基于可能性邏輯的結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+

崔建英

1 緒論

抽象論辯框架（Abstract Argumentation Frames,簡記為AF）為表述和評估論證與反論證提供了有效分析工具，是定性化研究不一致信息推理的經(jīng)典理論。（[9]）近年來，通過對論證進行概率賦值，量化論證中的不確定信息，拓展AF 理論應用，成為人工智能論辯領(lǐng)域中的熱點問題，并取得了一系列成果。（[11-13]）概率論辯理論研究中存在概率分布不完全、不一致等問題，文[11,13]提供了用于消解此類問題的合理性概率函數(shù)的公設條件，但“概率論中，概率被分配給陳述的真實性或事件的結(jié)果，而論證通常既不是陳述也不是事件。那么，賦值在論證上的概率涵義并不清楚；論證上概率所描述的是‘論證為真的真值度’還是‘論證可被相信的信念度’需要被澄清”。（[20]）

可能性理論是關(guān)于不確定性的非純概率理論，其相關(guān)的可能性邏輯聚焦可信度層面上的演繹、似真推理和信念修正（[7,8]），更適合不完全信息下知識的表達和推理，因此，基于標準可能性邏輯（Standard Possibilistic Logic）SPL 拓展AF理論可增強其定性和定量分析不確定性推理的能力。不過，由于AF 理論高度抽象，并不能直接用于實踐推理。作為AF 理論的一類結(jié)構(gòu)化拓展理論——ASPIC+（[19]），近些年在論證結(jié)構(gòu)方面的研究得到長足發(fā)展（[15,16,23])，研究成果可擴展到量化理論的研究中。因而，本文將SPL 邏輯語言作為ASPIC+的底層邏輯語言，重新定義結(jié)構(gòu)化的論證，并利用可能性理論中的NC 規(guī)則和SPL 的推導規(guī)則，提出了由論證前提、論證中的推導規(guī)則及其結(jié)論三個維度上的不確定性共同決定的論證強度概念，刻畫論證間的擊敗關(guān)系，建構(gòu)一個拓展的ASPIC+論辯理論——P-ASPIC+。

在P-ASPIC+中，源自可能性理論自身及其邏輯中的推導規(guī)則屬性，可以簡化論證強度的計算，有助快速識別論證間的擊敗關(guān)系，且系統(tǒng)中的論證強度函數(shù)完全滿足合理論證偏好序的三大性質(zhì)。（[15,16]）。同時，P-ASPIC+也符合良性論證系統(tǒng)的合理性公設條件。

2 預備知識

2.1 抽象論辯框架AF 和ASPIC+

本節(jié)簡要回顧論辯框架AF 的主要概念，更詳細內(nèi)容推薦文[9]和[2]。

抽象論辯框架AF 是一組序?qū)F=(Arg,Att)，其中，Arg是論證集，Att ?Arg×Arg是論證間的二元攻擊關(guān)系。當(A,B)∈Att，則稱論證A攻擊論證B。如果對于任意的A,B ∈S ?Arg，有(A,B)/∈Att，則稱論證集S是無沖突的，反之亦然。由論辯框架AF 的幾類經(jīng)典語義，可以獲得相應被稱為外延的論證集，這些論證集具有內(nèi)在融貫性（coherent）且可以保護自己免受攻擊。

定義2.1(論證的可接受性).給定一個論辯框架AF=(Arg,Att)，對任意論證A ∈Arg，A相對于論證集S是可接受的（acceptable）,當且僅當,對任意攻擊A的論證B（B ∈Arg），在S中都存在一個論證C，使得C攻擊B，即，?B ∈Arg:(B,A)∈Att →?C ∈S:(C,B)∈Att。

定義2.2(論證語義).令S ?Arg是一個無沖突的論證集，特征函數(shù)F:2Arg →2Arg滿足F(S)={A|A相對于S是可接受的}：

·S是可允許的（admissible），當且僅當，S ?F(S)；

·S是完全外延（complete extension），當且僅當，S=F(S)；

·S是基地外延（grounded extension），當且僅當，S是極小的完全外延；

·S是優(yōu)先外延（prefered extension），當且僅當，S是極大的完全外延；

·S是穩(wěn)定外延（stable extension）,當且僅當,S是攻擊所有不在S內(nèi)的論證的優(yōu)先外延。

這里，極大或極小是相對于集合包含（set-inclusion）關(guān)系而言的。

定義2.3(評估論證).令E ∈{完全語義,優(yōu)先語義,基底語義,穩(wěn)定語義}，若在E語義下，論證A被包含在所有E的外延集中（或至少被包含在E的一個外延集），則稱論證A是懷疑性合理可證的（skeptically justified）（或稱輕信性合理可證的（credulously justified））。

