L1范數(shù)估計(jì)平差原理及抗差性分析

王冠宇

（山東理工大學(xué)，山東 淄博 255000）

粗差會(huì)對最小二乘估計(jì)造成不良影響，即觀測值中含有粗差時(shí)，采用最小二乘法求得的參數(shù)估值變得不再可靠[1]。L1范數(shù)最小估計(jì)作為一種穩(wěn)健估計(jì)方案，雖然在計(jì)算效率方面弱于最小二乘，但在抗差方面有較為明顯的優(yōu)勢[2]。目前對L1范數(shù)估計(jì)在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用已有大量研究，如L1范數(shù)在控制網(wǎng)觀測值粗差探測，以及衛(wèi)星定位中的應(yīng)用等[3-4]。

在進(jìn)行平差處理時(shí)，對于小樣本觀測的情形，計(jì)算效率并不是考慮的主要因素，保證精度為首要目標(biāo)。在一般的觀測過程，粗差出現(xiàn)的概率在1%~10%，且不服從正態(tài)分布[5-6]。此時(shí)若使用單純最小二乘估計(jì)進(jìn)行平差解算，參數(shù)估計(jì)必然會(huì)失實(shí)；若采用L1范數(shù)最小估計(jì)，是否會(huì)取得較高精度的參數(shù)平差值有待驗(yàn)證。

基于上述理論，本文詳細(xì)解釋了L1范數(shù)在平差過程中的應(yīng)用原理，并采用matlab軟件模擬觀測值，通過平差實(shí)驗(yàn)，從內(nèi)、外符精度等方面對最小二乘估計(jì)和L1范數(shù)最小估計(jì)方案的抗差性以及殘差特性作出討論。實(shí)驗(yàn)表明，最小二乘會(huì)使粗差等概率分配到正常觀測值上，即不能從殘差分布上探測到粗差；L1范數(shù)則不受影響，對粗差觀測值作出有效探測。

1 L1范數(shù)估計(jì)模型及平差原理

1.1 L1估計(jì)兩種算法平差模型

設(shè)有誤差方程[7]：

基于線性規(guī)劃理論，對式（1）采用單純形法求解，其估計(jì)準(zhǔn)則[8]：

其中：n為觀測值個(gè)數(shù)；pi為獨(dú)立觀測值的權(quán)，vi為第i個(gè)觀測值的殘差；P和V為相應(yīng)的權(quán)陣和殘差向量。求解L1范數(shù)估計(jì)時(shí)通常使用基于線性規(guī)劃的單純形法或選權(quán)迭代法，解得待估參數(shù)及殘差V。將參數(shù)平差式（1）作為約束條件的L1估計(jì)數(shù)學(xué)模型[9]：

將（4）代入模型式中可得到線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式[10]：

式（5）為具有概括性的L1范數(shù)平差模型?；谶x權(quán)迭代法求解L1范數(shù)，取ρ函數(shù)為ρ（ν）=|ν|，則估計(jì)準(zhǔn)則[11]：

式中：νi為觀測值改正數(shù)；ρ（νi）為觀測值權(quán)函數(shù)，式（6）對求導(dǎo)，得

如此進(jìn)行法方程解算并迭代，直到前后兩次解的差值符合限差要求為止。選權(quán)迭代法解算L1范數(shù)已有較多討論，在此不多贅述，本文使用算法和模型相對完備的單純形法對L1范數(shù)估計(jì)進(jìn)行求解。

1.2 單純形法求解L1范數(shù)原理

標(biāo)準(zhǔn)形式的單純形法用向量形式表示如下[12]：

約束方程組的系數(shù)矩陣的任意非奇異子方陣B，其列向量線性無關(guān)，稱為一個(gè)基矩陣，用B來表示B＝（P1，…，Pm）。除基變量以外的變量Pi（i=m+1，…，n），非基矩陣用N表示N＝（Pm+1，Pm+2，…，Pn）。從而可以將系數(shù)矩陣寫為分塊的形式A=（B，N），記XB＝（x1，x2，…，xm）T，XN＝（xm+1，xm+2，…，xn）T，這樣待求解X寫為分塊形式，即BXB+NXN=b，由此解得：

這是用非基變量表達(dá)基變量的公式。此時(shí)可以將XN看作一組自由變量，給它們?nèi)我庖唤M值，得，這就是約束方程組的一個(gè)解。如令式（5）中所有的非基變量，則，稱解為線性規(guī)劃問題的基本可行解。

在式（10）中令xN=0，得，則式（5）相當(dāng)于。將式（10）代入目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，即得用非基變量表達(dá)目標(biāo)函數(shù)的公式：

