基于軟似然函數的直覺模糊多屬性決策方法

池吉奕， 孫 鵬,2,3

(1.中國刑事警察學院 公安信息技術與情報學院， 遼寧 沈陽 110854；2.遼寧網絡安全執(zhí)法協(xié)同創(chuàng)新中心， 遼寧 沈陽 110854；3.司法部司法鑒定重點實驗室， 上海 200063)

模糊集理論自Zadeh[1]提出以來，作為有效處理不確定性和模糊性的數學工具，經過專家學者的一系列深入研究，在決策領域[2]取得了很多重大成果，從而擴展了模糊集在決策分析領域的應用。針對模糊集僅用隸屬度描述對事物的支持程度，難以全面描述對象信息的問題，Atanassov提出直覺模糊集[3-4](intuitionistic fuzzy set，IFS)，將模糊集從單維度推廣至多維度，用隸屬度和非隸屬度定量刻畫事物的支持、反對和中立三種狀態(tài)，并且要求隸屬度和非隸屬度之和小于等于1。由于直覺模糊集[5-6]在處理不確定性信息時具有更大的靈活性，因此在諸多領域得到廣泛應用，比如模式識別[7-8]、多屬性決策問題[9-12]。

多屬性決策問題是在考慮多個屬性時選擇最佳方案或實現對備選方案排序的過程，在現代決策科學中扮演著愈發(fā)重要的角色。多屬性決策問題具有兩大核心部分。一部分是捕獲決策信息，也就是確定屬性值和屬性權重，關于屬性值的確定，現已存在多種方法，比如區(qū)間集、語言模糊集和直覺模糊集等。而關于屬性權重的確定，同樣有諸多方法，比如D-S證據理論[13]、層次分析法[14-15]等。另一重要部分是對決策信息以一定的方式進行有效聚合，在對決策信息進行有效聚合時多引入概率的運算，而在概率運算中最常用的模型之一是似然函數。似然函數方法[16-17]最初用于聚合刑事案件中的多個概率證據，在此基礎上，有關學者借助不同算子提出了多種軟似然函數方法，比如有序加權平均算子[18](ordered weighted average，OWA)以及冪有序加權平均算子[19](power ordered weighted average，POWA)等。

傳統(tǒng)似然函數最初用于聚合多個概率證據，表示為概率的乘積，但由于任何一個極端數據都會大大降低最終的結果，因此Yager等[20]首次提出用于聚合刑事案件中概率證據的軟似然函數方法，即基于OWA算子的軟似然函數方法，通過引入考慮決策者樂觀或悲觀情緒的OWA算子及證據的可靠性影響，來減弱極端數據對結果的影響。但通過研究發(fā)現，該方法仍存在一定的缺陷，不能全面反映概率與OWA算子間的相關性，并且軟似然函數沒有充分反映決策者的偏好信息，在處理極端數據上還存有一定的局限性。因此，有學者[21-22]提出改進后的基于POWA算子的軟似然函數，對POWA算子的權重進行了重新定義，新定義的POWA權重能更好地將概率與OWA權重相結合，不僅考慮各概率間的支持度，而且通過考慮決策者的主觀偏好再次引入OWA算子的權重特征，使得改進后的軟似然函數具有更強的魯棒性，在更大程度上避免了極端數據的影響。同時，由于上述軟似然函數方法在聚合不確定信息時存在一定不足，無法對多屬性決策問題中具有專家決策偏好的不確定性信息進行有效聚合。因此，本文通過構建直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題，利用改進后的基于POWA算子的軟似然函數對不確定性決策信息進行融合，最大程度上保證了決策信息的完整性[11]。

針對上述問題，本文提出一種基于軟似然函數的直覺模糊多屬性決策方法。首先，為全面融合不同來源的證據，本文構建直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題，利用直覺模糊集對不確定性信息進行統(tǒng)一描述來獲取屬性值。其次，為降低數據的不確定性和模糊性以提高信息的準確性和可靠性，提出將基于POWA算子的軟似然函數方法用于解決直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題，采用基于POWA算子的軟似然函數方法確定屬性權重并對決策信息進行有效聚合，在實現數據平滑效果的同時，也規(guī)避了軟似然函數值受極端數據的影響。最后，采用文獻[23]的算例數據與本文方法進行對比分析。

1 直覺模糊集

定義1 設X為一非空有限論域，X={xi|i∈[1,n]}(其中i為非零正整數)上的集合A可以定義為A={(x,μA(x),νA(x))|x∈X}，將其稱為直覺模糊集，可簡記為A=(μA,νA)，其中μA(x):X→[0,1]代表隸屬度，νA(x):X→[0,1]代表非隸屬度，且滿足0≤μA(x)+νA(x)≤1。元素x對A的猶豫度[24]為πA(x)=1-μA(x)-νA(x)，顯然，對于每個x∈X，都有0≤πA(x)≤1。

定義2 設有序對α=(μα,να)為直覺模糊集，滿足μα∈[0,1]，να∈[0,1]，0≤μα+να≤1。α的計分函數s(α)和精確函數h(α)分別記為s(α)=μα-να，h(α)=μα+να，顯然s(α)∈[-1,1]，h(α)∈[0,1]。

