基于符號動力學的開關變換器狀態(tài)分析

馮錦澎

（廣州大學 廣東省廣州市 510400）

1 引言

DC-DC 開關功率變換器作為現(xiàn)代設備不可或缺部分，對其動力學規(guī)律和穩(wěn)定性分析在設計和實際應用研究中都有著十分種要意義。DC-DC 開關變換器是一種典型強非線性系統(tǒng)，對其建模有三種代表性方法：離散迭代非線性映射模型；分段光滑系統(tǒng)的微分方程模型；加權(quán)平均連續(xù)時間平均模型。第一種方法以系統(tǒng)狀態(tài)變量為研究著眼點，易于全面分析電路系統(tǒng)的動力學性質(zhì)，如不動點及各種周期軌道的邊界條件。第二種方法的方程解反映了真實的物理特性，卻不能用解析方法分析動力學行為的各種穩(wěn)定定性。一般只能用數(shù)值方法求解。最后一種方法只能適用于低頻分析。[1]

開關變換器出現(xiàn)非穩(wěn)定現(xiàn)象如分岔和混沌研究一般采用前面兩種模型。前者通過仿真得到分岔圖，根據(jù)圖形來判斷分岔及混沌的條件；后者采用Lyapunov 指數(shù)方法，通過計算開關變換器變量參數(shù)，得到李氏指數(shù)的符號，根據(jù)李氏指數(shù)符號的正負來判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定還是混沌。不管是哪種方法以，都離不開大量數(shù)值計算。也有學者從數(shù)學理論中的迭代映射模型倍周期分岔定理出發(fā)，撇開具體的物理結(jié)構(gòu)來推導開關變換器的穩(wěn)定性條件。[2]

這些分析方法都離不開數(shù)學理論推導，在工程上缺少易用性。符號動力學是一種對現(xiàn)實物理系統(tǒng)進行粗?；碗x散化，在有限精度下對動力學過程實行嚴格描述的一種方法。對復雜系統(tǒng)得到簡單的符號時間序列就可以刻畫出系統(tǒng)特征的方法。本文利用符號動力學這種分析方法，對不連續(xù)導電模型DC-DC 開關變換器進行實用符號動力學分析，得到其揉序列表及各序列對應參數(shù)值。與分岔圖和Lyapunov 指數(shù)法進行比較，得出一種新的實用穩(wěn)定性判據(jù)，并在最后驗證該方法的可行性。

2 開關變換器符號動力學分析

最初的符號動力學是一種 J.Hadmard M.Morse（莫爾斯）在 19世紀末提出來的，基于粗?；耐負浞椒ā⑦@種方法運用于實際物理系統(tǒng)的狀態(tài)特點分析中，就是實用符號動力學方法。[3]

2.1 DCM電壓反饋型開關變換器迭代模型

電壓型 BUCK 變換器原理圖如圖 1所示。其迭代映射方程：[4]

其中 E 輸入電壓，T 為開關周期，L 為輸入電感，R 為負載電阻，C 為輸出濾波電容，X 為期望的穩(wěn)態(tài)輸出電壓，K 是反饋比例增益，D 為穩(wěn)態(tài)占空比。xn 代表第 n 次迭代的電容電壓，其他參數(shù)表達式如下：

該迭代映射是一根倒峰曲線，如圖 2所示。該曲線與Y=X 直線相交點就是平衡點 X*。

圖2：BUCK 變換器K=0.1211 映射曲線

實用符號動力學的排序規(guī)則是：以映射的單調(diào)性對相空間進行劃分。圖 2 中的極小點 C 為界，把相空間劃分為左右兩部分。C 左邊記為 L，右邊記為 R。初始值 X0 為起點，根據(jù)公式 1 進行迭代，每次迭代得到一個相對應的符號 R 或L，剛好等于 C 則記為 C。按此規(guī)則把依次得到的符號按時間順序排列起來就得到一個半無窮 符號序列S1S2S3…Sn…，其中