結(jié)構(gòu)化論辯框架理論ASPIC+最初得名于歐盟項目“集成組件論辯服務平臺”（Argumentation Service Platform with Integrated Components），并在該項目的研究過程中獲得初步發(fā)展。文[19]結(jié)合文[22]的論證定義及反駁型和底切型攻擊的區(qū)分，增加前提攻擊或稱破壞（undermining）攻擊，在論辯框架上引入用于確定論證間擊敗型沖突關(guān)系的論證偏好序，并基于AF 抽象論辯框架中的語義評估理論，提出初始ASPIC+框架理論。之后,H.Prakken 和S.Modgil 對已有的成果進行細化和擴展，并驗證ASPIC+符合文[3] 所提出的“判定良好論證系統(tǒng)的合理性公設”的條件，使得由該框架系統(tǒng)得出的結(jié)論滿足合理性假設，確保系統(tǒng)結(jié)果在邏輯上的合理性。（[15,16]）因此，相較于提供評估論證語義的AF 理論，ASPIC+關(guān)注如何從底層知識庫中構(gòu)造論證，解決了論證內(nèi)部具體構(gòu)造、論證間的支持關(guān)系的處理以及識別論證間不同沖突關(guān)系等問題，進而架起抽象論辯理論AF 與AF 理論實際應用之間的橋梁。因后文中P-ASPIC+較大地保留了ASPIC+中的概念、定義和相關(guān)定理的形式化記法，這里不再贅述其形式化定義，推薦參見文[16]。

2.2 標準可能性邏輯SPL

模糊數(shù)學創(chuàng)始人L.A.Zadeh 在[24]提出可能性理論，用于刻畫不精確和不確定信息：將不確定性理解為可能性，通過依照命題為真的必然性（necessity）和命題為真的可能性（possibility）、以不同的方式對命題進行排序，刻畫主體對純粹序環(huán)境中的信念。盡管可能性理論是原始近似推理理論（[24]）的基礎(chǔ)，但嚴格地說，L.A.Zadeh 的方法并沒有提供相應的邏輯系統(tǒng)?；诳赡苄岳碚摚珼.Dubois等提出并發(fā)展了可能性邏輯（[5]）——一種加權(quán)性的完備邏輯系統(tǒng)，以量化方式將信息的不確定性、可信性或優(yōu)先級與經(jīng)典邏輯公式聯(lián)系起來，刻畫不確定性信息，對信息的可信性和優(yōu)先偏好建模推理，是一類用于建模主體信息不完全或部分知識不一致情景下推理的非確定性邏輯。（[6]）標準可能性邏輯SPL（Standard Possibilistic Logic，或稱基本可能性邏輯）是本文建構(gòu)論辯理論的底層邏輯。（關(guān)于可能性邏輯的其他擴展邏輯，讀者可參看文[6-8]）

具體地，在語法層面上，

定義2.4(標準可能性邏輯公式).標準可能性邏輯SPL 公式是一個二元序?qū)M(φ,α)，其中φ是命題邏輯或一階邏輯的公式，數(shù)值α ∈(0,1]。

這里，公式(φ,α)表示命題φ至少在α程度上是必然或確定的，等價于N(φ)≥α，N是對可能不完全、不確定的信息狀態(tài)進行建模的必然性度量（可能性理論通過必然性測度及其對偶函數(shù)可能性測度Π 兩個測度函數(shù)聯(lián)合刻畫不確定信息，參見下文定義2.7，詳見[5]），α是φ的必然性測度N的下確界。從知識表達角度，它量化了相應命題的可信度（degrees of confidence），即主體關(guān)于命題真的信念。本文中，公式(φ,α)表示主體依據(jù)其當前信息（或知識）相信命題φ成立的信念度至少為α。另外，N(φ)≥0 總成立，公式(φ,0)不包含任何信息，因此，(φ,0)不是SPL 語言的一部分。

定義2.5(公式集投影).令Γ 是一個有窮SPL 公式集：Γ={(φi,αi)|i=1,2,...,n}，稱Γ*={φi |i=1,2,...,n}為集合Γ 的經(jīng)典投影（classical projection）。

定義2.6(α-截集，嚴格α-截集).令Γ={(φi,αi)| i=1,2,...,n}，稱Γα={(φ,β)∈Γ|β ≥α}和Γαˉ={(φ,β)∈Γ|β ＞α}分別為公式集Γ 的α-截集和嚴格α-截集。

相應地Γα和Γαˉ的經(jīng)典投影分別為

SPL 的公理和推理規(guī)則（[5]）：

（經(jīng)典命題邏輯規(guī)則CPL）令φ是經(jīng)典命題邏輯中的重言式，則(φ,1)1CPL 公理表示命題邏輯的公理，其中，每個公理公式被賦有最大必然度1。；

（必然性弱化規(guī)則CW） 若β ≥α，則(φ,β)?(φ,α)；

（廣義推理規(guī)則GMP）(φ,α),(φ →ψ,β)?(ψ,min{α,β})。

語義層面上，標準可能性邏輯SPL 中命題公式的可滿足性和語義后承等概念是由給定公式集所對應的經(jīng)典解釋集Ω 上的可能性分布π定義（[5]）：

· 可能性分布π滿足公式(φ,α)（并將此可能性分布被記為π(φ,α)）：

π |=(φ,α)，當且僅當，Nπ(φ)≥α，其中Nπ表示與π相關(guān)的必然性測度;