對于兩個直覺模糊集α和β，滿足如下關系和運算法則[25-26]：

1) 如果s(α)>s(β)，則α>β；

2) 如果s(α)

3) 如果s(α)=s(β)，則比較兩者精確值，又分為以下3種情況：

①如果h(α)>h(β)，則α>β；

②如果h(α)

③如果h(α)=h(β)，則α=β。

2 POWA算子相關定義

OWA算子根據概率的順序給出概率的權重，并引入態(tài)度特征來反映決策者的主觀偏好，為更準確地獲得屬性權重，有學者提出將OWA算子與PA算子相結合，得到POWA算子[17]。首先利用OWA算子將每個屬性值的權重按照順序進行分配，然后通過計算各屬性值之間的支持度來獲得PA算子的權重，最后根據屬性值的順序和支持度對其進行有效聚合，生成POWA算子的概率乘積。

支持函數記為Sup(ai,aj)=Ke-α(ai-aj)2，其中K∈[0,1]，且α≥0。顯而易見，支持函數滿足以下性質：

1)Sup(ai,aj)∈[0,1]；

2)Sup(ai,aj)=Sup(aj,ai)；

3)Sup(ai,aj)≥Sup(x,y)，若|ai-aj|<|x-y|。

2.1 POWA算子

定義3[17]POWA算子可以通過函數g來表示：

(1)

并且函數g滿足g:[0,1]→[0,1]，如果x>y，則g(x)≥g(y)，g(0)=1，g(1)=1，并有：

(2)

假設一種特殊情況，當g(x)=x，此時退化為PA算子。μi表示為如下形式：

(3)

此外，考慮到具有不同可靠度的運算符與被聚合的對象之間的相關聯(lián)性影響，滿足wi∈[0,1]，Vi表示為：

(4)

2.2 POWA算子的權重

(5)

其中：

(6)

考慮到OWA算子的權重，TV表示為：

(7)

3 基于軟似然函數的直覺模糊多屬性決策方法

3.1 直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題描述

以直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題為研究背景，首先對問題作如下描述。

設有m個備選方案A={Ai|i∈[1,m]}，n個屬性C={Cj|j∈[1,n]}(其中i，j均為非零正整數)，每個方案有n個屬性特征，利用直覺模糊集描述決策者對方案Ai關于屬性Cj的評價值，則第i個方案的第j個屬性信息可表示為βij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，其中每個βij=(sμij,sνij)都有其各自的可靠度υij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，表示特征屬性的重要性程度，sμij表示隸屬度，反映決策者的滿意程度，sνij表示非隸屬度，反映決策者的否定程度。

利用OWA算子得出不同態(tài)度特征下對應的權重值，用于刻畫決策者的主觀偏好，在支持函數的基礎上，結合公式(5)和(6)，通過POWA算子得出新的權重值，經過對決策信息的統(tǒng)一處理，得到最重的排序結果。

3.2 基于POWA算子的軟似然函數方法

基于Yager提出的POWA算子，Mi等[22]提出一種新的基于POWA算子的軟似然函數方法，屬性權重由OWA算子和PA算子結合產生，在考慮決策者態(tài)度特征的同時，引入了概率屬性之間的支持度。

定義5 引入索引函數σ，σi(k)代表第k大的參數索引值，故定義3中的POWA算子也可以表示為如下形式：

(8)

傳統(tǒng)似然函數僅是所有數據的簡單乘積，如果存在某個非常接近于0的極端數據，將會大幅度降低最終的軟似然函數值。因此，在此通過引入屬性權重來減弱極端數據對結果產生的影響，同時考慮決策者的偏好程度和屬性值間的關系，將其優(yōu)化為屬性權重與屬性值乘積的連加形式。

考慮到POWA算子的權重，

故將直覺模糊形式下的軟似然函數定義為：

(9)

(10)

(11)

基于POWA算子的軟似然函數也可表示為：

此外，考慮到權重w的特殊情況，軟似然函數也可以表示成以下形式。

1)w*：對于j∈[2,q]，得出w1=1，wj=0，此時Li,w*=Prodi(1)=piσi(1)。

3.3 決策算法流程

輸入 現實中某個多屬性決策問題的直覺模糊信息。

輸出 各備選方案的排序結果及最優(yōu)備選方案。

步驟1 獲取專家對m個備選方案A={Ai|i∈[1,m]}的n個屬性C={Cj|j∈[1,n]}的評價信息(其中i，j均為非零正整數)。

步驟 4 任取態(tài)度特征α∈[0,1]時，根據式(10)～(11)，分別求得方案Ai隸屬度和非隸屬度的軟似然值。

步驟 5 根據得分值s(α)對m個備選方案進行排序，選出綜合條件最優(yōu)的方案。

4 算例分析

4.1 多屬性決策算例

為驗證本文方法的有效性和可行性，采用文獻[23]中刑事案件實例進行分析與對比。警方初步篩選出六名涉案人員{A1,A2,A3,A4,A5,A6}，考慮五個證據屬性的影響{C1,C2,C3,C4,C5}，對應的直覺模糊信息在表1中給出，并以態(tài)度特征α=0.2下A1的隸屬度計算為例，開展基于POWA算子的軟似然函數方法在直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策中的應用研究。

