基于高斯-多項(xiàng)式擬合的FBG解調(diào)

鄧文舫

（安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院 安徽省淮南市 232001）

在進(jìn)行礦山鉆井等工程活動(dòng)時(shí)，需要對(duì)地下水的溫度和壓力進(jìn)行監(jiān)測(cè)以保證工程安全。針對(duì)這一特殊應(yīng)用場(chǎng)景和復(fù)雜的環(huán)境，傳統(tǒng)電學(xué)傳感器易受到干擾不能正常工作。而光纖布拉格光柵(FBG)傳感器能夠在各種復(fù)雜的電磁環(huán)境下正常工作，且具有精度高、靈敏度高、體積小易于復(fù)用的優(yōu)點(diǎn)，還可以組成傳感網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。

FBG 通過(guò)對(duì)入射和反射光的中心波長(zhǎng)位置進(jìn)行比較，將監(jiān)測(cè)的物理量用偏移量大小來(lái)進(jìn)行反映，因此需要針對(duì)傳感器設(shè)計(jì)并搭建相應(yīng)的解調(diào)系統(tǒng)，進(jìn)行波長(zhǎng)解調(diào)找出中心波長(zhǎng)的位置，再通過(guò)中心波長(zhǎng)偏移量與溫度和壓力的關(guān)系得出物理量的值[1-3]。同時(shí)目前波長(zhǎng)解調(diào)的主流方案為非平衡M-Z干涉法[4]、光源波長(zhǎng)掃描法[5]、CCD 分光儀法[6]等，而可調(diào)諧激光法[7]相較于前幾種方案結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)且解調(diào)精度高，穩(wěn)定性好。

解調(diào)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵一方面在于設(shè)計(jì)出高精度、高速度的算法進(jìn)行光的波形曲線擬合，另一方面在于得出偏移量和物理量之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)由光信號(hào)到物理信息的直觀體現(xiàn)。目前常用的解調(diào)系統(tǒng)尋峰算法為一般包括了直接比較法[8]、中心法[9]、高斯擬合法[10]、多項(xiàng)式擬合法[11]等。尋峰算法能直接影響FBG 的解調(diào)速度和精度，為此首先研究了幾種解調(diào)算法的特點(diǎn)，并進(jìn)行了模擬和仿真分析。對(duì)各個(gè)算法進(jìn)行了原理闡述，而后將兩種算法相結(jié)合的方式設(shè)計(jì)了一種新的算法。

基于可調(diào)諧激光器的波長(zhǎng)解調(diào)方案，采用FPGA 進(jìn)行主要的運(yùn)算和控制步驟完成尋峰算法的計(jì)算和分析進(jìn)行仿真模擬并在搭建的系統(tǒng)平臺(tái)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)論證和測(cè)量，以及數(shù)據(jù)文本的導(dǎo)出，實(shí)現(xiàn)了針對(duì)FBG 的高精度的快速實(shí)時(shí)解調(diào)。

1 解調(diào)原理

基于可調(diào)諧激光器的解調(diào)系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要分為電路和光路兩個(gè)部分，其中光路部分按著光信號(hào)的傳播依次為激光器、分光器、耦合器、傳感器、光電轉(zhuǎn)換器，電路部分主要包括光電轉(zhuǎn)換、AD 轉(zhuǎn)換、算法處理和控制以及光源的驅(qū)動(dòng)，其中的控制處理部分采用的FPGA 作為主控制器。在工作時(shí)激光器按一定輸出一定間隔（設(shè)定間隔為20 pm）輸出波長(zhǎng)不同的光波，然后經(jīng)過(guò)AD 轉(zhuǎn)換后的采樣數(shù)據(jù)繪制成為散點(diǎn)圖，再對(duì)這個(gè)散點(diǎn)圖進(jìn)行曲線擬合，并使用尋峰算法實(shí)現(xiàn)波長(zhǎng)解調(diào)。