· 可能性分布π滿足公式集Γ={(φi,αi)| i=1,2,...,n}（將此可能性分布記為πΓ）：

π |=Γ，當且僅當，對任意的i ∈{1,2,...,n}，π |=(φi,αi)成立；

· (φ,α)是公式集Γ 的語義后承：

Γ|=(φ,α)，當且僅當，對任意的π，若π |=Γ 則必有π |=(φ,α)。

這里，π是Ω 到區(qū)間[0,1]的映射，通過以下約定對事實的實際狀態(tài)進行靈活的限制，描述主體的知識狀態(tài)（也稱為認知狀態(tài)）：π(ω)=1 表示ω完全可能成為實際世界，π(ω)=0 表示ω完全不可能成為實際世界；同時，若ω |=φ，則π(φ,α)(ω)=1；若ω |=?φ，則π(φ,α)(ω)=1-α。直觀上表達了闡釋公式(φ,α)的基本思想：φ的任何模型都應該是完全可能的，而φ越確定（即α值越大），作為φ的反模型的任何解釋則越是不可能。

這樣，給定的公式集Γ 將在其解釋集Ω 上誘導出一個用可能性分布πΓ進行解碼的優(yōu)先關(guān)系:

其中，若ω |=φi，則π(φi,αi)(ω)=1，否則π(φi,αi)(ω)=1-αi。

命題2.1.令Γ={(φi,αi)| i ∈Z+}是SPL 公式集，π是Γ 所對應的經(jīng)典解釋集Ω 上任意可能性分布，π |=Γ，當且僅當，π ≤πΓ，即，?ω ∈Ω,π(ω)≤πΓ(ω)。

考慮到Γ|=(φi,αi) 等價于πΓ|=(φi,αi)，進而等價于?ω ∈Ω,πΓ(ω)≤π(φi,αi)(ω),i=1,2,...,n，因此，上述命題表明滿足語義約束N(φi)≥αi的條件，可能性分布πΓ為每個解釋ω分配最大可能性度的分布。

定義2.7(可能性測度和必然性測度).令Γ 是SPL 公式集，φ ∈Γ*，與π相關(guān)的可能性測度函數(shù)Π 和必然性測度函數(shù)N分別為：

其中ω ∈Ω。

定義中，函數(shù)Π(φ)用于評估φ在多大程度上與π一致，N(φ)評估φ在多大程度上能夠必然地由π所蘊涵。SPL 系統(tǒng)中必然性測度N具有下列規(guī)則屬性2這里僅列出與本文相關(guān)的函數(shù)N 的性質(zhì)，可能性測度函數(shù)Π 的性質(zhì)以及兩個函數(shù)更多屬性，參見文[5,7]。：

· 合取的最小可分解性NC：N(φ ∧ψ)=min(N(φ),N(ψ))；

· 后承關(guān)系的單調(diào)性NM：若φ|=ψ，則N(φ)≤N(ψ)。

相對于上述的語義解釋，文[5]證明了SPL 是完備的：

命題2.2.Γ?(φ,α)，當且僅當，Γ|=(φ,α)。

例1.原子命題p,q,r構(gòu)成的某知識庫Γ={(p →q,0.8),(p →r,0.9),(p,0.3),(q,0.7),(r,0.8)}，則Γ 所對應的經(jīng)典解釋集Ω 及其所誘導出的可能性分布πΓ如表1 所示。

表1 :公式集Γ 所對應的經(jīng)典解釋集Ω 及其誘導出的可能性分布πΓ

依上述定義，公式(q,0.3)是公式集Γ 的語義后承，即，Γ|=(q,0.3)（由命題2.2 和(p →q,0.8),(p,0.3)?(q,0.3)可得）。當然，由必然性弱化規(guī)則CW 及(q,0.7)∈Γ 也可得Γ|=(q,α),?0≤0.7。但Γ/|=(q,0.8),這是因為：

顯然不成立。

另，由命題2.1，考慮上例表列中的另一可能性分布π′：?ω ∈Ω,π′(ω)≤πΓ(ω)，不難驗證，π′ |=Γ。例如：π′ |=(p →q,0.8)。這等價于驗證即，下式成立：

3 P-ASPIC+論辯框架理論

本節(jié)中，我們將聯(lián)合可能性邏輯和ASPIC+，構(gòu)建新的結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+。作為ASPIC+理論的拓展研究，本文盡可能保持與ASPIC+理論中的記法一致。

定義3.1(論辯系統(tǒng)).論辯系統(tǒng)PAS=(L,R,f)是一個三元組，其中：

·L是標準可能性邏輯SPL 語言且滿足否定運算（?）的封閉性3即，若?Γ ?L,φ ∈Γ* 則?φ ∈Γ*。；

·R={r |r ∈Rs ∪Rd}是推理規(guī)則集：Rd表示形如((φ1,α1),...,(φn,αn)?(ψ,β),τ)可廢止推理規(guī)則集；Rs表示形如((φ1,α1),...,(φn,αn)→(ψ,β),1)嚴格推理規(guī)則集,其中,所有的φi,ψ是L*中的元變量4除非特別聲明，后文中φ,ψ 等公式均表示取自集合L* 中的元變量。，αi,β,τ ∈(0,1]且Rs ∩Rd=?5為保持記法的簡潔性，后文中我們通常以(φ1,...,φn ?ψ,τ)和(φ1,...,φn →ψ,1)的形式分別表示可廢止推理規(guī)則和嚴格推理規(guī)則，其中φi,ψ是L*中的元變量，τ∈(0,1)。；

