由幾個(gè)錯(cuò)誤看懂初中幾何解題

黃志強(qiáng)

摘要：學(xué)生的常見錯(cuò)誤有以下幾個(gè)，一是對條件的分析不全面，二是不善于從全局出發(fā)處理?xiàng)l件，三是錯(cuò)用濫用三角形全等。分析幾何題主要有兩種方法：綜合法，分析法。

關(guān)鍵詞：條件分析;綜合法;分析法

筆者執(zhí)教初三數(shù)學(xué)也有好幾年，久而久之也就明白了學(xué)生在解題方面有哪些困惑，讓我印象最深的是學(xué)生對幾何題的一籌莫展。有些同學(xué)由于學(xué)習(xí)不得法，甚至有放棄學(xué)習(xí)幾何的念頭，有些同學(xué)雖然能學(xué)得下去，但在解題時(shí)往往抓不住解題思路，胡寫亂寫。針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，我總結(jié)了一套幾何題的解題策略?，F(xiàn)對學(xué)生學(xué)習(xí)幾何出現(xiàn)的問題進(jìn)行分析并提出解題策略，希望能有拋磚引玉的作用。

一、學(xué)生常出現(xiàn)的幾個(gè)錯(cuò)誤

案例分析：學(xué)生對條件逐個(gè)分析，是很多學(xué)生的選擇的方法，這里學(xué)生由第一個(gè)和第二個(gè)條件得出了DA=DC這一個(gè)關(guān)鍵結(jié)果，但是離證明四邊形AECD是菱形還差一步，就是證出四邊形AECD是平行四邊形。其實(shí)學(xué)生在處理?xiàng)l件是應(yīng)該統(tǒng)觀全局，在解題之前應(yīng)該先把題目全部看完，不要著急分析第一個(gè)條件，應(yīng)該在看完題目后觀察哪些條件可以聯(lián)合分析。比如在這道題中，可以先將AB∥DC， CE∥AD這兩個(gè)條件聯(lián)立分析，即可得出四邊形AECD是平行四邊形。

（三）錯(cuò)用濫用三角形全等

案例三：如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作AC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F。求證：四邊形AEDF是菱形。

學(xué)生解答：

∵DE∥AC

∴∠EDA=∠FAD

∵DF∥AB

∴∠EAD=∠FDA

∵AD=AD

∴△ADE≌△ADF

∴AE=AF

案例分析：在這道題中，學(xué)生試圖通過三角形全等證明AE=AF，但是AE與AF并不是對應(yīng)邊，所以AE≠AF，除了此處錯(cuò)誤，學(xué)生還存在忽略條件的情況，忽略了AD是△ABC的角平分線，由這個(gè)條件，可得∠EAD=∠FAD，結(jié)合學(xué)生前面得到的∠EDA=∠FAD，可得∠EAD=∠EDA，則AE=DE，再通過DE∥AC，DF∥AB可以證出四邊形AEDF是平行四邊形，又由AE=DE即可得出平行四邊形AEDF是菱形。在這道題中，反映了學(xué)生在證等邊時(shí)過于依賴三角形全等這一知識點(diǎn)，其實(shí)證明兩條線段相等除了可以用三角形全等的性質(zhì)，還可以用線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等。

二、幾何題常見解題策略

不可否認(rèn)，幾何證明題是初中難度比較大的一種題型，其沒有一個(gè)固定的公式，題目也千變?nèi)f化，解法更是多種多樣，但是萬變不離其宗，以上學(xué)生出現(xiàn)的問題主要是對題目的分析不得法，分析幾何題主要有兩種方法和一個(gè)重要習(xí)慣。

（一）綜合法

從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題解決。

案例：如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：OE=OF.（圖中∠1指∠EAO，∠2指∠FCO）

（綜合法）分析過程：

綜合法是學(xué)生比較常用的一種幾何題分析方法，但是在使用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)，一是注意結(jié)論有效性。在這道題目中，ABCD可以推出很多結(jié)論，比如對邊相等且平行，對角相等，對角線互相平分等，但在后續(xù)的分析中可以發(fā)現(xiàn)，對角相等和對邊相等對解題并沒有作用，應(yīng)該舍棄這兩個(gè)結(jié)論。二是注意多級推導(dǎo)，比如從ABCD用這個(gè)條件分析到對邊平行，還應(yīng)由對邊平行分析到內(nèi)錯(cuò)角相等。三是注意條件的全局處理。如在案例三中，應(yīng)該先將多個(gè)條件聯(lián)合分析排在優(yōu)先位置。

（二）分析法

分析法就是從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止。可見分析法實(shí)際上是運(yùn)用逆向思維的過程。

所謂的逆向思維，其實(shí)就是指人們在看待問題時(shí)，從與常規(guī)思維相反的角度進(jìn)行思考和分析，從而找到問題解決的途徑，逆向思維模式可以很好地幫助學(xué)生打破原本傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思維模式的局限。

案例（同上）：如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：OE=OF.（圖中∠1指∠EAO，∠2指∠FCO）

（分析法）分析過程：

在這道題目中，我們要證明的結(jié)論是OE=OF，觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)OE和OF分別是△AOE和△COF中的兩條邊，因此我們聯(lián)想到證明這兩個(gè)三角形全等，再通過分析題目條件，可以由ABCD提供AO=CO，AD//BC。其中AD//BC可以推出∠EAO=∠FCO，

再由∠AOE=∠COF，完全可以得到△AOE和△COF全等。至此，思路已經(jīng)出來了。

分析法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它從結(jié)果出發(fā)，尋找使結(jié)果成立的條件，在解題中往往比綜合法更快捷，更有針對性。分析好之后還是要用綜合法的形式寫出過程。

（三）解題習(xí)慣

現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在解幾何題時(shí)會立刻寫解題過程，并沒有認(rèn)真看完整道題，也沒有畫出思路圖。學(xué)生在讀題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)的每個(gè)條件要在所給的圖形中標(biāo)記出來。如給出對邊相等，就用邊相等的符號來表示。有一些隱含的條件更加要標(biāo)示出來，如對頂角相等。除此之外是要牢記題目給出的條件。題目的條件不僅要標(biāo)記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目復(fù)述出來。

尋找?guī)缀晤}的解題思路既可以用綜合法也可以用分析法，有時(shí)可能要兩種方法同時(shí)使用，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，而且要有作標(biāo)記的良好習(xí)慣。學(xué)生要學(xué)好幾何，不能一蹴而就，要大膽去練，去分析，去總結(jié)，讓自己對兩種方法能夠應(yīng)用自如，學(xué)幾何也就會變成一件有趣的事情了。

參考文獻(xiàn)：

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