馬爾可夫copula模型下通過雙邊CSA或CCP清算的CDS的TVA計算

梁 雪， 陳 果

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.張家港市外國語學(xué)校，江蘇 蘇州 215699）

自20世紀(jì)90年代，場外金融衍生品市場（OTC）迅猛發(fā)展，其市場規(guī)模遠(yuǎn)大于交易所市場，但由于缺乏監(jiān)管，OTC衍生品成為導(dǎo)致次貸危機(jī)的誘因之一。為有效管理OTC市場的交易對手風(fēng)險，雙邊信用支持附件（CSA）的抵押品協(xié)議中增加了對初始保證金的要求。另外，許多地區(qū)通過立法規(guī)定符合規(guī)格的標(biāo)準(zhǔn)化OTC衍生品，需要通過與交易所的清算中心有類似功能的中央交易對手（CCP）進(jìn)行清算[1]。事實證明，采用抵押品機(jī)制進(jìn)行交易能有效降低OTC衍生品的交易對手風(fēng)險。

近年來，越來越多的工作關(guān)注涉及抵押品機(jī)制的雙邊CSA清算和CCP清算的研究。Brigo和Pallavicini[2]首次建立了在涉及初始保證金和變動保證金的CCP清算下，考慮信用風(fēng)險、融資風(fēng)險和錯向風(fēng)險的綜合定價方法。Crépey和Song[3]、Armenti和Crépey[4]在動態(tài)框架下分別對通過雙邊CSA清算、CCP清算的交易進(jìn)行成本（XVA）分析。然而，在上述文獻(xiàn)提出的估值框架下，特別是考慮到信用違約互換（CDS）的定價時，很難得到明確的定價表達(dá)式。CDS是OTC衍生品中的佼佼者，其規(guī)模巨大，但它面臨的交易對手風(fēng)險也較高，2008年金融危機(jī)后，CDS成為國際監(jiān)管改革的重點(diǎn)。因此，建立模型對通過雙邊CSA或CCP清算的CDS合約進(jìn)行定價是十分必要的。筆者試圖了解當(dāng)市場參與者從雙邊CSA清算轉(zhuǎn)向CCP清算時，CDS合約的總估值調(diào)整（TVA）的變化。為此，文中利用馬爾可夫copula模型處理違約相關(guān)性，比較了CDS合約在雙邊CSA清算下的TVA與CCP清算下的TVA之間的差異。

有關(guān)定價的研究，主要有結(jié)構(gòu)法[5]和約化法[6]。文中采用約化法的延伸應(yīng)用——馬氏鏈法。Bielecki等[7]結(jié)合靜態(tài)copula模型和動態(tài)bottom-up模型的優(yōu)點(diǎn)（能夠捕捉個別違約過程與總損失之間的關(guān)系）提出馬爾可夫copula模型，并利用該模型研究了信用指數(shù)衍生產(chǎn)品（CID）和評級觸發(fā)的增發(fā)公司債券的定價和套期保值。隨后Crépey等[8]、Bielecki等[9]在馬爾可夫copula模型下研究具有單邊交易對手風(fēng)險的CDS的定價、信用估值調(diào)整（CVA）和套期保值。梁雪等[10]在馬爾可夫copula模型中引入散粒噪聲過程，給出了有擔(dān)保安排的CDS的CVA的半解析表達(dá)式。上述文獻(xiàn)表明馬爾可夫copula模型在金融產(chǎn)品的定價及風(fēng)險分析的應(yīng)用中具有較好的效果。

文章結(jié)構(gòu)如下：第一部分建立在雙邊CSA或CCP清算下CDS合約的TVA的一般定價框架；第二部分在馬爾可夫copula模型下推導(dǎo)出TVA的顯式表達(dá)式；第三部分給出數(shù)值結(jié)果；第四部分是結(jié)語。

1 定價框架

這節(jié)，筆者將考慮在雙邊CSA或CCP清算下CDS合約的TVA的一般定價框架，定義TVA為信用估值調(diào)整（CVA）、債務(wù)估值調(diào)整（DVA）和保證金估值調(diào)整（MVA）的和。

給定一個帶過濾的完備概率空間{Ω，F(xiàn)，（Ft）0≤t≤T，P}，過濾（Ft）0≤t≤T滿足通常條件，P是風(fēng)險中性測度。假設(shè)文中涉及的隨機(jī)變量均定義在這個概率空間上，并且是FT-可測的。令Eτ表示給定Fτ在測度P下的條件期望；Et表示給定Ft在測度P下的條件期望。