仿照實數(shù)排序方法，我們把一位的符號序列記為：

L

考慮二次迭代時，L 部分映射為單調(diào)降，R 部分映射為單調(diào)升。有如下關系：

LR

如此類推，當ΔE表示含有偶數(shù)個 L 的序列；ΔO表示含有奇數(shù)個 L 序列時有：

ΔOR<ΔOC<ΔOL；

ΔEL<ΔEC<ΔER

BUCK 變換器的最大符號序列為R∞；最小符號序列是LR∞。

2.2 揉序列及MSS表

BUCK 變換器在 K 不變情況下，迭代結(jié)果不可能低于谷底的臨界點 C 對應的 f(C)，實際系統(tǒng)中最大范圍不可能大于電源 E。我們把大于 E，小于 f(C) 為 BUCK 變換器基本禁區(qū)。臨界點 C，截止點 E 對應的一次迭代像點對應的序列稱為該系統(tǒng)揉序列。允字條件就是一個充許序列任意移位都不能落入基本禁止區(qū)。如圖 2 中紅框以外。

BUCK 變換器映射曲線是倒峰映射，C 兩端任一點出發(fā)得到的迭代值都應該大于極小值 f(C)，其對應符號序列都應該比 f(C)序列大，該 f(C)序列具有移位最小性，稱為BUCK 變換器揉序列 K。

依據(jù)符號動力學周期窗口定理[3]，我們可以得到 BUCK變換器的中介字產(chǎn)生方法。

（1）在兩個序列中產(chǎn)生 S1 上序列 S1+，S2 下序列S2-。

（2）比較 （S1+）（S1+）…和（S2-）（S21）中重復部分M。如果M 長度大于S1+，則去掉M 最后一個重復字符直接成為中介字。

（3）如M 不超過 S1+長度，則在計算M 奇偶，如果S1+

（4）檢查新產(chǎn)生中介字如果與S1 相等，則沒有新中介字。如果與S2 相等，則用 S2-作為新中介字 。

圖 3所示就是由該算法由程序自動產(chǎn)生的5 級超穩(wěn)揉序列表（MSS）。

圖3：BUCK 變換器5 級MSS 表

2.3 字提升法確定參數(shù)

對于給出一個超穩(wěn)揉序列，我們可以通過字提升法找出系統(tǒng)對應的參數(shù)。例如對K=RLRC 時，BUCK 變換器映射公式（1），令Xn 為自變量 x，Xn+1 為因變量 y，k 為可變參數(shù)。按實際電路確定各元件參數(shù)如表 1所示。

表1：DCM DC-DC BUCK 變換器參數(shù)

則公式形式變?yōu)椋?/p>

則符號 R、L 分別為兩支逆函數(shù)：

對于符號序列 LRLC 有

x*為平衡不動點。這里取 25V。

從而求得對應 k=1.591400e-01，同理求得LRC 對應k=3.3532e-02。從中我們可以看出不同的揉序列可以刻畫出不同的軌道周期。

2.4 分岔圖中分岔與混沌邊界的對應揉序列

以BUCK 變換器反饋系數(shù)k 為橫軸變量，迭代結(jié)果Xn為縱軸變量，畫出該映射分岔圖如圖 4 看示，其中紅色線是k 值下所對應的臨界點軌跡曲線。

圖4：BUCK 變換器映射對應的分岔圖

圖8：k=0.133 時相圖和iL、Vo 波形仿真結(jié)果

從圖中很容易看出：在k=0.0353 附近時，映射臨界點C 剛好與超穩(wěn)不動點（X*=25）重合，是1 級超穩(wěn)揉序列C所對應軌道。數(shù)學上該點斜率為零且收劍速度最快。k 在（0.0353，0.1189）范圍內(nèi)是1P 軌道范圍，這時候為 2 級揉序列LC 所對應軌道。k 在（0.1189，0.159）2P 軌道范圍，就是發(fā)生倍周期分岔范圍，這時是 3 級揉序列 LLC 所對應軌道。k 在（0.159，0.173）4P 軌道范圍，就是發(fā)生 4周期分岔范圍，這時是 4 級揉序列LRLC 所對應軌道。在k>0.173 開始就是非周期軌道范圍，這時是（LRLRLRLL）∞符號序列所對應軌道。把該參數(shù)k 所對應軌道序列作表歸納如表 2所示。