· 規(guī)則標名函數(shù)f:R →L，且若?r ∈Rs，則f(r)=(φr,1)；否則f(r)=(φr,α)，α ∈(0,1)。

本文沿用文[16]記法，用ψ=-φ表示ψ=?φ或者φ=?ψ。由于本文構(gòu)建的系統(tǒng)允許攻擊發(fā)生在可廢止推理規(guī)則上，也即這類推理規(guī)則的有效性可以受到質(zhì)疑（(?φr,α)意味著攻擊φr相應規(guī)則中的推理規(guī)則r），因此，推理規(guī)則附加上主體的信念度是有意義的，這使得本文中的規(guī)則標名函數(shù)f(r)∈L是全函數(shù)，區(qū)別文[16]中規(guī)則標名函數(shù)。

人工智能領(lǐng)域，通常將被稱為知識庫的一組良基公式K闡釋為智能體相信的一組命題，用以描述主體當前所知道、相信的所有知識（也稱信念庫）。鑒于本文論辯系統(tǒng)中的推理規(guī)則賦有信念度，因此，本文將考察包括推理規(guī)則在內(nèi)的廣義知識庫。令Γ?L，

定義3.2(公式集的一致性，[3]).若(φ,α),(ψ,β)∈Γ，使得?ψ=?φ，則稱Γ 是一致的；反之亦然。

定義3.3(閉包，[3]).嚴格推導規(guī)則下Γ 的閉包ClS(Γ)是滿足下列要求的最小集合：

· Γ?ClS(Γ)；

· 如果((φ1,α1),...,(φn,αn)→(ψ,β),1)∈Γ，(φ1,α1),...,(φn,αn)∈ClS(Γ)，那么，(ψ,β)∈ClS(Γ)。

定義3.4(知識庫).PAS 系統(tǒng)中的知識庫K ?L：K=Kn ∪Kp ∪Kr，其中，Kn表示不可駁斥的公理性事實集，且滿足其閉包的間接一致性；Kp表示作為普通原子命題的前提集；Kr是被主體賦值不同信念度的規(guī)則集。

根據(jù)SPL 的公理CPL和定義3.4，命題3.1 表明知識庫中公理性知識（即不能被被攻擊的事實性的信息）的信念度為1。

命題3.1.若(φ,α)∈Kn，則α=1；

考慮到某些情景中，如主體獲取的信息不完全或模糊歧義，主體可能會完全相信一個普通前提，即，?(φ,α)∈Kp且α ∈(0,1]。因此，命題3.1 的逆命題并不成立；同時，依循文[16]的論證攻擊觀點，我們要求：論證前提上的攻擊僅發(fā)生在普通前提上。

至此，一個基于可能性邏輯的論辯理論被定義如下：

定義3.5(論辯理論).論辯理論PAT=(PAS,Π,K)，其中，PAS 是可能性邏輯的論辯系統(tǒng)，K是該系統(tǒng)中的知識庫，以及相關(guān)知識庫K誘導而得的可能性分布函數(shù)集Π。

值得注意的是，由可能性邏輯語義，描述知識K的可能性分布πK ∈Π 是滿足與K中公式(φi,αi)和形如(φri,βi)這類賦有信念度的推理規(guī)則6后文中，為記法的簡便性，我們也用形如(di,βi)表示賦有信念度規(guī)則的公式。等公式相關(guān)的語義約束限制條件：N(φi)≥αi且N(φri)≥βi，且向每個解釋分配最大可能性程度的可能性分布。因此，任何滿足條件π ≤πK的可能性分布π都與K相一致，使得在論辯理論PAT 中，不存在類似文[11]中概率分布不一致或不完全的問題。

依照文[16]中論證結(jié)構(gòu)化的觀點，論辯理論PAT 中的論證概念被修改如下：

定義3.6(論證).給定具有論辯系統(tǒng)(L,R,f)、信念庫K及相應的可能性分布π，論證A具有以下幾種形式：

(1) (φ,α)，若(φ,α)∈Kn∪Kp且Prem(A)={(φ,α)},Conc(A)={(φ,α)},Sub(A)={(φ,α)},DefRules(A)=?,TopRule(A)=undefined；

(2) ((A1,...,An →(ψ,β)),1)，若A1,...,An是論證，使得R中存在關(guān)于(ψ,β)的嚴格推理規(guī)則：((Conc(A1),...,Conc(An)→(ψ,β)),1)，其中ψ ∈L* {f(r)}，且，

(3) ((A1,...,An,(ψ,β)),α)，若A1,...,An是論證，使得R中存在關(guān)于(ψ,β)的可廢止推理規(guī)則：((Conc(A1),...,Conc(An)?(ψ,β)),α)，其中ψ ∈L*f(r)，且，

