六自由度平臺(tái)動(dòng)力學(xué)前饋柔順控制研究

倪 濤 徐海遠(yuǎn) 李 東 張紅彥

1.燕山大學(xué)車輛與能源學(xué)院，秦皇島，0660042.吉林大學(xué)機(jī)械與航空航天工程學(xué)院，長(zhǎng)春，130022

0 引言

現(xiàn)有的裝配機(jī)器人大多是串聯(lián)關(guān)節(jié)機(jī)器人[1-2]，但串聯(lián)機(jī)器人承載能力小，一般只能應(yīng)用于小型、輕型零件的裝配[3-4]。與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人相比，Stewart平臺(tái)具有剛度大、負(fù)載能力強(qiáng)、精度高等優(yōu)點(diǎn)[5-6]，在大型部件的裝配和航天對(duì)接領(lǐng)域應(yīng)用越來(lái)越廣泛[7]。在裝配過(guò)程中機(jī)器人的末端執(zhí)行器會(huì)與環(huán)境接觸，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)會(huì)受到空間的限制[8-9]，因此，需要在控制機(jī)器人位置的同時(shí)還要考慮對(duì)機(jī)器人與環(huán)境接觸時(shí)相互作用力的控制[10-12]。

柔順性是指機(jī)器人在與環(huán)境接觸時(shí)能夠?qū)ν獠孔饔昧Ξa(chǎn)生自然順從的能力。針對(duì)機(jī)器人的柔順控制，CHEAH等[13]設(shè)計(jì)了一種力/位置混合控制方法，該方法將機(jī)器人末端受到的約束力和位置分開(kāi)控制，進(jìn)行力控制的關(guān)節(jié)不再參與位置的控制，同時(shí)參與位置控制的關(guān)節(jié)也不再參與力的控制，從而實(shí)現(xiàn)同時(shí)控制機(jī)器人末端位置和接觸力的目的。SONG等[14]提出了一種工業(yè)機(jī)器人智能控制方法，它可以跟蹤磨削工藝中工件的形狀以及接觸力不連續(xù)變化，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)精確控制機(jī)器人的磨削運(yùn)動(dòng)。KRONANDER等[15]綜合考慮阻抗控制過(guò)程中，剛度、阻尼以及阻尼的時(shí)間倒數(shù)等阻抗參數(shù)對(duì)機(jī)器人控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提出一種剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)可變的阻抗控制方法，仿真結(jié)果表明，該方法增加了系統(tǒng)的靈活性。以上柔順控制方法需要將力/扭矩傳感器安裝在機(jī)械手的末端執(zhí)行器、關(guān)節(jié)或底座上，通過(guò)傳感器感知機(jī)器人受到的力，將力偏差作為系統(tǒng)的輸入量，調(diào)整機(jī)器人的位姿。然而，精密的傳感器價(jià)格昂貴， 此外，在機(jī)器人關(guān)節(jié)處安裝力傳感器會(huì)使關(guān)節(jié)剛度減小，限制機(jī)械手的有效載荷能力和操作環(huán)境。

由于使用傳感器檢測(cè)外力具有一定的局限性，相關(guān)學(xué)者提出了無(wú)傳感器柔順控制方法。LEE等[16]通過(guò)監(jiān)測(cè)電機(jī)電流來(lái)估計(jì)碰撞引起的外部力矩，提出了一種不需要任何傳感器的碰撞檢測(cè)方法。DUTTA等[17]提出了一種應(yīng)用在六自由度R-S-S(旋轉(zhuǎn)-球形-球形)結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)械手上的無(wú)傳感器主動(dòng)柔順控制方法，該方法僅基于執(zhí)行器電流反饋估計(jì)關(guān)節(jié)扭矩，設(shè)計(jì)了一種三層級(jí)聯(lián)阻抗控制器，大大節(jié)省了成本。