表1 六名涉案人員的數據信息Tab.1 Data information on the six suspects

步驟 2 確定支持函數時，一般采用一種典型情況計算，假設K=1，α=1，則Sup(ai,aj)=e-(ai-aj)2，得出A1的支持函數值，見表2。

表2 A1的支持函數值Tab.2 Probability support function of A1

步驟3 運用式(5)～(6)，求得POWA算子的權重值，見表3。

表3 α=0.2時POWA的權重值Tab.3 Weights of POWA with α=0.2

步驟4 根據似然函數的計算方法，引入索引函數σi(k)，獲得隸屬度排序，σi(1)=1，σi(2)=5，σi(3)=2，σi(4)=3，σi(5)=4，并得出乘積值Prodi(1)=0.8370，Prodi(2)=0.4570，Prodi(3)=0.3281，Prodi(4)=0.0210，Prodi(5)=0.000441。

步驟 5 利用式(12)，計算態(tài)度特征α=0.2下A1隸屬度的軟似然值，見表4。

表4 α=0.2時A1的隸屬度的軟似然值Tab.4 Soft likelihood value of the membership degree of A1 with α=0.2

步驟6 按照上述步驟，得到不同態(tài)度特征α∈[0,1]下，尤其是α=0.2，α=0.5，α=0.8時，六名涉案人員的軟似然值及相應的得分值，具體結果見表5，按照得分值大小對六名涉案人員進行排序，排序結果為A2?A4?A6?A3?A5?A1，因此，最可能的嫌疑人為第二名涉案人員。

表5 POWA下六名涉案人員的軟似然值Tab.5 Soft likelihood values of the six suspects with POWA operator

4.2 對比驗證

為進一步驗證本文方法的有效性，將本文方法與文獻[23]的方法進行對比。表6為兩種不同方法的結果對比，可以看出在這兩種方法下得到完全一致的涉案人員排序結果，排序結果都為A2?A4?A6?A3?A5?A1，充分證明了本文方法在多屬性決策中的可行性，對于最可能的嫌疑人的選擇是一致的，都為第二名涉案人員，確保了決策結果是正確的。

表6 利用兩種不同算子得到的排序結果對比Tab.6 Comparison of ranking results by two operators

由于本文所提方法在OWA算子的基礎上利用了PA算子，用幾何平均值來軟化概率乘積，因此，本文方法能更好地軟化加權值，減緩軟似然值的變化，從而較好地避免了極端數據對結果產生的影響。在表5的結果數據中并未出現無限趨近于0的值，證明結果值沒有受到表1中類似0.0004、0.020這種極端數據的影響。

圖1和圖2直觀地反映了兩種方法下結果值的變化趨勢。

圖1 不同態(tài)度特征下基于OWA算子的軟似然函數值Fig.1 Soft likelihood function values by OWA operator with different optimistic attitudinal characters

圖2 不同態(tài)度特征下基于POWA算子的軟似然函數值Fig.2 Soft likelihood function values by POWA operator with different optimistic attitudinal characters

從圖中可以看出，兩種方法的軟似然值都隨態(tài)度特征的增加而增加，呈現了相同的趨勢。從定量角度看，一般決策者的態(tài)度特征是呈線性變化的，即決策者越悲觀，其軟似然值越小，決策者越樂觀，軟似然值就越大。相較于圖1，能直觀地看出圖2呈現出更好的線性變化，即不同態(tài)度特征下的軟似然函數值反映了決策者不同的態(tài)度偏好?？偟膩碚f，本文所提方法的優(yōu)勢在于更好地反映了決策者的偏好程度及證據的可靠性影響，減弱極端數據對結果值造成的影響，并且能更全面地考慮現實生活中來自多屬性因素的影響，從而進行綜合決策分析。

5 結 語

本文將基于POWA算子的軟似然函數引入直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題中，提出基于軟似然函數的直覺模糊多屬性決策方法，并通過實例分析驗證基于POWA算子的軟似然函數方法在直覺模糊集上是基于OWA算子的軟似然函數方法的進一步優(yōu)化，所提方法具有更顯著的優(yōu)勢，不僅能有效解決傳統(tǒng)似然函數中結果值受極端數據影響這一問題，而且能通過引入態(tài)度特征識別實際生活中決策者的主觀偏好，更好地反映決策者的偏好態(tài)度，從而實現對屬性值的綜合決策分析。

今后將進一步研究其他模糊集支持下軟似然函數在多屬性決策中的應用，如：區(qū)間直覺模糊集[27]下基于軟似然函數的多屬性決策方法研究、畢達哥拉斯模糊集[28-29]下基于軟似然函數的多屬性決策方法研究等，以及進一步開展對軟似然函數的深入研究，提出基于其他算子下更為優(yōu)化的軟似然函數方法。