表2：BUCK 變換器參數(shù)k 對應符號序列表

符號動力學中表示進入混沌的符號序列格式是ρλ∞，即出現(xiàn)周期 3 意味著混沌出現(xiàn)[3]。而當 k=0.173 時，出現(xiàn)（LRLRLRLL）∞，經(jīng)等價轉(zhuǎn)換可以等價表示為 L（RLRLRLLL）∞形式，該序列滿足 ρλ∞形式，也就是 BUCK 電路開始進入沌混。因此我們可以通過 BUCK 變換器電路產(chǎn)生的符號序列來判斷電路當前狀態(tài)。典型的符號序列出現(xiàn)可以看作非穩(wěn)定邊界條件的出現(xiàn)。

2.5 符號動力學分析結(jié)果與 Lyapunov 指數(shù)法結(jié)果比較

變換器穩(wěn)定性分析，很多學者已經(jīng)通過Lyapunov 指數(shù)法、分岔圖法、分段光滑建立微分方程求解、從倍周期分岔數(shù)學定理等方法研究比較透切[4]，但使用符號動力學方法從符號序列判斷穩(wěn)定性邊界條件還很少出現(xiàn)相關研究文章?，F(xiàn)把本文研究結(jié)果與其他學者研究 Lyapunov 指數(shù)的結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖 5所示。

圖5：BUCK 變換器符號序列與李氏指數(shù)

圖 11：k=0.155 時相圖及電流電壓波形實測圖

圖 12：k=0.252 時相圖及電流電壓波形實測圖

從對比結(jié)果來看，當 Lyapunov 指數(shù)每次由負值經(jīng)過零點變?yōu)檎龝r引發(fā)系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，混沌及切分岔時，映射產(chǎn)生的符號序列都能很好表征出該狀態(tài)的變化。符號動力學分析在 BUCK 變換器狀態(tài)分析中是可行的一種簡單方法。

3 符號動力學分析法的實際電路驗證

3.1 電壓反饋型BUCK變換器狀態(tài)仿真

對圖 1 的電壓反饋型 BUCK 變換器進行 PSIM 仿真。仿真電路如圖 6所示。仿真結(jié)果如圖 7-圖9所示。

圖6：電壓反饋BUCK 變換器仿真電路

圖7：k=0.110 時相圖和iL、Vo 波形仿真結(jié)果

圖9：k=0.165 時相圖和iL、Vo 波形仿真結(jié)果

以電感電流iL和輸出電壓Vo分別為相圖的縱坐標和橫坐標，得到LC、LLC、和LRLC 結(jié)果分別對應的相圖和電流電壓波形如圖 7-圖9。

3.2 電壓反饋型BUCK變換器電路驗證

在仿真基礎上，我們做了一個電壓反饋型BUCK 變換器實際電路，進行驗證測試。實測結(jié)果分別如圖 10-12所示。

圖10：k=0.119 時相圖及電流電壓波形實測圖

3.3 理論與驗證結(jié)果對比

把符號動力學分析理論對 BUCK 變換器的狀態(tài)檢測結(jié)果與仿真及實測結(jié)果進行對比如表 3所示。理論值與仿真結(jié)果比較接近，實測值與理論值存在一定誤差，但狀態(tài)轉(zhuǎn)化規(guī)律性依然明顯。這是由于實際電路元件參數(shù)精確度及噪聲干擾等因素所致。如何提高實際電路檢測精度有待以后繼續(xù)研究。

表 3：BUCK 變換器狀態(tài)檢測三種方法比較

4 總結(jié)

我們從實用符號動力學分析理論出發(fā)，利用其離散化、粗?；奶攸c，對電壓反饋型 BUCK 變換器狀態(tài)進行了符號動力學分析，避開了復雜的計算方法及系統(tǒng)細節(jié)。根據(jù)超穩(wěn)揉序列是對系統(tǒng)軌道的刻畫原理，提出從 BUCK 變換器產(chǎn)生的符號序列作為其當前狀態(tài)判斷依據(jù)。并把該結(jié)果與其他傳統(tǒng)分析方法結(jié)果進行比較，證明本文提出的基于符號動力學分析方法的可行性。并從仿真和實驗驗證角度對符號動力學結(jié)果進行了驗證，也證明了這是一種可行的穩(wěn)定性邊界條件判定方法。為工程上 DC-DC 開關功率變換器混沌行為檢測提供相對簡便可行的新方法。