考慮到在機(jī)器人末端安裝傳感器會(huì)使機(jī)器人的承載能力減小，機(jī)器人的制造成本也會(huì)大大增加，因此為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文在不使用任何外力/力矩傳感器的情況下，提出一種基于摩擦補(bǔ)償?shù)牧杂啥绕脚_(tái)柔順控制方法。采集伺服電機(jī)編碼器的數(shù)據(jù)，利用庫(kù)侖摩擦模型和黏性摩擦模型對(duì)伺服電動(dòng)缸的摩擦力進(jìn)行估算，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定各電動(dòng)缸的摩擦參數(shù)。最后提出了一種動(dòng)力學(xué)前饋控制方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法在六自由度平臺(tái)柔順控制中有效且可靠。

1 理論模型建立

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文所研究的Stewart并聯(lián)六自由度平臺(tái)是一種6-UPS結(jié)構(gòu)。平臺(tái)電動(dòng)缸與動(dòng)平臺(tái)通過(guò)球鉸連接，與固定平臺(tái)通過(guò)萬(wàn)向節(jié)連接。點(diǎn)ai和bi(i=1，2，…，6)表示球形接頭和萬(wàn)向節(jié)的中心。

固定坐標(biāo)系Bxyz和移動(dòng)坐標(biāo)系Px′y′z′如圖1所示，x軸是b1b2的中垂線，z軸垂直于固定基座的平面，y軸由右手定則確定。x′軸是a1a2的中垂線，z′軸向上并垂直于移動(dòng)平臺(tái)的平面，y′軸由右手定則確定。

圖1 Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of Stewart platform

定義廣義坐標(biāo)向量q=(x，y，z，φ，θ，φ)T，其中，(x，y，z)表示移動(dòng)坐標(biāo)系{P}相對(duì)于固定坐標(biāo)系{B}的位置，(φ，θ，φ)表示移動(dòng)坐標(biāo)系{P}相對(duì)于固定坐標(biāo)系{B}的空間姿態(tài)[18]。

為了避免奇異位置在平臺(tái)正常工作的情況下出現(xiàn)，可以采用Z—X—Z歐拉角的坐標(biāo)變換順序，即移動(dòng)坐標(biāo)系Px′y′z′相對(duì)于固定坐標(biāo)系Bxyz的姿態(tài)可以通過(guò)繞z′軸旋轉(zhuǎn)φ角度，然后繞x′軸旋轉(zhuǎn)θ角度，最后繞z′軸旋轉(zhuǎn)φ角度得到。移動(dòng)坐標(biāo)系{P}相對(duì)于固定坐標(biāo)系{B}的旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為

BRP=

(1)

式中，c表示cos函數(shù)，s表示sin函數(shù)。

(2)

(3)

(4)

(5)

圖2 坐標(biāo)系分配[20]Fig.2 Coordinate system assignment[20]

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

選擇拉格朗日方程作為Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程[21-23]：

(6)

τ=(fx，fy，fz，τφ，τθ，τφ)T

(7)

(8)

(9)

設(shè)Fd=(f1，f2，…，f6)T表示電動(dòng)缸伸縮桿的驅(qū)動(dòng)力矢量，則τ和Fd之間轉(zhuǎn)換關(guān)系為

τ=(J-1)TFd

(10)

式(6)表示末端姿態(tài)的廣義向量q的動(dòng)力學(xué)方程，把它轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間中，有

(11)

Ml(l)=JTM(q)J

(12)

(13)

Gl(l)=JTG(q)

(14)