圖1：解調(diào)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

1.1 FBG的工作原理

光纖布拉格光柵的反射條件為[12]：

公式（1）中的各項(xiàng)參數(shù)代表光反射的布拉格條件，其中Λ 為光柵的柵格周期，λB為中心波長(zhǎng)，ne為有效折射率。對(duì)公式（1）微分可得：

公式（2）中，ΔλB表示中心波長(zhǎng)的偏移量；Δne表示光柵折射率的變化量，ΔΛ 表示柵格周期的變化量。外界物理參數(shù)值的大小發(fā)生變化會(huì)使其柵格周期和有效折射率變化，從而導(dǎo)致ΔλB也發(fā)生變化，對(duì)這個(gè)偏移量的大小計(jì)算后，就可以測(cè)出溫度和壓力。

溫度對(duì)柵格周期和有效折射率的關(guān)系表示為：

公式（3）中ΔT為外界溫度的改變量；αΛ為光纖的線性熱膨脹系數(shù)，為熱光系數(shù)，它們可視作常數(shù)。將式（3）帶入式（2）中變換，可得溫度系數(shù)：

公式（4）中，KT表示靈敏系數(shù)，這也表示中心波長(zhǎng)的偏移量與溫度的變換存在線性關(guān)系。

應(yīng)力對(duì)FBG 的柵格周期和有效折射率的影響表示為：

公式（5）中，P代表彈光系數(shù)、b 為系數(shù)，ε為軸向應(yīng)變。所受壓力和波長(zhǎng)偏移量的關(guān)系為：

同時(shí)，在溫壓監(jiān)測(cè)中，還需要設(shè)置溫度和壓力補(bǔ)償，調(diào)節(jié)溫度和壓力的零點(diǎn)，避免相互干擾。對(duì)反射波長(zhǎng)變換的計(jì)算，就可以進(jìn)行針對(duì)光波長(zhǎng)與溫度和壓力的標(biāo)定，將波長(zhǎng)的偏移量轉(zhuǎn)化為溫度和壓力進(jìn)行顯示。

1.2 尋峰算法

反射光譜經(jīng)過(guò)光電轉(zhuǎn)換和AD 轉(zhuǎn)換后，得到了采集數(shù)據(jù)，需要采用尋峰算法進(jìn)行曲線擬合并進(jìn)行中心波長(zhǎng)位置鎖定，對(duì)幾種算法原理介紹和分析后，為提高擬合精度，采用高斯多項(xiàng)式擬合算法。

1.2.1 直接比較法

直接比較法是利用前差公式或后差公式[13]，在進(jìn)行作差并和一階微分后找出零點(diǎn)位置，并將其作為峰值，這一過(guò)程中是粗略的將最大點(diǎn)作為峰值。在實(shí)際應(yīng)用中，由于采集到的散點(diǎn)圖一般為多峰圖，即存在多個(gè)零點(diǎn)微分值，且由于實(shí)際中可能出現(xiàn)的信號(hào)干擾會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)讀取不完整。因此實(shí)際應(yīng)用中，這種算法精度低。

1.2.2 高斯擬合。

反射光譜接近高斯函數(shù)圖象[14]，因此可以將采集結(jié)果先進(jìn)行高斯擬合，擬合為原始波形曲線。其中高斯函數(shù)的表達(dá)式為：

公式（7）中，a表示函數(shù)的幅值，b為常數(shù)，c表示函數(shù)的峰值位置的橫坐標(biāo)，δ表示函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差即函數(shù)圖形寬度。采樣序列為采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，則誤差函數(shù)為誤差平方和為：

最后令誤差和平方取最小值得xi值為峰值，即可得出其橫坐標(biāo)值。

1.2.3 多項(xiàng)式擬合

多項(xiàng)式擬合法是指在經(jīng)過(guò)閾值限定后，利用最小二乘法原理對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，不斷地迭代迫近，使得平方差和達(dá)到最小值，直至得到還原度最高的波形曲線[15]。光纖光柵的反射光譜可以根據(jù)這個(gè)方法擬合得到較高精度的函數(shù)曲線，進(jìn)行峰值計(jì)算后即可得到最終結(jié)果。