考慮一份面值為“1”，互換溢價為κ（連續(xù)支付），到期日為T的CDS合約，該合約涉及三個實體：公司0、公司1、公司2，其中公司0是參考實體，公司1是違約保護(hù)買方，公司2是違約保護(hù)賣方。合約生效后，保護(hù)買方向保護(hù)賣方支付一定的保費(fèi)，以換取針對參考實體的信用保護(hù)（在到期日之前，若參考實體發(fā)生雙方約定的違約事件，保護(hù)賣方需要向保護(hù)買方支付一定的補(bǔ)償）。如果公司1和公司2選擇通過CCP進(jìn)行上述交易（由于非CCP成員的場外市場參與者必須通過CCP成員來進(jìn)行交易，故假設(shè)公司1、公司2均是CCP的清算成員），那么原始的雙邊合約將被轉(zhuǎn)換成兩份合約進(jìn)入CCP結(jié)算體系，一份是保護(hù)買方（公司1）與CCP之間的合約，一份是保護(hù)賣方（公司2）與CCP之間的合約，CCP在交易中充當(dāng)著“中介”的作用。文中假設(shè)參考實體及交易雙方均可能發(fā)生違約。記公司i的違約時間為τi，回收率為Ri（i=0，1，2），無風(fēng)險折扣因子為是確定性短期利率函數(shù)。

由于現(xiàn)金最具流通性，故文中假設(shè)涉及的抵押品均是現(xiàn)金，且現(xiàn)金流均是從保護(hù)買方的角度考慮的。記

定義1無風(fēng)險CDS合約的價格過程為Pt=Et（p（t，T））

其中p（t，T）為無風(fēng)險CDS合約在時間間隔（t，T]上的累積貼現(xiàn)現(xiàn)金流，K0={t＜τ0≤T}。

接下來，將討論雙邊CSA清算和CCP清算的抵押品機(jī)制。

通過雙邊CSA或CCP清算的交易，交易方均需要繳納初始保證金和變動保證金。傳統(tǒng)上，CSA協(xié)議很少要求交易方繳納初始保證金，但是為了更好地規(guī)避交易對手風(fēng)險，2012年之后，通過雙邊CSA清算的交易，交易方既要提供初始保證金也要提供變動保證金。

合約生效后，交易雙方應(yīng)立即支付初始保證金用以彌補(bǔ)自身違約時給對方帶來的潛在損失。若初始保證金的提供方在合約終止時沒有發(fā)生違約，則初始保證金將全額返還。由于初始保證金不可再抵押，故應(yīng)考慮提供初始保證金的資金成本，記相應(yīng)的資金成本率為λ。

記違約保護(hù)買方和違約保護(hù)賣方提供的初始保證金分別為Ib（≤0）、Is（≥0）。Brigo等[11]提出估算初始保證金的矩匹配技術(shù)，結(jié)合該方法并考慮違約信息，有

其中q是置信水平，Φμt，υt是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，其均值和方差分別為

其中τ是導(dǎo)致CDS合約終止的違約事件的發(fā)生時間，δ是清算期。

通常，初始保證金至少需要涵蓋清算期內(nèi)99%的估值變動。文中設(shè)置q=0.998 7，根據(jù)3σ準(zhǔn)則，有

通過雙邊CSA或CCP清算的交易每天都會被進(jìn)行定價（即逐日盯市），變動保證金反映的就是合約價值每日的市場變動，因此，記變動保證金VM=Pt-，當(dāng)VM≥0（≤0）時，變動保證金的接受方是違約保護(hù)買方（賣方）。由于變動保證金是可再抵押的，因此，相應(yīng)的資金成本可忽略不計。但是，這種再抵押的權(quán)利使得變動保證金的支付方面臨著接受方無法全額歸還的風(fēng)險（若變動保證金的提供方在合約終止時沒有發(fā)生違約，則變動保證金應(yīng)當(dāng)全額返還）。假設(shè)再抵押品的回收率

