電靜液作動(dòng)器自調(diào)節(jié)積分魯棒運(yùn)動(dòng)控制*

姚建勇，張連仲，王 拓，鄧文翔，楊曉偉，梁相龍

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院· 南京·210094；2.江蘇自動(dòng)化研究所· 連云港·222006)

0 引 言

近幾十年來，閥控液壓系統(tǒng)由于功率密度大、快速、精確反應(yīng)等優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于重型工業(yè)領(lǐng)域。然而，閥控液壓系統(tǒng)存在節(jié)流、溢流、卸荷損耗、功率效率低等缺點(diǎn)。此外，大部分閥控系統(tǒng)采用開式回路，不僅對液壓油需求量大，還易造成環(huán)境污染。雖然電靜液作動(dòng)器的控制性能不如閥控系統(tǒng)，但是它具有體積小、無污染、效率高等優(yōu)勢，因此被廣泛應(yīng)用于大型飛機(jī)等場合。隨著未來飛機(jī)向高速化、高壓化、快速響應(yīng)等方向發(fā)展，為滿足航空工業(yè)對控制性能日益增長的需求，針對電靜液作動(dòng)器設(shè)計(jì)高性能控制方法很有必要。

自20世紀(jì)80年代以來，有關(guān)電液伺服系統(tǒng)的許多控制策略陸續(xù)被提出。自適應(yīng)控制方法是處理參數(shù)不確定性問題的一種行之有效的方法。然而，自適應(yīng)控制幾乎沒有處理外干擾的能力，例如外部載荷干擾。實(shí)際的液壓系統(tǒng)中總是存在著外干擾，所以自適應(yīng)控制在實(shí)際液壓系統(tǒng)中很難實(shí)現(xiàn)高性能控制。作為魯棒控制方法之一的滑?？刂?，可以有效地處理任何有界的模型不確定性并達(dá)到漸近穩(wěn)定的跟蹤性能。但是滑模控制也存在一些缺點(diǎn)：設(shè)計(jì)的滑?？刂破魇遣贿B續(xù)的，這在實(shí)際應(yīng)用中會導(dǎo)致控制抖動(dòng)問題，高頻的抖動(dòng)可能會激勵(lì)被忽略的系統(tǒng)高頻動(dòng)態(tài)，進(jìn)而引起共振或者加速機(jī)器磨損，惡化控制性能。為了同時(shí)處理參數(shù)不確定性和不確定非線性，Yao B.等提出了自適應(yīng)魯棒控制，該方法可保證系統(tǒng)的暫態(tài)性能和瞬態(tài)性能。為了達(dá)到高精度的控制性能，自適應(yīng)魯棒控制往往需要較高的反饋增益。然而，過大的反饋增益會增大系統(tǒng)帶寬，從而激發(fā)系統(tǒng)的高頻動(dòng)態(tài)，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。Yao J.等提出了帶有擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)魯棒控制策略。擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可以估計(jì)參數(shù)不確定性和外干擾，為控制器提供補(bǔ)償，不過這種策略僅能保證系統(tǒng)的跟蹤誤差有界。為了進(jìn)一步提高控制精度，Xian B.等提出了誤差符號積分魯棒控制策略，但是這種控制器的非線性魯棒增益與系統(tǒng)建模不確定性的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)。此外，該控制器的積分魯棒項(xiàng)的符號誤差增益必須盡可能大，以獲得更好的精度。但是由于測量噪聲的存在，增益過大容易造成高增益反饋，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)，所以需要多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)以獲得合適的增益值，所以傳統(tǒng)的誤差符號積分魯棒控制方法具有很大的工程局限性。R.Hippalgaonkar等提出了一種用于液壓混合執(zhí)行器的最優(yōu)監(jiān)控策略，但是該方法主要從節(jié)能方面考慮，控制精度不高。H.T.Seo等針對電靜液作動(dòng)器提出了基于前饋補(bǔ)償和擾動(dòng)觀測器的復(fù)合控制，但是該方法將系統(tǒng)的非線性模型過于簡化，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果有待改進(jìn)。

基于上述內(nèi)容，本文針對電靜液作動(dòng)器設(shè)計(jì)了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自調(diào)節(jié)積分魯棒控制器。本文與傳統(tǒng)的積分魯棒控制器相比，主要的改進(jìn)點(diǎn)如下：