2 基于摩擦補(bǔ)償?shù)膭?dòng)力學(xué)前饋控制

2.1 摩擦模型

Stewart平臺(tái)的摩擦包括電機(jī)的摩擦和滾珠絲杠與螺母接觸面相對(duì)運(yùn)動(dòng)的摩擦。在研究電動(dòng)缸運(yùn)動(dòng)的摩擦力時(shí)，可以把這兩部分摩擦力作為一個(gè)整體來(lái)研究。動(dòng)態(tài)摩擦模型雖然能較準(zhǔn)確地描述摩擦特性，但它具有摩擦參數(shù)多、辨識(shí)困難等特點(diǎn)，不適合實(shí)際應(yīng)用。表達(dá)摩擦的經(jīng)典模型之一是庫(kù)侖摩擦模型，并且?guī)靵瞿Σ聊Ｐ瓦M(jìn)一步發(fā)展為由庫(kù)侖摩擦、黏性摩擦和Striebeck摩擦組成的靜摩擦模型[24]。本文采用圖3中的庫(kù)侖和黏性摩擦模型，該模型簡(jiǎn)化了低速的非線性區(qū)域，對(duì)高速區(qū)域使用黏性摩擦模型可以更準(zhǔn)確地描述摩擦力與速度的線性關(guān)系[25]。

(a)庫(kù)侖摩擦 (b)黏性摩擦

庫(kù)侖摩擦和黏性摩擦數(shù)學(xué)模型用公式表示為

(15)

(16)

式中，F(xiàn)f為總摩擦力；Fc為庫(kù)侖摩擦力；fv為黏性摩擦系數(shù)；v為滾珠絲杠與螺母之間的相對(duì)速度；P為滾珠絲杠的導(dǎo)程；ωm為電機(jī)的角速度，由于沒(méi)有減速機(jī)，滾珠絲杠的角速度等于電機(jī)的角速度。

溫淑煥[26]將電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量合并，建立了滾珠絲杠在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中考慮摩擦的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

(17)

式中，Td為電磁轉(zhuǎn)矩；Jm、JL分別為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Tvf、Tcf、TL分別為伺服運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的黏性摩擦力矩、庫(kù)侖摩擦力矩和滾珠絲杠的負(fù)載力矩。

系統(tǒng)的受力力矩T與受力F之間關(guān)系如下：

(18)

式中，η為滾珠絲杠的傳動(dòng)效率。

2.2 動(dòng)力學(xué)前饋控制

柔順控制主要用于機(jī)器人與環(huán)境相互作用的工作場(chǎng)合，可以減少機(jī)器人與環(huán)境之間的接觸力，保證機(jī)器人工作過(guò)程的安全性和可靠性[27]。在實(shí)際應(yīng)用中，柔順運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的速度較小，一般可以忽略科氏力和離心力的影響，此時(shí)只要補(bǔ)償了平臺(tái)自身的重力和摩擦力，平臺(tái)就可以跟隨外力進(jìn)行柔順運(yùn)動(dòng)。

Fd=Gl(l)=JTG(q)

(19)

在力矩模式下，可以通過(guò)伺服電機(jī)的編碼器獲得電機(jī)的轉(zhuǎn)角。將電機(jī)轉(zhuǎn)角代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，得到Stewart平臺(tái)的末端位姿，然后將平臺(tái)末端的位姿信息代入逆動(dòng)力學(xué)，得到6個(gè)電動(dòng)缸的驅(qū)動(dòng)力Fd，最后計(jì)算出電機(jī)的重力項(xiàng)力矩TG。TG和Fd之間的關(guān)系可通過(guò)式(18)得到。動(dòng)力學(xué)前饋控制器的總體框圖見(jiàn)圖4，其中，Te為PID控制器根據(jù)位置偏差計(jì)算的力矩值。

圖4 動(dòng)力學(xué)前饋控制框圖Fig.4 Control framework for dynamic feedforward

(20)

當(dāng)平臺(tái)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩Tm為

(21)

式中，Kp、Ki、Kd分別是比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；e(k)為期望的電動(dòng)缸的長(zhǎng)度與當(dāng)前實(shí)際電動(dòng)缸的長(zhǎng)度的差值。