通過CCP清算時，交易方除了需要向CCP繳納初始保證金和變動保證金之外，還需要向CCP繳納違約基金。當(dāng)有成員違約時，CCP必須先對守約方履行交收義務(wù)，然后再向違約方追究違約責(zé)任[12]。事實上，CCP采取的是風(fēng)險共擔(dān)機(jī)制，文中簡化了該機(jī)制：當(dāng)有成員違約時，損失先由違約一方繳納的初始保證金、變動保證金和違約基金抵扣，相關(guān)尚未彌補(bǔ)的損失將由守約一方承擔(dān)。記保護(hù)買方和保護(hù)賣方提供的違約基金分別為FDb（≤0）、FDs（≥0）。同樣地，由于違約基金不可再抵押，故應(yīng)考慮提供違約基金的資金成本，假設(shè)相應(yīng)的資金成本率λ′=λ，并假設(shè)違約基金是初始保證金的3倍[13]。提供初始保證金和違約基金的資金成本也稱保證金估值調(diào)整（MVA）。

接著，討論合約生效后可能出現(xiàn)的違約事件。

當(dāng)Pτˉ-≥0時，變動保證金的接受方是公司1，當(dāng)公司1無法將變動保證金歸還給公司2時，公司1違約，此時，若公司1將由于自身的違約獲得額外收益。即公司0、公司2首先同時違約，則結(jié)算金額為

當(dāng)公司2在公司0違約時不履行補(bǔ)償義務(wù)或不返還公司1提供的變動保證金時，公司2違約，此時若公司1將承擔(dān)損失。

考慮上述所有情況，并將初始保證金的資金成本考慮進(jìn)去，則得到下述定義：

定義2在雙邊CSA清算下，一份風(fēng)險CDS合約在時間間隔（t，T]上折現(xiàn)到時刻t的價格過程定義為

其中K={t＜τˉ≤T}。

在CCP清算下，記公司1繳納的初始保證金和違約基金分別為公司2繳納的初始保證金和違約基金分別為（由于CCP在交易一方違約后仍會對守約一方履約，故僅與τ01有關(guān)），定義如下違約事件：

A1:={τ01=τ0＜τ1}，即公司0首先違約，則公司1的收益為1-R0。

B1:={τ01=τ0=τ1}，即公司0和公司1同時違約，則公司1的收益為C1:={τ01=τ1＜τ0}，即公司1首先違約，則公司1的收益為D1:={τˉ=τ0=τ2∧τ1}，即公司0和公司2首先同時違約，則公司1需要承擔(dān)的損失為E1:={τˉ=τ2＜τ0∧τ1}，即公司2首先違約，則公司1需要承擔(dān)的損失為

考慮上述所有情況，并將初始保證金和違約基金的資金成本考慮進(jìn)去，則得到下述定義：

定義3在CCP清算下，一份風(fēng)險CDS合約在時間間隔（t，T]上折現(xiàn)到時刻t的價格過程定義為（從公司1的角度考慮）

其中K01={t＜τ01≤T}。

在雙邊CSA或CCP清算下，公司1所持有的一份CDS合約的TVA表示為無違約風(fēng)險CDS合約的價值與考慮違約風(fēng)險的CDS合約的價值之差，故有

注1若τˉ＞T，即在到期日T之前沒有發(fā)生違約事件，則根據(jù)定義1和定義2可以很容易地計算出相應(yīng)的是平凡的；若ˉτ≤t或τ0≤t，則CDS合約在t時刻已終止，則CDS合約在時刻t的價值為0，即因此相應(yīng)的也為0。為不失一般性，假設(shè)同樣地，假設(shè)t＜τ01≤T。

命題1（1）在雙邊CSA清算下，公司1所持有的一份CDS合約的TVA為

其中，

（2）在CCP清算下，公司1所持有的一份CDS合約的TVA為

其中，

將（6）、（7）式代入（5）式得到

其中，

命題剩余部分類似可證。

2 馬爾可夫copula模型

記公司i的違約指標(biāo)過程為Hti=1{τi≤t}，i=0，1，2，設(shè)H＝（H0，H1，H2）是一個非齊次Ft-馬爾可夫鏈。令Ft＝

馬爾可夫鏈H的狀態(tài)空間E和無窮小生成元A（t）由下式給出

其中“*”表示該行所有其他元素之和的-1倍，li（t）（i=1，2，…，7）是確定性函數(shù)，

注2根據(jù)Bielecki等[14]可知，A（t）滿足所謂的一致性條件，這保證了H0，H1，H2是狀態(tài)空間為{0，1}的Ht-馬爾可夫鏈，（H0，H1），（H0，H2），（H1，H2）是狀態(tài)空間為{（0，0），（1，0），（0，1），（1，1）}的Ht-馬爾可夫鏈。