此時(shí)若記目標(biāo)函數(shù)在x(0)處的值為f(0)，即，再記，則目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式可寫為：

λj可用來判斷一個(gè)基可行解是否為最優(yōu)解，對于某線性規(guī)劃問題的一個(gè)基B，若全部λN＝cN-cBB-1N≥0，則對應(yīng)的基解x(0)便是LP的最優(yōu)解，否則重復(fù)上述過程。

2 實(shí)驗(yàn)分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備及流程

假設(shè)某觀測向量為Y，參數(shù)真值向量為X，其存在以下關(guān)系：

式中ε是誤差向量。為了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方便，我們給定真值X和設(shè)計(jì)矩陣A，則觀測值的真值向量：

給定的參數(shù)真值X＝[1，2，3]T；隨機(jī)生成100×3的設(shè)計(jì)矩陣A；根據(jù)不同情況生成的100×1的誤差向量ε。生成模擬數(shù)據(jù)后，為了直觀展示最小二乘估計(jì)與L1范數(shù)估計(jì)之間的差異，使用如下方案進(jìn)行解算：

（1）生成服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的無粗差正態(tài)分布誤差，分別用最小二乘估計(jì)和L1范數(shù)估計(jì)進(jìn)行計(jì)算，重復(fù)計(jì)算過程10次，得到當(dāng)誤差分布服從正態(tài)分布時(shí)的參數(shù)X；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，對每次生成的數(shù)據(jù)添加10%的較大粗差，并比較2種算法的結(jié)果差異。

2.2 實(shí)驗(yàn)分析

為對比2種算法所得結(jié)果，使用內(nèi)符精度和外符精度進(jìn)行直觀展現(xiàn)[2]。參數(shù)的內(nèi)符精度含義為所有組數(shù)據(jù)計(jì)算的參數(shù)中誤差的平均，即為第i組數(shù)據(jù)第n個(gè)參數(shù)的中誤差。參數(shù)的外符精度為所有數(shù)據(jù)計(jì)算的參數(shù)真誤差的均方根，即mn=為第i組數(shù)據(jù)第n個(gè)參數(shù)的中誤差。

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)流程，得到結(jié)果見表1。

表1 2種方法精度對比

由表1我們可以看出，當(dāng)誤差服從正態(tài)分布的時(shí)候，最小二乘估計(jì)和L1范數(shù)估計(jì)的內(nèi)、外符精度存在較小差別，最小二乘估計(jì)精度稍優(yōu)于L1范數(shù)估計(jì)，說明此時(shí)最小二乘估計(jì)最優(yōu)。而當(dāng)添加粗差時(shí)，對最小二乘估計(jì)會(huì)造成嚴(yán)重影響，L1范數(shù)則能避免粗差影響，依然保持和無粗差時(shí)相同的精度。下面，我們通過2種方案的殘差值來進(jìn)一步分析。

從圖1中我們可以看出，在使用最小二乘估計(jì)平差時(shí)，會(huì)將粗差無差別等概率分配到其他觀測值中，導(dǎo)致無法從殘差結(jié)果進(jìn)行粗差觀測值的定位。說明最小二乘估計(jì)不具有抗差性，粗差會(huì)損害最小二乘估計(jì)的平差結(jié)果，從而無法達(dá)到預(yù)期精度。

圖1 最小二乘估計(jì)殘差值

由圖2我們可以看出，L1范數(shù)估計(jì)的殘差值能精確定位粗差觀測值，真殘差會(huì)分配到粗差較大的觀測值上，說明L1范數(shù)具有較強(qiáng)的抗粗差能力。

圖2 L1范數(shù)估計(jì)殘差值

3 結(jié)束語

通過L1范數(shù)估計(jì)和最小二乘估計(jì)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，小樣本情況下，當(dāng)觀測中不含粗差時(shí)，最小二乘估計(jì)和L1范數(shù)估計(jì)精度相差不大；當(dāng)觀測值中含有粗差時(shí)，L1范數(shù)最小估計(jì)能獲得較好的平差結(jié)果，這與L1范數(shù)的解算原理有關(guān)，總是能在準(zhǔn)則下選得最優(yōu)的平差解。

雖然L1范數(shù)估計(jì)相比最小二乘有良好的抗差性，但并不能說L1范數(shù)估計(jì)強(qiáng)于最小二乘，其在某些情況存在不能真實(shí)反映粗差信息的問題，且其多適用于小樣本參數(shù)估計(jì)。在抗差領(lǐng)域，發(fā)展L1范數(shù)與最小二乘相結(jié)合的抗差估計(jì)方法，進(jìn)而為抗差最小二乘提供高質(zhì)量、高可靠性殘差信息，讓最小二乘變得適應(yīng)性更強(qiáng)。