1)自調(diào)節(jié)積分魯棒控制器融合了自適應(yīng)控制的思想，有效地解決了符號函數(shù)增益調(diào)節(jié)的隨機(jī)性、保守性、局限性以及潛在的高增益反饋的問題。當(dāng)外干擾增加時(shí)，在自調(diào)節(jié)增益律的作用下，增益的估計(jì)值會相應(yīng)地增加，以增強(qiáng)非線性魯棒項(xiàng)對干擾的魯棒性。

2)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可以估計(jì)干擾并進(jìn)行前饋補(bǔ)償，有效地避免了高反饋增益。

1 電靜液作動(dòng)器的數(shù)學(xué)模型

本文研究的電靜液作動(dòng)器系統(tǒng)如圖1所示，主要包括液壓缸(1)、溢流閥(2，3)、單向閥(4，5)、蓄能器(6)、雙向柱塞泵(7)、伺服電機(jī)(8)和內(nèi)部油路管道。

圖1 電靜液作動(dòng)器示意圖Fig.1 Schematic diagram of EHA

考慮到電靜液作動(dòng)器中的永磁同步伺服電機(jī)的頻寬遠(yuǎn)高于整個(gè)電液伺服系統(tǒng)的頻寬，因此可將伺服電機(jī)動(dòng)態(tài)簡化為比例環(huán)節(jié)，即

=

(1)

式中，是角速度增益；是控制輸入；是電機(jī)角速度。

慣性載荷的動(dòng)態(tài)特性可以描述為

(2)

考慮液壓缸的泄漏，建立液壓缸的兩腔壓力動(dòng)態(tài)方程如下

(3)

式中，=+和=-代表系統(tǒng)兩腔的體積，其中和代表系統(tǒng)兩腔的初始容積；是液壓油有效彈性模量；是內(nèi)泄漏系數(shù)；是液壓泵進(jìn)入液壓缸左腔的流量，是液壓泵流出右腔的流量；()和()是流量建模誤差。

考慮液壓泵的流量脈動(dòng)以及內(nèi)部壓差造成的泄漏，建立液壓泵流量方程如下

==-+

(4)

式中，是液壓泵的排量；是液壓泵的內(nèi)泄露系數(shù)；是液壓缸兩腔的壓差；是未建模誤差。

(5)

式中,()=-()；()=(1+1)+(+)。

2 自調(diào)節(jié)積分魯棒控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)模型與問題描述

定義系統(tǒng)參數(shù)向量=[,,,]=[,,,+]。因此，式(5)可以轉(zhuǎn)化為

(6)

式中，()=(1+1)；()=(1+1)；()=(1+1)。

控制目標(biāo)：設(shè)計(jì)有界的控制輸入，使得盡可能準(zhǔn)確地跟蹤期望運(yùn)動(dòng)軌跡()。

為了方便后續(xù)控制器設(shè)計(jì)，作如下假設(shè)：

假設(shè)1：期望位置軌跡及其一階、二階導(dǎo)數(shù)均有界；

假設(shè)2：干擾()和()足夠光滑，滿足如下條件：

(7)

式中，、、、為未知的正數(shù)。

注：假設(shè)2在傳統(tǒng)的誤差符號積分魯棒控制器設(shè)計(jì)中很常見。然而，在傳統(tǒng)的誤差符號積分魯棒控制器設(shè)計(jì)中，需要、、和的值進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析。這個(gè)先決條件可能對所研究的非線性系統(tǒng)施加很大的限制，不適用于實(shí)際的物理系統(tǒng)。而本文中僅需要()和()有界即可，極大減弱了傳統(tǒng)誤差符號積分魯棒控制器設(shè)計(jì)過程中假設(shè)的限制程度。

2.2 觀測器設(shè)計(jì)

定義為的擴(kuò)張狀態(tài)變量，即=()，且定義其導(dǎo)數(shù)為()。設(shè)計(jì)如下擴(kuò)張狀態(tài)觀測器以觀測系統(tǒng)第三通道的匹配干擾

(8)

由式(8)，干擾觀測誤差動(dòng)態(tài)方程可得

(9)

(10)

式中，為赫爾維茨矩陣，=[0,1]，且存在一個(gè)正定陣滿足如下方程

+=-

(11)

式中，為單位矩陣。

引理1：狀態(tài)估計(jì)誤差總是有界的，且任意時(shí)間后該界的大小隨著觀測器帶寬的增大而減小。此外，存在常值滿足以下條件

(12)