多項(xiàng)式的表達(dá)式為：

光譜擬合函數(shù)為二次多項(xiàng)式可表示為：

設(shè)定采樣點(diǎn)為：，則采集數(shù)據(jù)曲線和擬合曲線的誤差平方和為：

同理，在進(jìn)行微分得到最小值后，即可得出二次項(xiàng)式的系數(shù)，繼而通過(guò)計(jì)算得到中心波長(zhǎng)。

1.2.4 高斯-多項(xiàng)式擬合

髙斯擬合和多項(xiàng)式算法同時(shí)分析，形成一個(gè)新的尋峰算法高斯多項(xiàng)式擬合算法，F(xiàn)BG 的反射光譜曲線用高斯函數(shù)進(jìn)行擬合后，則可以進(jìn)行對(duì)數(shù)變換將其表達(dá)式改寫(xiě)為二次項(xiàng)形式，按照上文中多項(xiàng)式擬合的方法進(jìn)行系數(shù)計(jì)算，再進(jìn)行對(duì)數(shù)的反變換，就可以得到高精度擬合結(jié)果。

2 FPGA實(shí)現(xiàn)

光纖光柵解調(diào)的性能需求為：解調(diào)范圍為1525 nm-1565 nm；解調(diào)速率為1 kHz；解調(diào)穩(wěn)定性為正負(fù)1 pm。針對(duì)這種場(chǎng)景下精度、速度以及準(zhǔn)確度要求比較高的需求，采用FPGA 進(jìn)行控制處理和算法實(shí)現(xiàn)，可以在保證精度的前提下加快運(yùn)行速度，采用的FPGA 芯片為Cyclone IV 系列的EP4CE10F17C8。

算法的流程設(shè)計(jì)框圖如圖2所示，數(shù)據(jù)輸入之后對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行閾值過(guò)濾后調(diào)用FPGA 內(nèi)部的乘法器、加法器等實(shí)現(xiàn)高斯擬合算法，對(duì)輸入曲線進(jìn)行擬合，然后使用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。

圖2：尋峰算法運(yùn)行流程圖

FPGA 的運(yùn)行需要使用Verilog 語(yǔ)言在Quartus II 13.1 平臺(tái)上進(jìn)行開(kāi)發(fā)，F(xiàn)PGA 的運(yùn)行是按相關(guān)模塊運(yùn)行的，包括了時(shí)序控制模塊、AD 模塊、數(shù)據(jù)緩存模塊、運(yùn)算處理模塊以及通信模塊。其中時(shí)序控制模塊的作用是為各個(gè)模塊提供適合的時(shí)鐘信號(hào)，為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，采用的方案是調(diào)用QuartusII上名為ALTPLL 的IP 核，通過(guò)分頻和倍頻等方式產(chǎn)生相應(yīng)的時(shí)序信號(hào)。

采用的AD 采集芯片為AD9225，F(xiàn)PGA 給定AD9225芯片一個(gè)輸入時(shí)鐘后，在觸發(fā)開(kāi)始后接收到脈沖信號(hào)，將每個(gè)周期采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理并存入到儲(chǔ)存模塊，然后合并轉(zhuǎn)換為輸出結(jié)果。其中輸入的時(shí)鐘設(shè)定為10 MHz，在FPGA 系統(tǒng)復(fù)位后經(jīng)過(guò)8 個(gè)時(shí)鐘延時(shí)后就可以讀取到采集結(jié)果。

在經(jīng)過(guò)AD 采集后的數(shù)據(jù)存入到數(shù)據(jù)緩存模塊RAM 中，RAM 是QuartusII 上調(diào)用的IP 核，對(duì)這些緩存的數(shù)據(jù)進(jìn)行接收后就可以將其輸入到控制和運(yùn)算模塊中。

