近十年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷“平面向量”試題分析及教學(xué)思考*

項(xiàng)麗紅 逯彥周

(甘肅省永登縣第六中學(xué) 730300)

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景.向量具有幾何與代數(shù)雙重屬性，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，同時(shí)高中的平面向量知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).2012年—2021年十年間，我國(guó)高考數(shù)學(xué)命題經(jīng)歷了考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)并存指導(dǎo)，到終止考試大綱，完全依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程.對(duì)這十年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷中的平面向量試題在宏觀層面從類型、題數(shù)、分值、難易程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在微觀層面從試題考查知識(shí)點(diǎn)、融合其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并以此為依據(jù)對(duì)教師教學(xué)提出一些建議.

1 十年高考全國(guó)卷平面向量試題宏觀統(tǒng)計(jì)分析

以2012—2021十年高考全國(guó)卷(共29套)中的平面向量試題(共38道)為研究對(duì)象，將38道平面向量試題從宏觀層面按類型、題數(shù)、分值、難易程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示.從類型看，38道題目中，選擇題共20道，填空題共14道，解答題共4道，占比分別為52.6%、36.9%、10.5%.從題數(shù)看，29套試卷中，21套試卷的平面向量試題均為1道，占比72.4%，分值為5分；4套試卷的平面向量試題均為2道，占比13.8%，分值為10分；3套試卷的平面向量試題均為2道，占比10.3%，分值為17分；僅有1套試卷中平面向量試題為3道，分值為22分.從難易程度看，38道試題中，難度為易、中的試題分別為20道、12道，占比分別為52.6%、31.6%，較難題為6道，占比15.8%.

表1 2012—2021全國(guó)卷平面向量試題統(tǒng)計(jì)

年份卷別選擇題填空題解答題題目數(shù)量分值易中難2012全國(guó)大綱卷1151新課標(biāo)卷11512013全國(guó)大綱卷221011新課標(biāo)Ⅰ卷1151新課標(biāo)Ⅱ卷11512014全國(guó)大綱卷1151新課標(biāo)Ⅰ卷112102新課標(biāo)Ⅱ卷11512015新課標(biāo)Ⅰ卷221011新課標(biāo)Ⅱ卷11512016新課標(biāo)Ⅰ卷1151新課標(biāo)Ⅱ卷1151新課標(biāo)Ⅲ卷1151

續(xù)表

年份卷別選擇題填空題解答題題目數(shù)量分值易中難2017新課標(biāo)Ⅰ卷1151新課標(biāo)Ⅱ卷112172新課標(biāo)Ⅲ卷11512018新課標(biāo)Ⅰ卷22102新課標(biāo)Ⅱ卷1151新課標(biāo)Ⅲ卷11217112019新課標(biāo)Ⅰ卷11132212新課標(biāo)Ⅱ卷1151新課標(biāo)Ⅲ卷11512020新課標(biāo)Ⅰ卷1121711新課標(biāo)Ⅱ卷1151新課標(biāo)Ⅲ卷11512021全國(guó)甲卷1151全國(guó)乙卷1151新高考Ⅰ卷1151新高考Ⅱ卷1151

2 十年高考全國(guó)卷平面向量試題微觀知識(shí)點(diǎn)分析

2.1 試題考查知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分析

將平面向量試題考查知識(shí)點(diǎn)按照線性運(yùn)算及其幾何意義、向量平行、平面向量基本定理、平面向量的數(shù)量積及模與夾角、向量垂直、平面向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(只要試題有體現(xiàn)就計(jì)數(shù))，結(jié)果如表2所示.由表2知，38道試題中，考查線性運(yùn)算及其幾何意義、平行、垂直、平面向量基本定理、數(shù)量積及模與夾角的試題分別有5道、4道、5道、4道、14道，占比分別為13.2%、10.5%、13.2%、10.5%、36.8%；考查線性運(yùn)算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的坐標(biāo)運(yùn)算的試題分別有10道、4道、6道、17道，占比分別為26.3%、10.5%、15.8%、44.7%.總的來(lái)看，考查線性運(yùn)算、平行、垂直、數(shù)量積及模與夾角的分別有15道、8道、11道、31道，占比分別為39.5%、21.0%、29.0%、81.5%.

表2 2012—2021全國(guó)卷平面向量試題考查知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

知識(shí)點(diǎn)線性運(yùn)算及其幾何意義平行基本定理數(shù)量積、模、夾角垂直坐標(biāo)運(yùn)算線性平行數(shù)量積、模、夾角垂直考查題數(shù)544145104176

在38道平面向量試題中，28道只考查了平面向量?jī)?nèi)容的知識(shí)點(diǎn)，沒有與其他知識(shí)融合,且絕大多數(shù)試題考查知識(shí)單一，屬于簡(jiǎn)單題.如：

例1

(2021年全國(guó)甲卷第14題)已知向量=(3,1),=(1,0),=+

k

.若⊥，則

k

=

.

分析 本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題.易求得

例2

(2017年全國(guó)Ⅰ卷第13題)已知向量,的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=

.分析 本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算.代數(shù)法：|+2|=||+4·+4||=4+4×2×1×cos 60°+4=12，故幾何法：利用如下圖形(圖1)，可以判斷出+2的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)，一個(gè)角為60°的菱形的較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)度，則為

圖1

2.2 試題融合其他知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)分析

平面向量與其他知識(shí)點(diǎn)的融合具有明顯的傾向性(表3)，38道平面向量試題中，10道融合了其他知識(shí)，其中與圓錐曲線的融合包括圓、橢圓、雙曲線與拋物線，共有6道，其余4道是與三角函數(shù)及解三角形、函數(shù)、數(shù)列融合.

