2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一道解三角形試題的多解及推廣

葉誠(chéng)理

(福建省福清第一中學(xué) 350300)

何 燈

(福建省福清第三中學(xué) 350315)

1 試題分析

2 試題解析

評(píng)注本解法通過(guò)正弦定理把邊b,c的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角度B,C的關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系，運(yùn)用三角恒等變換公式，轉(zhuǎn)化成與角C相關(guān)的三角函數(shù)計(jì)算問(wèn)題.

評(píng)注本解法仍然是通過(guò)正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，與解法1不同之處在于通過(guò)聯(lián)立角A,B,C的關(guān)系，把角B,C統(tǒng)一用角A表示，從而得到關(guān)于角A的三角關(guān)系式，體現(xiàn)了方程思想在解三角形中的應(yīng)用.

圖1

評(píng)注本解法通過(guò)添加輔助線(xiàn)將角B分解為兩個(gè)角，從而構(gòu)造兩個(gè)相似三角形，再利用余弦定理構(gòu)建邊a的方程，實(shí)現(xiàn)了面積的轉(zhuǎn)化計(jì)算.

圖2

評(píng)注本解法通過(guò)建立坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)把解三角形問(wèn)題運(yùn)用解析幾何知識(shí)來(lái)求解.關(guān)鍵是幾何條件代數(shù)化，其中，以B為原點(diǎn)的好處是可以根據(jù)AB=1把點(diǎn)A看成是單位圓上的點(diǎn)，用角B巧設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo).利用直線(xiàn)AC的斜率表達(dá)式，把含邊長(zhǎng)a的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成角B的三角函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)AC距離公式計(jì)算sinB，最終轉(zhuǎn)化成面積.

3 試題推廣

借鑒解法2，我們可以得到本題在一般情況下的結(jié)論.

4 解題心得

條條大道通羅馬，本題解法的多樣性讓我們感受到數(shù)學(xué)思維的無(wú)限魅力.解題中用到的知識(shí)涉及函數(shù)、方程、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等；對(duì)一般性結(jié)論的推廣開(kāi)闊了我們的視野，揭示了問(wèn)題的本質(zhì).本題集中考查了解三角形問(wèn)題中考生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)；用到的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想(特別是消元思想)、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等[1].本題的一題多解彰顯出靈活合理地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力的重要性，不僅對(duì)競(jìng)賽生，也對(duì)廣大高考生具有一定啟發(fā)意義，即對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通、對(duì)數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用和對(duì)數(shù)學(xué)思想的深刻領(lǐng)會(huì)是考場(chǎng)上制勝的關(guān)鍵[2].