本文提出的柔順控制方法利用PID控制律對(duì)關(guān)節(jié)的位置進(jìn)行控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)末端位姿的精確跟蹤，此外由于采用了PID控制方法，可以使平臺(tái)在力消除后回到初始姿態(tài)。式(4)用于計(jì)算6個(gè)電動(dòng)缸的速度，當(dāng)受到外力作用時(shí)，平臺(tái)的位置會(huì)發(fā)生微小的變化，動(dòng)力學(xué)模型和摩擦模型描述了該位置的轉(zhuǎn)矩，反饋?zhàn)饔糜陔姍C(jī)。平臺(tái)受到外力時(shí)會(huì)順應(yīng)外力移動(dòng)。

3 實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提出的Stewart平臺(tái)動(dòng)態(tài)前饋控制算法，搭建了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意見(jiàn)圖5。

圖5 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.5 Schematic of experimental system

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)采用Stewart平臺(tái)作為驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)。驅(qū)動(dòng)電動(dòng)缸的電機(jī)為INVT的SV-ML08-0R7G-2-1A0-100X，額定轉(zhuǎn)速為3000 r/min，采用CANET-8E-U通信板進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，滿足同步性和實(shí)時(shí)性的要求。最后，采用ISV-DA200伺服驅(qū)動(dòng)作為實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)更精確的定位和與CAN板的連接。系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表1所示。

表1 Stewart平臺(tái)性能指標(biāo)

實(shí)驗(yàn)一是對(duì)摩擦參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，采用離線參數(shù)辨識(shí)方法。以電動(dòng)缸1為例，將無(wú)外部負(fù)載的電動(dòng)缸拆下并水平放置。在位置控制模式下，從低到高等間隔發(fā)出速度指令(-10～10 rad/s)，然后在系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)通過(guò)編碼器反饋值讀取電磁轉(zhuǎn)矩，此時(shí)獲得的電磁轉(zhuǎn)矩近似等于摩擦轉(zhuǎn)矩。當(dāng)電機(jī)工作時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩不是一個(gè)固定的數(shù)字，因此，當(dāng)電動(dòng)機(jī)以一定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，有必要收集盡可能多的數(shù)據(jù)，并找出這些數(shù)據(jù)的平均值作為該速度下的電磁轉(zhuǎn)矩。電動(dòng)缸實(shí)際測(cè)量的摩擦力矩離散數(shù)據(jù)如圖6所示。用最小二乘法對(duì)測(cè)量的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，可以求得直線的斜率和截距。直線的斜率表示黏性摩擦系數(shù)，截距表示庫(kù)侖摩擦力矩。參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表2所示。

圖6 離線摩擦參數(shù)辨識(shí)Fig.6 Off-line friction identification

第二個(gè)實(shí)驗(yàn)在力矩模式下進(jìn)行，分析電機(jī)轉(zhuǎn)矩誤差。給定沿z軸的正弦位置信號(hào)輸入，分別采集6臺(tái)電機(jī)的力矩反饋數(shù)據(jù)。從收集的數(shù)據(jù)中減去重力產(chǎn)生的力矩和摩擦力矩，結(jié)果如圖7所示。結(jié)果表明，1、3、6缸電機(jī)力矩控制偏差均值為0.1 N·m，2、4、5缸電機(jī)力矩控制偏差均值為0.2 N·m，電機(jī)力矩誤差值主要與摩擦轉(zhuǎn)矩識(shí)別的精度有關(guān)，其次與動(dòng)力學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確性和電動(dòng)缸的機(jī)械變形有關(guān)。