注意，條例(2)和(3)中結(jié)論的信念度是由GMP和NC規(guī)則計算而得（事例見后文）。

沿用[16]關(guān)于論證性質(zhì)的定義，論證可被區(qū)分為下列幾種類型：

定義3.7(論證類型).若DefRules(A)=?，則論證A是嚴格的（strict）；否則，A是可廢止的（defeasible）。若Prem(A)?Kn，則論證A是穩(wěn)固的（firm）；若Prem(A)∩Kp/=?，則論證A是可置信的（plausible）。

進一步，若存在關(guān)于(φ,α)的嚴格型論證，該論證的前提取自給定知識庫K，則稱由庫K可推導出(φ,α)，記為K ?(φ,α)；若存在關(guān)于(φ,α)的可廢止型論證，該論證的前提取自給定知識庫K，則稱由庫K可廢止地推導出(φ,α)，記為K |～(φ,α)，α ∈(0,β)。

例2.圖1 是基于知識庫K={(p,1),(d1,0.6),(d2,1)}關(guān)于r的論證，其中Kn={p},Kp=?,Kr={(d1,0.6),(d2,1)}同時Rs={d2},Rd={d1}:d1:p ?q,d2:p,q →r。

該論證是由三個子論證A1,A2,A3構(gòu)成，其中,A1:(p,1);A2:(p,q,0.6);A3:(p,q →r,1)，且Prem(A2)={p};Sub{A2}={A1,A2};DefRules(A2)={(d1,0.6)};TopRules(A2)={(d1,0.6)};Prem(A3)={p};Sub{A3}={A1,A2,A3};Conc{A2}=(q,0.6)（GMP規(guī)則），DefRules(A3)={(d1,0.6)};TopRules(A3)={(d2,1)}。Conc{A3}=(r,0.6)（GMP和NC規(guī)則）。

圖1:一個關(guān)于r 的論證

上述結(jié)果表明，基于此知識庫K，主體對于“以r為結(jié)論的論證A3”為真的信念度不低于0.6。同時，K ?(p,1)；K |～(q,0.6)和K |～(r,0.6)。這里，與該知識庫相關(guān)的一種可能性分布函數(shù)πK如表2 所示。

表2:知識庫K所對應的經(jīng)典解釋集ΩK及其所誘導出的可能性分布πK

由此可能性分布πK可得，N(r)=inf{1-π(ω)| ω |=?r}=0.6，與Conc{A3}=(r,0.6)一致。

接下來，為確定論證間沖突關(guān)系，我們引入論證強度函數(shù)的概念。

定義3.8(論證強度).給定PAT=(PAS,Π,K)，論證強度函數(shù)S:Arg →[0,1]滿足:

·S(A)=α，若A=(φ,α)∈Kn ∪Kp;

·S(A)=β，若A=((A1,...,An →(ψ,β)),1)且β=min(S(A1),...,S(An))；

·S(A)=β，若A=((A1,...,An ?(ψ,β)),α)且β=min(S(A1),...,S(An),α)。

依上述定義，一個論證的強度是由主體對于此論證前提、論證中的推導規(guī)則以及論證結(jié)論這三個維度上的信念度所決定，這使得論證強度函數(shù)S 既保留文[13]中論證強度的涵義,也避免前提的不確定性與論證強度無關(guān)的不足，同時滿足文[20]的主張——論證強度應由論證前提、論證中所使用的推導規(guī)則這些與論證內(nèi)部本身有關(guān)的信息共同確定的。特別地，僅需連續(xù)應用GMP和NC規(guī)則即可獲得給定論證的強度值，且無需考慮“事件獨立性”這類在概率環(huán)境考慮量化論證強度的限制（[20]）。

本文主張文[16]對于論證間攻擊關(guān)系的三類細化：底切、破壞和反駁。

定義3.9(論證間的攻擊).

· 論證A就B′底切論證B,當且僅當,對于B的某個其頂層規(guī)則r是可廢止的子論證B′：Conc(A)=-f(r)；

· 對于B的某個形如或形如β)),α)的子論證B′，論證A就B′反駁論證B，當且僅當，Conc(A)=-ψ7考慮到前提的不確定性可以導致論證結(jié)論的不確定性，這樣，即使論證結(jié)論最終是由嚴格推理規(guī)則而得，但含有普通前提的論證依然可以被反駁。因此，本文將反駁關(guān)系拓展到包含嚴格推理規(guī)則的論證中。；

· 對于B的某個前提(φ,α)，論證A就φ破壞論證B，當且僅當，Conc(A)=-φ。進而，論證強度可以決定論證間擊敗關(guān)系：

定義3.10(論證間的擊敗).

