具有奇異振蕩的三維非自治線性Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程的一些估計

譚青維，朱朝生

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715

令Ω?R3是一個邊界光滑的有界域．本文主要研究Ω上具有奇異振蕩力的三維非自治Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程[1-4]：

(1)

其中：a∈R，b>0，r∈[1，∞)，μ>0是流體的運動粘度，α是流體彈性的表征參數(shù)，函數(shù)u=u(x，t)=(u1(x，t)，u2(x，t)，u3(x，t))表示流體的速度，p=p(x，t)表示壓力．當a，b=0時，方程(1)為帶奇異振蕩力的Navier-Stokes-Voigt方程[5-10]；當α=0時，方程(1)為帶奇異振蕩力的Brinkman-Forchheimer方程[11-15]；當a，b，α=0時，方程(1)為帶奇異振蕩力的Navier-Stokes方程[16-17]．

結(jié)合方程(1)，我們考慮如下平均Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer方程：

記函數(shù)

其中常數(shù)M0，M1≥0，定義

綜上有

引入函數(shù)空間

這里clXS表示S在空間X的閉包，H與V是可分的Hilbert空間．令H′是H的對偶空間，V′是V的對偶空間，有VH=H′V′，其中嵌入都是連續(xù)且稠密的．H與V分別具有如下內(nèi)積和范數(shù)：

用〈·，·〉表示V′與V之間的對偶集，用|·|p表示Lp(Ω)空間中的范數(shù)，用‖·‖E表示巴納赫空間E中的范數(shù)．字母C為常數(shù)．

方程(1)的前兩個等式，可以寫成如下抽象形式

(2)

令A(yù)=-PΔ是Stokes算子，P是從L2(Ω)到H的Leray正交投影，有

〈Au，v〉=((u，v))F(u)=P(au+b|u|r-1u)

〈B(u，v)，w〉=b(u，v，w)B(u)=b(u，u)

這里

對于方程(2)的全局解的存在唯一性，可由文獻[2]中的標準方法得到如下定理1．

u∈C([τ，T]；V)∩L2(τ，T；V)∩L∞(τ，T；V)∩Lr+1(τ，T；Lr+1(Ω))

我們將考慮具有與時間相關(guān)的外力驅(qū)動的非自治輔助線性方程，對其進行一系列估計．

Yt(t)+μAY(t)+α2AYt(t)+aY(t)=K(t)，Y(t)|t=τ=0

(3)

Y(t)∈C([τ，T]；V)∩L2(τ，T；V)，Yt(t)∈L2(τ，T；V′)

且滿足不等式

證用Galerkin逼近法，可以推出解的存在，將方程(3)與AY(t)作內(nèi)積，可得

(4)

由不等式(4)可得

即有

(5)

對不等式(5)在[τ，t]上積分，得

易得

將方程(3)與Y(t)作內(nèi)積，可得

即

(6)

對不等式(6)在[t，t+1]上積分，再運用Poincaré不等式得

即有

定理2證畢．

(7)

則帶奇異振蕩力的線性方程

(8)

的解X(t)滿足不等式

(9)

其中C與K(t)無關(guān)．

證首先記

則由(7)式可推出

由積分中值定理和定理2可得

現(xiàn)令

由X(τ)=0，得

方程(8)在[τ，t]上積分可得

Yt(t)+μAY(t)+α2AYt(t)+aY(t)=Kε(t)，Y(t)|t=τ=0

綜上所述可得

所以

‖X(t)‖≤C(|X(t)|2+α2|AX(t)|2)≤Clε

(10)

由不等式(10)可得不等式(9)成立，定理3證畢．