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    四參數(shù)2×n 階LC 矩形網(wǎng)絡(luò)電特性的研究

    2022-03-31 02:34:48羅禮進陳蜀媛羅烽華譚志中
    廣西物理 2022年3期
    關(guān)鍵詞:曲線圖電阻方程

    羅禮進,陳蜀媛,羅烽華,譚志中

    (1.南通大學理學院,江蘇 南通 226019;2.防城港市城市建設(shè)投資有限責任公司,廣西 防城港538001 3.廣西大學資源環(huán)境與材料學院,廣西 南寧 530004)

    0 引言

    在科學研究及工程技術(shù)領(lǐng)域,許多實際問題可以通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進行模擬研究[1-7],這已成為一系列科學問題研究的基本方法。隨著電阻網(wǎng)絡(luò)研究的發(fā)展,研究者已經(jīng)建立了研究電阻網(wǎng)絡(luò)的數(shù)個主要方法,如格林函數(shù)技術(shù)方法[1]、拉普拉斯矩陣方法[2]、等效變換方法[3]、遞歸—變換方法[4-7]等。其中的遞歸-變換方法具有更廣泛的適用性,可適用于研究含有任意邊界的有限和無限的電阻網(wǎng)絡(luò)問題,彌補以往方法的不足[4-7]。

    矩形電阻網(wǎng)絡(luò)問題一直是電阻網(wǎng)絡(luò)研究關(guān)注的熱點之一,近年來取得較大進展,尤其在少參數(shù)(一個或兩個)電阻網(wǎng)絡(luò)問題得到了比較好的解決,如含有2參數(shù)的m×n階矩形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題[6]。在多參數(shù)電阻網(wǎng)絡(luò)問題的研究上也取得一定的進展,如含有3參數(shù)的2×n階純電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題[5]。在復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)研究方面,少參數(shù)復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的研究取得了一定的進展[7],但在多參數(shù)復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)方面少有研究。本文將以含有4參數(shù)的2×n階LC矩形網(wǎng)絡(luò)為例,研究多參數(shù)的復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)模型的等效復(fù)阻抗問題。

    1 四參數(shù)2×n 階LC 矩形網(wǎng)絡(luò)的研究

    我們稱圖1為一類含有4參數(shù)的2×n階LC矩形網(wǎng)絡(luò)模型,該模型包含有4個電路參數(shù)Ca、Cb、L、L0。本文將研究a、b兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ab(n)和a、c兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ac(n)的普適公式和基本特性。為解決此問題,依據(jù)上述的遞歸-變換方法,分建立差分方程模型、求差分方程模型的通解、求邊界電流特解、計算節(jié)點間的復(fù)阻抗四個步驟進行。下面首先求解a、b兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ab(n)。

    圖1 含有4參數(shù)的2×n階LC矩形復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)模型

    1.1 建立差分方程模型

    在圖1所示的LC網(wǎng)絡(luò)中,設(shè)輸入電流的圓頻率為ω,則電感L、L0的阻抗分別為z=jωL、,電容Ca、Cb的阻抗分別為,j2=-1。設(shè)電流I從a輸入至b輸出。不失一般性,選取圖1所示網(wǎng)絡(luò)中的任意子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進行研究,如圖2所示。設(shè)在第k個子網(wǎng)絡(luò)中,水平方向的三個電感中通過的電流分別為Iak、Ibk、Ick(1≤k≤n),豎直方向的兩個電容中通過的電流分別為Ik、(1≤k≤n+1)。各LC網(wǎng)絡(luò)元中的電流方向如圖2所示。

    圖2 子網(wǎng)絡(luò)電流參數(shù)

    在圖2 的子網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用基爾霍夫電流定律得到節(jié)點電流方程

    在圖2 的子網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用基爾霍夫電壓定律得到第k個回路的電壓方程

    同理得到第k-1 個回路的電壓方程

    取差運算,分別由式(4)-(6)和(5)-(7)得到

    將式(1)、(2)、(3)分別代入(8)、(9)化簡整理得

    為便于研究,將方程(10)、(11)寫成矩陣形式

    方程(12)就是本文推導出的關(guān)鍵的差分方程模型,但是如何求解該方程是解決問題的關(guān)鍵。如果用傳統(tǒng)的方法求解該方程是很困難的事情,本文將采用矩陣變換的方法解決該問題。

    1.2 求差分方程模型的通解

    為了求解差分方程(12)的通解,根據(jù)文獻[3]的解法,先通過矩陣變換,將矩陣方程(12)變換為一個簡單的矩陣方程,然后求此簡單矩陣方程的特征方程的特征根,最后由特征根求出矩陣方程(12)的通解。