H0的無窮小生成元A0（t）由下式給出

接下來，引入同時違約指標(biāo)過程，

記Λ={{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}}，（Hl）l∈Λ的自然過濾與Ht相等。

引理1（1）定義過程Ml，l∈Λ，

其中，

（2）定義過程Mi，i=0，1，2

由（1）（2）定義的過程Ml，Mi均是Ht-鞅。

（3）H0和H1之間的相關(guān)系數(shù)為

H0和H2之間的相關(guān)系數(shù)為

H1和H2之間的相關(guān)系數(shù)為

證明參見Crépey等[8]。

假設(shè)1假設(shè)在清算期[τ，τ+δ]沒有違約事件發(fā)生。

引理2[8]無風(fēng)險CDS的價格過程Pt的表達(dá)式為

命題2（1）在雙邊CSA清算下，公司1作為違約保護(hù)買方，公司2作為違約保護(hù)賣方需要向?qū)Ψ嚼U納的初始保證金有下面的表達(dá)形式

其中，

（2）在CCP清算下，公司1作為違約保護(hù)買方，公司2作為違約保護(hù)賣方需要向CCP繳納的初始保證金有下面的表達(dá)形式

證明由（2）-（4）式有

由假設(shè)1，知當(dāng)τˉ=τ0時，CDS合約在τ0時刻終止，即Pτˉ+δ=Pτˉ，結(jié)合引理1和引理2，有

命題剩余部分類似可證。

命題3（1）在雙邊CSA清算下，公司1所持有的一份CDS合約的TVA有下述表達(dá)形式

（2）在CCP清算下，公司1所持有的一份CDS合約的TVA有下述表達(dá)形式

證明將命題1和命題2中的各部分用同時違約指標(biāo)過程重新寫出來，結(jié)合引理1和引理2即可得到結(jié)果（同命題2的證明）。

3 數(shù)值計算

這節(jié)將利用市場數(shù)據(jù)將模型中的轉(zhuǎn)移強(qiáng)度參數(shù)li（i=1，2，…，6）估計出來，然后分析模型參數(shù)對TVA的影響。

設(shè)R0＝R1＝R2＝0.4，r=0.05，λ=0.03，δ＝5 d，l7=0.000 5，ρ01=ρ02=ρ12=0.2。

表1[9]是標(biāo)的公司分別為法國燃?xì)?、家樂福、安盛、瑞士銀行、意大利電信的不同到期日（T1=1 a，T2=2 a，T3=3 a，T4=5 a，T5=7 a，T6=10 a）的CDS的互換溢價的市場數(shù)據(jù)。假設(shè)li（i=1，2，…，6）是逐段常值[15－16]的，且滿足

表1 2008年3月30日不同標(biāo)的公司的不同到期日的CDS的互換率 單位：bp

表2 情形1：轉(zhuǎn)移強(qiáng)度

表3 情形2：轉(zhuǎn)移強(qiáng)度

表4 情形3：轉(zhuǎn)移強(qiáng)度

考慮下述三種情形：

情形1家樂福是參考實體，法國燃?xì)馐潜Ｗo(hù)買方，意大利電信是保護(hù)賣方；

情形2安盛是參考實體，法國燃?xì)馐潜Ｗo(hù)買方，意大利電信是保護(hù)賣方；

情形3瑞士銀行是參考實體，法國燃?xì)馐潜Ｗo(hù)買方，意大利電信是保護(hù)賣方。

表5、表6顯示TVA0的絕對大小均隨著到期日的增加而增加，這與表1中的市場數(shù)據(jù)所顯示的互換溢價隨著到期日的增加而增加是一致的。相對而言，家樂福是低風(fēng)險公司，安盛是中風(fēng)險公司，瑞士銀行是高風(fēng)險公司，表5、表6表明當(dāng)參考實體的違約風(fēng)險增大時，TVA0的絕對大小也會增大。同時，表5、表6顯示CCP清算下的TVA0的絕對大小相對于雙邊CSA清算下的TVA0的絕對大小較小，這說明CCP的清算機(jī)制更有利于投資者規(guī)避風(fēng)險。

表5 通過雙邊CSA清算的TVA0單位：bp

表6 通過CCP清算的TVA0單位：bp

4 結(jié)語

建立了涉及抵押品機(jī)制的雙邊CSA清算、CCP清算的定價框架，利用馬爾可夫copula模型刻畫違約相關(guān)性，并利用考慮違約信息的矩匹配技術(shù)估算初始保證金，從而給出了通過雙邊CSA或CCP清算的CDS合約的TVA的顯式表達(dá)式，數(shù)值結(jié)果表明CCP的清算機(jī)制更有利于投資者規(guī)避風(fēng)險。