證明：定義李雅普諾夫函數(shù)

=

(13)

則關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

≤-+

(14)

由式(14)可得

(15)

則

(16)

式中，min()是的最小特征值。

由式(10)得

(17)

并且有

(18)

則

(19)

(20)

2.3 控制器設(shè)計(jì)

步驟一：定義如下誤差變量

(21)

式中，=-是位置跟蹤誤差；和是正的反饋增益；是的虛擬控制律。

由式(6)和式(21)可得

()+

(22)

設(shè)計(jì)虛擬控制律為

(23)

式中，是正反饋增益。

定義=-，將式(23)代入式(22)可得

=-++()

(24)

式中，為正的反饋增益。

設(shè)計(jì)自調(diào)節(jié)積分魯棒控制律為

(25)

(26)

根據(jù)式(24)，可得()的動(dòng)態(tài)方程

(27)

(28)

由于()是不可測得的信號，因此自調(diào)節(jié)率的等價(jià)形式如下

(29)

式中，是可調(diào)的正的自調(diào)節(jié)律增益。

步驟二：定義輔助變量

(30)

由式(6)和式(30)，可將()寫為

(31)

式中，是正的反饋增益。

由式(31)，可設(shè)計(jì)最終的控制器為

(32)

(33)

()關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為

(34)

(35)

式中，是可調(diào)的正的自調(diào)節(jié)律增益。

2.4 穩(wěn)定性分析

引理2：定義輔助函數(shù)如下

(36)

(37)

當(dāng)式(26)和式(33)成立時(shí)，函數(shù)()和()總是正定的。

定理1：選擇增益值和滿足條件(26)和(33)，且選擇足夠大的反饋增益、、、、使得矩陣為正定矩陣

(38)

則式(32)中的控制輸入可以保證閉環(huán)控制器中所有信號都是有界的，并且可以獲得漸近跟蹤性能，即當(dāng)→∞時(shí)，→0。

證明：定義如下李雅普諾夫函數(shù)

(39)

由式(21)、式(27)、式(28)、式(30)、式(34)～式(37)，可得關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

=-

(40)

式中，=[,,,,]。

通過調(diào)整參數(shù)、、、、可使矩陣為正定，則有

=-≤0

(41)

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

仿真驗(yàn)證時(shí)選擇連續(xù)的近似庫侖摩擦函數(shù)為

(42)

電液伺服系統(tǒng)參數(shù)選擇如表1所示。

表1 電液伺服系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Electro-hydraulic servo system parameters

為了驗(yàn)證所提控制策略的有效性，本文選擇如下三種控制器進(jìn)行對比分析。

2)自調(diào)節(jié)積分魯棒控制器(Adjustable Robust Integral of the Sign of the Error Controller，ARISE)：該控制器與ARISEESO相比，不帶干擾補(bǔ)償。其控制律為

(43)

為了觀察不同自調(diào)節(jié)增益對控制性能的影響，選擇三組自調(diào)節(jié)增益=100、=10，=800、=40，=1500、=100。為了確保對比公平，該控制器的其他參數(shù)與ARISEESO參數(shù)保持一致。

3)比例-積分-微分(PID)控制器：PID控制器是工業(yè)中最常用的控制器，通過試錯(cuò)法確定其控制器增益為：=2000，=500，=0。

圖2 不同自調(diào)節(jié)增益對應(yīng)的跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors corresponding to different adjustable gain

(a)β1的估計(jì)值

圖4 ARISEESO控制器的期望軌跡跟蹤Fig.4 Desired trajectory tracking of ARISEESO controller

(a)PID控制器

(a)干擾d2及其估計(jì)值

圖7 ARISEESO控制器的控制輸入Fig.7 Control input of the ARISEESO controller

(a)β1的估計(jì)值

4 結(jié) 論

本文針對電靜液作動(dòng)器高精度運(yùn)動(dòng)控制，設(shè)計(jì)了一種基于擴(kuò)張觀測器的自調(diào)節(jié)積分魯棒控制器。該控制器的主要特點(diǎn)是針對各種建模不確定性可以實(shí)現(xiàn)漸近輸出跟蹤性能，同時(shí)避免了高增益反饋。通過仿真驗(yàn)證了算法的有效性，結(jié)果表明：相較于傳統(tǒng)的PID控制器，該控制器的跟蹤誤差約為0.2mm，控制精度達(dá)到0.4%左右。