表3 2012—2021全國(guó)卷平面向量試題交匯知識(shí)統(tǒng)計(jì)

交匯知識(shí)圓錐曲線圓橢圓雙曲線拋物線三角函數(shù)及解三角形函數(shù)數(shù)列考查題數(shù)1212211

當(dāng)平面向量試題融合其他知識(shí)時(shí)，多考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，多數(shù)為數(shù)量積及模與夾角、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.如：

例3

(2021年新高考Ⅱ卷第10題)已知

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

P

(cos

α

,sin

α

)，

P

(cos

β

,-sin

β

)，

P

(cos(

α

+

β

),sin(

α

+

β

))，

A

(1,0)，則( )

分析 本題情境熟悉，是知識(shí)交匯題，主要考查平面向量的模、數(shù)量積運(yùn)算以及三角恒等變換，難度中等.通過(guò)計(jì)算可知故A,C正確.

例4

(2018年全國(guó)Ⅲ卷第20題)已知斜率為

k

的直線

l

與橢圓交于

A

，

B

兩點(diǎn)，線段

AB

的中點(diǎn)為

M

(1,

m

)(

m

>0).

(1)證明：

(2)設(shè)

F

為

C

的右焦點(diǎn)，

P

為

C

上一點(diǎn),且證明：成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.分析 本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.(1)設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明；(2)解出

m

，進(jìn)而求出點(diǎn)

P

的坐標(biāo)，得到再由兩點(diǎn)間距離公式表示出得到直線

l

的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程用韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

解

(1)設(shè)

A

(

x

,

y

),

B

(

x

,

y

),則

兩式相減，并由得

由題意知于是①

由題意得故

(2)由題意得

F

(1,0)，設(shè)

P

(

x

,

y

)，則(

x

-1,

y

)+(

x

-1,

y

)+(

x

-1,

y

)=(0,0).由(1)及題設(shè)得

x

=3-(

x

+

x

)=1,

y

=-(

y

+

y

)=-2

m

<0.又因?yàn)辄c(diǎn)

P

在

C

上，所以從而

于是同理

所以

故即成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為

d

，則②將代入①得

k

=-1.所以

l

的方程為代入

C

的方程，并整理得故代入②解得

所以該數(shù)列的公差為或

3 研究結(jié)論與教學(xué)建議

3.1 研究結(jié)論

近十年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷平面向量試題近九成是選擇題和填空題，且選擇題居多，超七成試卷只有1道平面向量試題，分值5分，超兩成試卷有2道平面向量試題，分值為10分與17分(二者數(shù)量相差不大)，題目難度以易、中為主，占比和超八成，以知識(shí)融合題為主的難題占比低于兩成.平面向量試題考查知識(shí)點(diǎn)按比例由高至低依次為數(shù)量積及模與夾角、線性運(yùn)算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理，且對(duì)坐標(biāo)運(yùn)算的考查多于非坐標(biāo)運(yùn)算的考查.平面向量與其他知識(shí)的融合主要集中在圓錐曲線、三角函數(shù)與解三角形、函數(shù)、數(shù)列等.

3.2 教學(xué)建議

3

.

2

.

1

理解概念，牢記公式，穩(wěn)固雙基

教材對(duì)于平面向量?jī)?nèi)容多是按照基本概念→線性運(yùn)算及其幾何意義→平面向量基本定理→坐標(biāo)運(yùn)算→平面向量數(shù)量積的順序編排，基本概念是后續(xù)知識(shí)展開的基礎(chǔ)，特別是平面向量基本定理，是坐標(biāo)運(yùn)算的“根”，坐標(biāo)運(yùn)算是其“果”.這部分知識(shí)前面概念多，后面公式多，但就全國(guó)卷而言考查內(nèi)容簡(jiǎn)單，多為選擇題和填空題，考查內(nèi)容基本為數(shù)量積及模與夾角、線性運(yùn)算及其幾何意義、垂直、平行、平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，有坐標(biāo)運(yùn)算，也有非坐標(biāo)運(yùn)算.因此在教學(xué)中須讓學(xué)生切實(shí)理解概念，記牢公式，穩(wěn)固雙基.

3

.

2

.

2

畫好圖形，精準(zhǔn)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合

平面向量兼具幾何與代數(shù)雙重屬性，教材安排也是先“幾何”后“代數(shù)”的順序，并且線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算都有豐富的物理背景，是學(xué)科交叉的良好案例.對(duì)于高中生而言，平面向量也是數(shù)形結(jié)合的良好案例.因此，在日常教學(xué)中，教師要注重學(xué)生畫圖習(xí)慣的養(yǎng)成，畫對(duì)圖，畫好圖，為之后的數(shù)學(xué)運(yùn)算當(dāng)好“眼睛”，在此過(guò)程中亦能培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3

.

2

.

3

總結(jié)反思，建構(gòu)體系，提升素養(yǎng)

在平面向量與其他知識(shí)的融合中，可以發(fā)現(xiàn)平面向量充當(dāng)輔助工具的作用，且這類題目往往對(duì)平面向量知識(shí)的考查多在坐標(biāo)運(yùn)算上，也很簡(jiǎn)單，重點(diǎn)在于與其他知識(shí)融匯貫通，這就需要建構(gòu)知識(shí)體系.高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多，抽象程度也較高，但是好在知識(shí)之間彼此是相通的，所以我們的學(xué)習(xí)不會(huì)因所學(xué)知識(shí)的增多而負(fù)擔(dān)增重，反而會(huì)因發(fā)現(xiàn)、理解先后知識(shí)的聯(lián)系而嘆為觀止.因此，在教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理、總結(jié)、反思，總結(jié)的次數(shù)多了，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，找到聯(lián)系、及時(shí)反思，就能自主建構(gòu)屬于自己的“知識(shí)體系”，當(dāng)然在此過(guò)程中也可提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).