    將方程(12)中Ik、的系數(shù)矩陣左乘一個二階矩陣A,使得

    其中設(shè)待定的二階矩陣A為

    并且其中λ1、λ2和t1、t2均為待定系數(shù)。將式(13)展開并且根據(jù)式(13)的矩陣左右相等得

    把(16)代入(15)消去t得到

    將矩陣方程(12)兩邊左乘矩陣A變換為如下成簡單的方程

    其中k=1,2,3……,且

    由矩陣方程式(20)得差分矩陣方程的特征方程

    設(shè)關(guān)于x的方程的兩根分別為α、β,關(guān)于y的方程的兩根分別為γ、δ,解(22)得到

    根據(jù)文獻[3]的解法,方程(20)的解為

    1.3 求邊界電流的特解

    當電流從a輸入至b輸出時,根據(jù)電流的連續(xù)性方程由圖3 可得

    圖3 邊界網(wǎng)絡(luò)電流參數(shù)

    將式(25)分別對k從1 到n+1 求和并應(yīng)用式(26)得

    根據(jù)文獻[3]的分析方法,由圖3 得到邊界電流參數(shù)方程

    將方程(29)兩邊左乘一個前文已經(jīng)求出的二階矩陣A,并且應(yīng)用式(18)、(19)的關(guān)系化簡整理得

    將式(31)分別代入式(27)、(28)化簡整理得

    第二,教學點逐步健全檔案,完善制度。中心校的規(guī)章制度在教學點上墻,且各種計劃及作息要和中心校要求保持一致。

    式(32)、(33)即為4 參數(shù)2×n階LC矩形網(wǎng)絡(luò)中左邊界的電流特解。

    1.4 求等效復(fù)阻抗

    又由圖3 可知:Uab=I1za,根據(jù)歐姆定律

    把式(34)代入(35)得到

    其中α、β和γ、δ分別由式(23)、(24)確定。式(36)即為a、b二節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ab(n)的普適公式。

    用同樣的方法可計算出a、c兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ac(n)。

    其中α、β和γ、δ分別由式(23)、(24)確定,t1、t2由式(19)確定,。式(37)即為a、c二點間的等效復(fù)阻抗Z ac(n)的通項表達式。

    2 等效復(fù)阻抗特性的討論

    特征方程(22)的判別式分別為

    將(19)代入(23)、(24)得到

    2.1 情形1:ω >(q > 0)

    當ω>2q時,有 Δ1> 0,Δ2> 0。此時,α、β、γ、δ分別如(40)、(41)所示,均為實數(shù),因λ1、λ2都是實數(shù),所以由(42)可知Z ab(n)為純虛數(shù)。

    圖4 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H,且n分別取1 至50 時,Z ab(n)/ j 隨ω(ω∈[300,30000])變化的三維曲線圖。從圖中可看出,n取不同的值時,Z ab(n)/ j 隨ω的變化都有相同的趨勢,即都隨ω的增加單調(diào)增加,并且Z ab(n)/ j在低頻區(qū)(ω∈[300,2300])的變化梯度較大,而在高頻區(qū)(ω∈[2300,∞])的變化梯度較小。ω→∞時,Z ab(n)/ j → 0。

    圖4 Z ab(n)/ j 隨ω(ω ∈[300,30000])和n(n∈[1,50])變化的三維曲線圖

    2.2 情形2:ω=(q > 0)

    此時,Z ab(n)也為純虛數(shù)。

    圖5 ω=時 Z ab(n)/ j 隨n(n∈[1,50])變化的曲線圖

    2.3 情形3:(p >0、q >0)

    將(48)代入(42)得

    由此可見,Z ab(n)仍為純虛數(shù)。

    圖6 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H,且n分別取1 至50 時,Z ab(n)/ j 隨ω(ω∈[90,290])變化的三維曲線圖。從圖中可看出,對應(yīng)每一個n值,Z ab(n)/ j 隨ω的變化不再是單調(diào)變化,而是在Z ab(n)/ j=0兩則正負振蕩變化。

    圖6 Z ab(n)/ j 隨ω(ω∈[90,290])和n(n∈[1,50])變化的三維曲線圖

    圖7 ω=時 Z ab(n)/ j 隨n(n∈[1,50])變化的曲線圖

    2.4 情形4:ω=(p > 0)

    而γ、δ仍為(46)、(47)所示,并有(48)的結(jié)果,所以將(48)、(51)代入(42)得

    由此可見,Z ab(n)仍為純虛數(shù)。

    2.5 情形5:0< ω<(p > 0)

    所以將(55)、(48)代入(42)得

    由此可見,Z ab(n)仍為純虛數(shù)。

    圖8 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H,且n分別取1 至50 時,Z ab(n)/ j 隨ω(ω∈[1,85])變化的三維曲線圖。從圖中可看出,對應(yīng)每一個n值,Z ab(n)/ j 隨ω的變化是在Z ab(n)/ j=0兩則正負振蕩變化。

    圖8 Z ab(n)/ j 隨ω(ω∈[1,85])和n(n∈[1,50])變化的三維曲線圖

    3 總結(jié)

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