· 若論證A就論證B的某子論證B′反駁B且S(A)/＜S(B′)，則A成功反駁B；

· 若論證A就論證B的某個前提(φ,α)破壞B且S(A)/＜α，則A成功破壞B；

· 若論證A就B的某個形如的子論證B′底切B且S(A)/＜β，則A成功底切B；

· 如果論證A成功地或者反駁B，或者破壞B或者底切B，則稱A擊敗B。

考慮到在實際生活中，因某些緣故導致論證A的強度非常小，這使得我們有理由相信A對于B底切可以是無效的，或不成功的。如，有政治企圖的經(jīng)濟學者通常不能客觀地表達主張（記論證A），那么，這類學者所主張與其政治利益相關(guān)的論證（記為B）都將被A底切。然而，如果某學者政治企圖的可信性很低，使得A的強度非常小，因此，盡管A依然底切B，但其可能是不成功的底切。因此，與ASPIC+主張“對于底切式的擊敗僅要求滿足A底切B”不同，這里，“A成功底切B”還要滿足S(A)/＜β。不過，文[16]所主張“底切是單向攻擊”的要求在本文依然成立。

至此，我們可以獲得基于可能性邏輯的結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+：

定義3.11(P-ASPIC+).對應于給定論辯理論PAT=(PAS,Π,K)的結(jié)構(gòu)化論辯理論是滿足下列條件的三元組P-ASPIC+=(Ar,C,S)，其中：

·Ar是論辯系統(tǒng)PAS 中，從K構(gòu)造出滿足定義3.6 的最小有窮論證集;

· (A,B)∈C，當且僅當，(A,B)∈Att；

·S是與可能性分布集Π 相關(guān)的、定義在論證集Ar上論證強度函數(shù)相應地，Dung 式抽象論辯理論定義如下：

定義3.12(P-SAF).對應給定的結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+=(Ar,C,S)的抽象論辯框架P-SAF=(Ar,D)，其中，D是關(guān)于論證集Ar間依照定義3.10 所確定的擊敗關(guān)系。

在SPL 中，GMP和NC都遵循最小化信念度原則，因此，在P-SAF 中，

論證A擊敗論證B，當且僅當，A攻擊B且S(A)/＜S(B)。

前述AF 四種經(jīng)典語義下評估合理論證的標準同定義2.3 一致，這里不再累述。同時，為了確保P-ASPIC+滿足文[15]和文[3]所提出的“合理性論辯理論的公設”（見后文第3 節(jié)），P-ASPIC+需要滿足轉(zhuǎn)置（transposition）和對置（contraposition）下的封閉性（轉(zhuǎn)置、對置的定義參見文[15]）。

給定某論辯理論，評估最終論證結(jié)論的合理可證性（justified）被定義如下：

定義3.13(論證結(jié)論的評估).如果φ是一個懷疑性合理可證型論證的結(jié)論，那么，φ也是懷疑性合理可證的。如果φ是一個輕信性而非懷疑性合理可證型論證的結(jié)論，那么，φ也是輕信性合理可證的。

基于P-ASPIC+，考察下文事例（改變自文[16]例3.7）：

圖2:由K 構(gòu)成的P-ASPIC+框架及其相應的AF 框架，其中論證A、B、C、D分別對應論證A3、B3、C3 和D4

例3.給定知識庫K={(p,1),(s,0.7),(u,0.8),(x,0.7),(d1,0.6),(d2,0.7),(d3,0.9),(d4,0.85),(d5,0.8),(s1,1),(s2,1)}，其中d1:p ?q;d2:s ?t;d3:t ??d1;d4:u ?v;d5:v,x ??t;s1:p,q →r;s2:v →?s。由K構(gòu)成的結(jié)構(gòu)化論辯框架及其相應的抽象論辯框架分別如圖2(a)和2(b)所示。

由定義3.6 和定義3.8 知，C1=(u,0.8)且S(C1)=0.8;C2=(C1,(v,0.8),0.85)，且S(C2)=min{S(C1),0.85}=0.8；進而,S(C3)=min{S(C1),S(C2)}=0.8；實際上，也可應用GMP規(guī)則：由(u,0.8),(u ?v,0.85)?(v,0.8)；進而，由(v,0.8),(v →?s,1)?(?s,0.8)；即，由C3=((C1,C2→(?s,0.8)),1)，則，S(C3)=0.8；同理可得:S(B3)=0.7。

考慮論證D4：由D4=((D2,D3,(?t,0.7)),0.8)，其中，D1=C1,D2=C2,D3=(x,0.7)且S(D2)=S(C2)=0.8；S(D3)=0.7，故，S(D4)=min{S(D2),S(D3),0.8}=0.7；同樣，應用GMP和NC規(guī)則：由(u,0.8),(u ?v,0.85)?(v,0.8)，那么，由N(v ∧x)=min{N(v),N(x)}=0.7 且(v,0.8),(x,0.7),(v,x ??t,0.8)?(?t,0.7)，可得，S(D4)=0.7；同理可得S(A3)=0.6。

這樣，因為S(C3)=0.8＞S(B3)=0.7;S(D4)=0.7=S(B3)=0.7;S(B3)=0.7＞S(A3)=0.6，則由定義3.10 知，論證C3成功破壞了論證B3，即C3擊敗B3；論證D4和B2彼此成功反駁了對方，即D4和B3相互擊?。欢鳥3擊敗了A3,因為B3成功底切了A3。

對應到P-SAF理論中，在前述四種經(jīng)典語義下，都存在唯一相同的外延E=={A1,A2,A3,C1,C2,C3,D3,D4}，并且結(jié)論r既是懷疑型也是輕信性合理可證的。

