2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一道解三角形試題的多解及推廣

葉誠理

(福建省福清第一中學(xué) 350300)

何 燈

(福建省福清第三中學(xué) 350315)

1 試題分析

2021全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試A卷第5題：在△

ABC

中，則△

ABC

的面積為

.本題為解三角形問題，是競賽中常考的題型，難度與高考相當.題目已知三角形的兩邊和兩邊所對角之差，求面積的值，事實上得到的是一個固定的三角形，條件簡單直觀，屬于常規(guī)題型.從結(jié)果看，△

ABC

面積所以難點是如何運用條件結(jié)合正弦或余弦定理、三角形內(nèi)角和公式，得出與

A

相關(guān)的三角函數(shù)值，需要考生從方程的角度進行運算、消元、轉(zhuǎn)化，或從圖形的角度進行分解、挖掘隱含條件，構(gòu)建角或邊的等量關(guān)系.本題入口寬，解法多樣，是一道值得欣賞和研究的好題.本文從各種角度進行了一題多解，并對這一類題型的結(jié)論作了一般性推廣，與讀者共享.

2 試題解析

解法1

(公式法1)由正弦定理知又故2sin

C

=sin

C

，即

C

，故tan從而cos又故

評注

本解法通過正弦定理把邊

b

,

c

的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角度

B

,

C

的關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系，運用三角恒等變換公式，轉(zhuǎn)化成與角

C

相關(guān)的三角函數(shù)計算問題.

解法2

(公式法2)由得由正弦定理知又因為得故

評注

本解法仍然是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，與解法1不同之處在于通過聯(lián)立角

A

,

B

,

C

的關(guān)系，把角

B

,

C

統(tǒng)一用角

A

表示，從而得到關(guān)于角

A

的三角關(guān)系式，體現(xiàn)了方程思想在解三角形中的應(yīng)用.

解法3

(相似法)如圖1，在邊

AC

上取一點

D

，滿足則由得∠

DBA

=

C

，故△

ABD

∽△

ACB

，則有得所以在△

DBC

中，由余弦定理得得因此，

圖1

評注

本解法通過添加輔助線將角

B

分解為兩個角，從而構(gòu)造兩個相似三角形，再利用余弦定理構(gòu)建邊

a

的方程，實現(xiàn)了面積的轉(zhuǎn)化計算.

解法4

(坐標法)如圖2，以

B

為原點、

BC

為

x

軸建立平面直角坐標系，由

AB

=1，

BC

=

a

，設(shè)

A

(cos

B

,sin

B

)，又由

AC

=2，得(cos

B

-

a

)+sin

B

=4，有

B

=4，得sin故

S

=sin

圖2

評注

本解法通過建立坐標系實現(xiàn)把解三角形問題運用解析幾何知識來求解.關(guān)鍵是幾何條件代數(shù)化，其中，以

B

為原點的好處是可以根據(jù)

AB

=1把點

A

看成是單位圓上的點，用角

B

巧設(shè)點

A

坐標.利用直線

AC

的斜率表達式，把含邊長

a

的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成角

B

的三角函數(shù)，進而通過

AC

距離公式計算sin

B

，最終轉(zhuǎn)化成面積.

3 試題推廣

借鑒解法2，我們可以得到本題在一般情況下的結(jié)論.

推廣

在△

ABC

中，

AB

=

c

，

AC

=

b

，其中

b

>

c

且

B

-

C

=

α

>0，則△

ABC

的面積為

證明

考慮?

由正弦定理知又因為得即所以得即那么

4 解題心得

條條大道通羅馬，本題解法的多樣性讓我們感受到數(shù)學(xué)思維的無限魅力.解題中用到的知識涉及函數(shù)、方程、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等；對一般性結(jié)論的推廣開闊了我們的視野，揭示了問題的本質(zhì).本題集中考查了解三角形問題中考生的抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新應(yīng)用意識；用到的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想(特別是消元思想)、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.本題的一題多解彰顯出靈活合理地運用所學(xué)知識解決實際問題的能力的重要性，不僅對競賽生，也對廣大高考生具有一定啟發(fā)意義，即對數(shù)學(xué)知識的融會貫通、對數(shù)學(xué)方法的嫻熟運用和對數(shù)學(xué)思想的深刻領(lǐng)會是考場上制勝的關(guān)鍵.