在接收到緩存數(shù)據(jù)后，需要對(duì)其進(jìn)行運(yùn)算處理，這個(gè)過(guò)程就是依據(jù)前文中的原理式，再調(diào)用所需的加法器乘法器等完成算法實(shí)現(xiàn)擬合。

3 算法實(shí)現(xiàn)和測(cè)試

3.1 算法擬合

在如圖3所示的光譜圖象中，可見(jiàn)多處極大值。因此需要設(shè)定如圖4所示的相應(yīng)閾值P1，將低于這一閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)篩除，而后只對(duì)達(dá)到閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行歸納和處理以節(jié)約運(yùn)算資源。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，選取的閾值大小為最大過(guò)濾值的0.6倍即1.2V 最為合適，經(jīng)過(guò)運(yùn)算處理后得到如圖所示的不同算法的擬合結(jié)果。

圖3：光譜圖象

圖4：采樣閾值設(shè)定

在實(shí)驗(yàn)中，測(cè)定環(huán)境的溫度為19.7℃，設(shè)定的激光器步進(jìn)波長(zhǎng)為25 pm，那么1525 nm-1565 nm 范圍內(nèi)掃描一次可以獲得1500 個(gè)采樣點(diǎn)，頻率為1 kHz。FBG 傳感器工作時(shí)，波長(zhǎng)對(duì)溫度和壓力同時(shí)敏感，會(huì)出現(xiàn)多峰的現(xiàn)象，如圖3 所示，采用的光纖光柵傳感器的理論零點(diǎn)雙中心波長(zhǎng)為1540 nm 和1546 nm。

對(duì)于這種多個(gè)波峰的情況，解調(diào)時(shí)需要計(jì)算散點(diǎn)圖中前后兩次采樣點(diǎn)的波長(zhǎng)差，超過(guò)一定范圍則認(rèn)為出現(xiàn)新的波峰，波峰判斷完成后，再對(duì)單一波峰擬合求峰值信息，提取圖中1540 nm 附近的波形后，經(jīng)過(guò)尋峰算法就可以完成第一個(gè)采樣波峰擬合，如圖5所示分別為直接法、高斯法、多項(xiàng)式法和高斯-多項(xiàng)式法的擬合結(jié)果，同理也可以得到第二個(gè)波峰擬合情況。

圖5：波峰曲線擬合結(jié)果圖

將各個(gè)算法擬合結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)歸納后得到如表1所示的各個(gè)算法誤差大小。

表1：尋峰算法的誤差值

由表1 數(shù)據(jù)可知，直接比較法的誤差較大，精度較低，在多次測(cè)試中誤差均接近12 pm，高斯擬合法和多項(xiàng)式擬合法的誤差值也不能達(dá)到設(shè)定要求，精度需要提高，而將高斯擬合和多項(xiàng)式擬合相結(jié)合的方法的精度有了明顯提高，誤差均低于0.5 pm，能夠滿足系統(tǒng)的解調(diào)需求。

3.2 溫度變化擬合

將波峰數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖進(jìn)行波峰曲線擬合后，需要進(jìn)行溫度變化的感知實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中將傳感器所處的溫度從20℃升溫至70℃，而后從70℃降溫20℃以完成升溫和降溫的溫度變化測(cè)試，測(cè)試實(shí)驗(yàn)共做三輪，對(duì)三輪中得到的三組數(shù)據(jù)進(jìn)行取平均值處理。而后對(duì)三組數(shù)據(jù)中溫度對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)值取均值，可得到溫度的變化數(shù)據(jù)值。

升溫階段的解調(diào)波長(zhǎng)與溫度響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6：升溫標(biāo)定圖象