4 論證偏好與論證強度

文[15]、[3]討論了合理的論證偏好序應當滿足的三個性質(zhì)：(1)論證強度完全由可廢止規(guī)則和前提決定；(2)嚴格且牢固的論證好于其他論證；(3)偏好序的無環(huán)性且滿足：若論證A好于論證B，則A也好于B的某個極大非可靠（maximal fallible）（即，可廢止的或可置信的）子論證B′。8某論證B 的子論證B′ 是極大非可靠的：(1)若B′ 的頂層導規(guī)則是可廢止的或是普通前提；(2)不存在B 的其他子論證B′′，使得B ∈Sub(B′′)且滿足條件(1)。

在P-ASPIC+中，我們通過論證強度刻畫論證間偏好關(guān)系（A ≤B等價于S(A)≤S(B)），進而確定論證間擊敗關(guān)系，因此，強度函數(shù)S滿足性質(zhì)(1)。下文定理4.1 則分別確保S也滿足后兩個性質(zhì)要求。

定理4.1.給定結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+=(Ar,C,S)，強度函數(shù)S滿足：

(1) 若Prem(A)?Kn且DefRules(A)=?（即A是牢固且嚴格的論證），則S(A)≥S(B)，?B ∈Ar且Prem(B)/?Kn或DefRules(B)/=?；

(2) 集合{S(A)|?A ∈Ar}是有界全序集；

(3) 設A,B ∈Ar，且B′是B中極大非可靠子論證，那么，若S(A)＞S(B)，則S(A)＞S(B′)。

證明.

· 若Prem(A)?Kn且DefRules(A)=?，則根據(jù)論證強度定義2.1，S(A)=1。進而，S(A)≥S(B),?B ∈Ar且Prem(B)/?Kn或DefRules(B)/=?；

· 由定義3.8，易得：0≤S(A)≤1，且{S(A)|?A ∈Ar}中≤具有反對稱性、傳遞性和三歧性。

·（反證）若不然，則對于B中任意一個極大非可靠子論證B′，都有S(A)≤S(B′)，

-若B′=B，則S(A)≤S(B)，與已知條件S(A)＞S(B)矛盾；

-若B′/=B，由于B′是B中任意一個極大非可靠子論證，那么，根據(jù)GMP和NC規(guī)則，若S(A)≤S(B′)，則必有S(A)≤S(B)，同樣與已知S(A)＞S(B)矛盾。

故,假設不成立，定理得證。

5 合理性公設的討論

文[3]提供判別基于規(guī)則論辯系統(tǒng)優(yōu)劣的合理性公設，實例表明一個好的論辯系統(tǒng)應當滿足這些性質(zhì)的必要性。本節(jié)中，我們將證明相對于基底語義，P-ASPIC+符合這些合理公設要求。

合理論論辯系統(tǒng)的公設（[3]）令E是給定語義下的任一外延，

子論證的閉包性?A ∈E，若A′ ∈Sub(A)，則A′ ∈E；

嚴格規(guī)則的閉包性{Conc(A)|A ∈E}=ClS(Conc(A)|A ∈E)；

直接一致性{Conc(A)|A ∈E}是一致的；

間接一致性ClS({Conc(A)|A ∈E})是一致的；

P-ASPIC+并無改變ASPIC+中的子論證定義，則由文[19]中命題6.1 和命題6.2 知：

定理5.1.給定某結(jié)構(gòu)化論辯P-ASPIC+=(Ar,C,S)理論，E是基底語義下的外延，那么，對于任意論證A ∈E，若A′ ∈Sub(A)，則A′ ∈E。

具有對置或轉(zhuǎn)置下的封閉性確保P-ASPIC+滿足嚴格規(guī)則的閉包性：

定理5.2.給定某結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+=(Ar,C,S)，E是基底語義下的外延，那么，對于任意論證A ∈E，{Conc(A)|A ∈E}=ClS({Conc(A)|A ∈E})。

證明.（反證）假設P-ASPIC+不具備嚴格規(guī)則的閉包性，這等價于：?(φ,α)∈{Conc(A)|A ∈E}，且((φ,α)→(ψ,β),1)∈Rs但(ψ,β)/∈{Conc(A)|A ∈E}，那么，因為((φ,α)→(ψ,β),1)∈Rs，則由GMP知，β=α，即，

因為主張結(jié)論φ的某論證Ai ∈E且主張結(jié)論ψ的某論證Bi/∈E，則，對于主張結(jié)論?φ的論證和主張結(jié)論?ψ的論證其中這等價于,

由((?ψ,β′)→(?φ,α′),1)∈Rs（P-ASPIC+轉(zhuǎn)置封閉性）推知，α′=β′，即，N(?ψ)=N(?φ)。那么，由(2)式，N(φ)＞N(?φ)=N(?ψ)＞N(ψ)；這與(1)式矛盾，故，原假設不成立，定理得證。