(a)電動(dòng)缸1力矩補(bǔ)償曲線 (b)電動(dòng)缸2力矩補(bǔ)償曲線 (c)電動(dòng)缸3力矩補(bǔ)償曲線

動(dòng)力學(xué)前饋控制對(duì)六自由度平臺(tái)的摩擦項(xiàng)和重力項(xiàng)進(jìn)行了補(bǔ)償，平臺(tái)受到外力時(shí)會(huì)沿著力的方向移動(dòng)。一旦外力被移除，動(dòng)力學(xué)前饋控制將產(chǎn)生收縮軌跡，使Stewart平臺(tái)返回到受力前的初始位姿。為了驗(yàn)證這種柔順運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行了以下實(shí)驗(yàn)。圖8顯示了x軸方向的水平力作用在上部平臺(tái)上時(shí)，在動(dòng)力學(xué)前饋控制過(guò)程中電動(dòng)缸1、3、5的實(shí)際扭矩。該圖可分為三個(gè)階段：①力矩控制模式的靜態(tài)狀態(tài)，發(fā)送給電機(jī)的轉(zhuǎn)矩消除了Stewart平臺(tái)的重力和摩擦力，反饋力矩約為零；②柔順階段，對(duì)末端執(zhí)行器施加外力時(shí)，末端執(zhí)行器將沿所施加力的方向順應(yīng)地移動(dòng)；③恢復(fù)階段，當(dāng)力被撤去時(shí)，Stewart平臺(tái)會(huì)恢復(fù)到原始狀態(tài)。

圖8 柔順控制期間的電動(dòng)缸1，3，5力矩Fig.8 Joint 1，3，5 torques during compliant control

根據(jù)圖1所示的Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)向x軸方向移動(dòng)時(shí)，電動(dòng)缸1收縮，電機(jī)的力矩為正，電動(dòng)缸3、5伸長(zhǎng)，電機(jī)的力矩為負(fù)。

使用圖5所示的實(shí)驗(yàn)裝置，通過(guò)在Stewart平臺(tái)上施加外力來(lái)驗(yàn)證柔順運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性。在上平臺(tái)施加沿x軸方向的水平外力，實(shí)驗(yàn)的完整步驟如圖9a所示。收集每個(gè)電動(dòng)缸的伸長(zhǎng)量，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算上平臺(tái)中心點(diǎn)的坐標(biāo)。由圖9b可以明顯看出，上平臺(tái)中心點(diǎn)的位置沿力的方向移動(dòng)，當(dāng)力被移除時(shí)，它會(huì)返回到原來(lái)的位置，驗(yàn)證了所提方法的正確性。施加沿x軸方向的水平外力，則沿x軸方向的偏移最大，y軸方向的跟蹤誤差在0.01～0.02 m范圍內(nèi)，z軸方向的跟蹤誤差在0.005～0.01 m范圍內(nèi)。

(a)柔順控制操作連續(xù)步驟照片

4 結(jié)論

本文提出了一種基于摩擦補(bǔ)償?shù)腟tewart平臺(tái)柔順控制策略。首先在離線狀態(tài)下，利用庫(kù)侖摩擦模型和黏性摩擦模型估計(jì)出各個(gè)電動(dòng)缸的摩擦力，然后在整體動(dòng)力學(xué)模型中補(bǔ)償平臺(tái)的重力和摩擦力，提出了一種動(dòng)力學(xué)前饋控制方法，使機(jī)器人在不使用任何力傳感器的情況下就能夠在外力作用下柔順地運(yùn)動(dòng)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量出了電動(dòng)缸的摩擦模型，并驗(yàn)證了柔順控制的有效性。串聯(lián)機(jī)器人一般不適用于大型工件的裝配，而在并聯(lián)機(jī)器人上安裝高精度傳感器成本較高，所提出的動(dòng)力學(xué)前饋柔順控制方法可以發(fā)揮重要作用，減少運(yùn)動(dòng)過(guò)程中突然的剛性碰撞所造成的危害。后續(xù)將考慮如何提高摩擦估算模型的精度，以提高平臺(tái)的穩(wěn)定性。此外，還要對(duì)實(shí)際裝配過(guò)程中受力情況進(jìn)行深入研究，達(dá)到柔順裝配。