì)算效率加快1倍。通過觀察發(fā)現(xiàn)，各種角度的迭代誤差加速效果非常明顯，最大值之差為9×10；另一方面，90°纖維的單層板迭代誤差曲線較其他角度波動(dòng)劇烈，這是因?yàn)楫?dāng)纖維角度為90°時(shí)，受力方向的鍵主要為基體鍵，而基體鍵的彈性模量較小，導(dǎo)致式(5)中的微模量變小，引起式(3)中的近場力變小，加速度變小，對(duì)阻尼的影響變小。為了展示不同角度纖維方向在不同時(shí)間步的變化效果，列出從1,000時(shí)間步到6,000時(shí)間步的誤差值，如表1所示，間隔為1,000時(shí)間步?？梢钥闯?，當(dāng)1,000時(shí)間步時(shí)迭代誤差的大小相差一個(gè)數(shù)量級(jí)，隨著時(shí)間步的不斷增加，逐漸收斂。

圖6 不同纖維方向單層復(fù)合材料迭代誤差收斂曲線圖Fig.6 Iterative error convergence curves of single-layer composites with different fiber directions

表1 不同纖維方向單層板各時(shí)間步迭代誤差Tab.1 Iterative error of each time step of single-layer plate with different fiber directions

(續(xù)表)

5 結(jié)論(Conclusion)

本文提出一種基于近場動(dòng)力學(xué)的纖維復(fù)合材料仿真加速方法，在數(shù)值理論的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)開發(fā)仿真程序，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的可視化，引入迭代誤差收斂速率來評(píng)價(jià)該方法的有效性。通過4.4部分的計(jì)算模型，驗(yàn)證了本文的仿真程序能有效模擬單層纖維復(fù)合材料的位移，與各向同性的基體材料的位移結(jié)果不同，纖維復(fù)合材料的位移結(jié)果是非線性的。在4.5部分，對(duì)0°、30°、45°、60°和90°的復(fù)合材料單層板進(jìn)行有效性分析，已展示出迭代誤差收斂曲線圖。結(jié)果表明，在迭代誤差收斂達(dá)到 1 × 1 0mm時(shí)速度提升1倍，在精度標(biāo)準(zhǔn)要求不高時(shí)，迭代收斂速度提升更為明顯。同時(shí)，列出0°、30°、45°、60°、90°、-30°、-45°和-60°的復(fù)合材料單層板分別在1,000、2,000、3,000、4,000、5,000和6,000時(shí)間步的迭代誤差之和的值，結(jié)果表明，迭代誤差最大值相差近一個(gè)數(shù)量級(jí)，加速效果明顯。但此加速方法目前僅適用于準(zhǔn)靜態(tài)或靜態(tài)問題求解，在動(dòng)態(tài)問題求解方面的適用性還有待驗(yàn)證。綜合分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，針對(duì)單層纖維復(fù)合材料求解準(zhǔn)靜態(tài)問題的加速方法是有效的。