降溫階段波長(zhǎng)和溫度關(guān)系如圖7所示。

圖7：降溫標(biāo)定圖象

溫度的波長(zhǎng)標(biāo)定結(jié)果顯示，升溫的標(biāo)定結(jié)果為：

升溫響應(yīng)曲線的線性相關(guān)性為99.92%，升溫的溫度標(biāo)定曲線擬合結(jié)果精度較高，表明系統(tǒng)的升溫響應(yīng)精度能夠達(dá)到要求。降溫的標(biāo)定結(jié)果為：

降溫響應(yīng)曲線的線性相關(guān)性為99.94%，降溫階段的擬合精度與升溫階段一樣較高，能夠滿足性能指標(biāo)。

綜合升溫和降溫的情況可知，溫度的響應(yīng)精度較高，且誤差在1℃內(nèi)，這一性能指標(biāo)可以滿足對(duì)水溫的監(jiān)測(cè)需求，同時(shí)可知，所設(shè)計(jì)的解調(diào)系統(tǒng)溫度和波長(zhǎng)標(biāo)定誤差較低具有極高的分辨率。

3.3 壓力變化擬合

考慮溫度對(duì)波長(zhǎng)的影響為了減少測(cè)量誤差，在進(jìn)行壓力擬合時(shí)需要相對(duì)應(yīng)的溫度光柵進(jìn)行補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)在19.7℃室溫下進(jìn)行，測(cè)試的范圍在0 ～5MPa。壓力的標(biāo)定測(cè)試實(shí)驗(yàn)同樣需要進(jìn)行三組升壓和降壓測(cè)試后取平均值。

得到升壓擬合數(shù)據(jù)如圖8所示。

圖8：升壓標(biāo)定圖象

降壓擬合情況如圖9所示。

圖9：降壓標(biāo)定圖象

壓力的波長(zhǎng)標(biāo)定的結(jié)果顯示，升壓階段的標(biāo)定結(jié)果為：

升壓響應(yīng)曲線的線性相關(guān)性為99.91%，升壓的階段的壓力標(biāo)定曲線擬合結(jié)果精度較高，表明系統(tǒng)的升壓響應(yīng)精度能夠達(dá)到要求。降壓的標(biāo)定結(jié)果為：

降壓響應(yīng)擬合曲線的線性相關(guān)性為99.93%，降壓階段的壓力標(biāo)定同樣能夠滿足性能需求。

綜合升壓和降壓的情況可知，壓力的響應(yīng)精度較高，且誤差在0.1Mpa 內(nèi)，這一性能指標(biāo)可以滿足對(duì)水壓的監(jiān)測(cè)需求，可知所設(shè)計(jì)的解調(diào)系統(tǒng)壓力和波長(zhǎng)標(biāo)定誤差較低具有極高的分辨率。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)復(fù)雜環(huán)境下的溫度和壓力監(jiān)測(cè)需求，設(shè)計(jì)了一種基于可調(diào)諧激光器的FBG 波長(zhǎng)解調(diào)系統(tǒng)，完成了基于FPGA控制和運(yùn)算程序設(shè)計(jì)，數(shù)據(jù)采集。在所需監(jiān)測(cè)的溫度和壓力范圍內(nèi)，分別實(shí)現(xiàn)了它們對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的標(biāo)定，使得系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)高精度監(jiān)測(cè)目標(biāo)物理參量。

實(shí)驗(yàn)測(cè)試表明設(shè)計(jì)的高斯-多項(xiàng)式擬合算法在實(shí)際測(cè)試中具有最高的精度，多次測(cè)試中其誤差值均低于0.5 pm，系統(tǒng)的解調(diào)頻率達(dá)到1 kHz，溫度標(biāo)定的誤差在1℃內(nèi)，壓力的誤差在0.1 MPa 內(nèi)。

設(shè)計(jì)的基于高斯-多項(xiàng)式擬合算法的FBG 解調(diào)系統(tǒng)，能針對(duì)光的波長(zhǎng)進(jìn)行高性能解調(diào)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜環(huán)境下針對(duì)的溫度和壓力等物理參量的高精度監(jiān)測(cè)。