文[15]證明：當基于ASPIC+框架的論辯理論是良定義（well-defined）的（即，該理論滿足公理事實的一致性，且具有推導規(guī)則的轉(zhuǎn)置和對置的封閉性，以及關(guān)于論證間的偏好序是合理的），則這類ASPIC+論證也滿足上述2 個關(guān)于一致性的公設要求。因此，依據(jù)定理4.1、定義3.4 及具有轉(zhuǎn)置和對置下的封閉性的P-ASPIC+，我們可得：

定理5.3.給定結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+=(Ar,C,S)，E是基底語義下的外延，那么，{Conc(A)|A ∈E}和ClS({Conc(A)|A ∈E})都是一致的。

6 相關(guān)研究比較

文[4]和文[1]都是聯(lián)合可能性邏輯和形式論辯理論的研究。文[4]將必然性值添加到推導規(guī)則中，依據(jù)GMP規(guī)則，通過論證傳遞生成這些推導規(guī)則的最大推演度——推導規(guī)則強度，將其用于區(qū)分細化論證間的攻擊和擊敗關(guān)系。文[4]定義論證間擊敗關(guān)系的技術(shù)做法與本文相似。但由于[4]旨在拓展可廢止邏輯程序設計（DeLP）——一類基于規(guī)則的論辯理論，使得論證中的可廢止性被限定在推導規(guī)則間;本文是關(guān)于AF 理論（或結(jié)構(gòu)化論辯理論ASPIC+）的拓展研究，論證前提或推導規(guī)則都可能存在可廢止性。文[1]綜合基于論辯的談判方法和尋求權(quán)衡（trade-off）的啟發(fā)式方法的優(yōu)勢，構(gòu)建了一類基于可能性邏輯的協(xié)商談判框架，用于提出一種新的談判方法。無論是在研究對象和研究目標上，文[1]不同與本文工作。

在可能性理論的量化應用研究中，必然性測度和可能性測度分別對應概率測度的上、下確界，因此，有必要將本文的工作與近年來發(fā)展起來的概率論辯理論進行比較研究。特別是由A.Hunter，M.Thimm 等學者在概率論辯理論研究方面所做出開拓性的工作。（[10-14,17,18,21]）

取決于不確定性是否存在論證之中或是圍繞著論證，當前概率論辯理論的研究可分為兩種：概率被用于表達“主體是否接受某個論證在論辯框架中應當存在的不確定性”，也即“存在于論辯圖拓撲中的不確定性”（[13]），這是概率在論證中的外部使用（[11]所稱的集群式（constellations）方法）；利用概率描述主體對于論證其前提的真實性或其推論可靠性的研究屬于概率在論證中的內(nèi)部使用（[11]所稱認知論（epistemic）方法）。類比下，本文可歸屬到可能性論證的“認知論方法”的研究。同文[11,13,18]等一系列關(guān)于概率認知式論證研究相比，盡管兩類研究具有相同的核心思想——量化論證的信念度，和相同的研究目標——拓展抽象論辯理論，但由于本文所基于的底層理論是可能性理論及其邏輯系統(tǒng)SPL，研究對象是結(jié)構(gòu)化論辯框架ASPIC+，使得兩類研究在技術(shù)方法和結(jié)果呈現(xiàn)上存在明顯的差別：前者通過語言模型上的概率分布捕捉論證的不確定性，經(jīng)典邏輯論證的強度被定義為所有前提合取的概率或?qū)⒄撟C強度定義為給定前提下論證結(jié)論的條件概率（[13]）；本文討論結(jié)構(gòu)化論辯，論證的不確定性由滿足語言模型上的可能性分布、論證前提和推導規(guī)則共同刻畫，論證強度由論證前提、論證中所使用的推導規(guī)則這些與論證內(nèi)部本身有關(guān)的信息共同確定的。特別地，可能性分布的非可加性不確定性模型使得P-ASPIC+中的可能性分布不會出現(xiàn)前者理論中所存在的“概率分布不完全、不一致的問題，因此，為避免出現(xiàn)不完全和不一致的概率分布，文[11,13]所討論的合理概率函數(shù)的若干公設在本文中并不需要考慮。

7 結(jié)語

基于可能性邏輯，本文建構(gòu)一個符合良好論證系統(tǒng)公設條件的結(jié)構(gòu)化論辯理論P-ASPIC+,實例展示其對不確定性知識的量化處理，擴展原有結(jié)構(gòu)化論辯理論ASPIC+定性化推理能力。特別地，P-ASPIC+中論證強度概念能夠自然清晰闡釋論證中的不確定性，且論證強度函數(shù)S 使得我們僅通過數(shù)值比較即可確定論證間的偏好關(guān)系，識別論證間的擊敗關(guān)系。條件化P-ASPIC+可廢止性推理規(guī)則的信念度，使其滿足文[19]中最后鏈和最弱鏈規(guī)則相應的適用原則（用于論證偏好序的確定）是未來研究關(guān)注的重點。同時，考慮到可能性邏輯可通過公式截集所誘導的分層結(jié)構(gòu)處理知識庫的不一致性（[6]），和基于可能性邏輯的圖氏貝葉斯類網(wǎng)絡的應用開發(fā)（[8]），因此，聯(lián)合這些技術(shù)成果到論辯聚合和貝葉斯網(wǎng)絡的論證分析中，也是未來進一步的研究方向。