HPM課例研究中的教學(xué)研討主題

汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

近年來(lái)，HPM課例研究的對(duì)象逐漸由單一的新課擴(kuò)展到單元教學(xué)、復(fù)習(xí)課教學(xué)，教師對(duì)于數(shù)學(xué)史料的需求日益增加；而隨著HPM課例的涌現(xiàn)，他們對(duì)于教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)新性的要求也在不斷提高.HPM課例研究包含“選題與準(zhǔn)備”“研討與設(shè)計(jì)”“實(shí)施與評(píng)價(jià)”“整理與寫(xiě)作”四個(gè)環(huán)節(jié)，其中，“研討與設(shè)計(jì)”環(huán)節(jié)是課例成敗的關(guān)鍵，若研討的方向不明確，效果勢(shì)必會(huì)大打折扣.

另一方面，在后疫情時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)研修業(yè)已成為教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的重要途徑之一.來(lái)自不同地區(qū)、不同學(xué)校、具有不同教育背景和不同教齡的一線(xiàn)教師和高校研究者定期相聚云端，針對(duì)同一主題的教學(xué)設(shè)計(jì)開(kāi)展深入的研討，這種無(wú)門(mén)檻、無(wú)費(fèi)用、便利高效的教研形式深受那些有強(qiáng)烈學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的教師的歡迎，但如何讓教師在網(wǎng)絡(luò)研修中真正有收獲，是組織者需要深入思考的問(wèn)題.

“內(nèi)容呈現(xiàn)”和“認(rèn)知需求”是HPM課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)，前者指的是數(shù)學(xué)史料的科學(xué)性、可學(xué)性、有效性、人文性和趣味性，而后者指的是數(shù)學(xué)史料的運(yùn)用方式，也就是教師在教學(xué)中“用什么數(shù)學(xué)史料”和“如何用數(shù)學(xué)史料”的問(wèn)題.本文以HPM網(wǎng)絡(luò)研修的若干知識(shí)點(diǎn)為例，初步呈現(xiàn)教學(xué)研討的一個(gè)內(nèi)容框架.

1 追本溯源

HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理念是“再創(chuàng)造”，即讓學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程.數(shù)學(xué)史可以幫助教師在課堂上構(gòu)建“知識(shí)之諧”，營(yíng)造“探究之樂(lè)”，實(shí)現(xiàn)“能力之助”，為此，教師需要以數(shù)學(xué)史為參照系設(shè)計(jì)探究活動(dòng).因此，數(shù)學(xué)主題的源與流理應(yīng)成為教學(xué)研討最重要的內(nèi)容.

以滬教版高中數(shù)學(xué)新教材中的“三角不等式”為例.該主題與正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則息息相關(guān).眾所周知，我國(guó)是世界上最早認(rèn)識(shí)并應(yīng)用負(fù)數(shù)的國(guó)家，漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“方程章”中提出了世界上最早的有理數(shù)四則運(yùn)算法則，其中，非零兩數(shù)的減法法則為“同名相除，異名相益”，非零兩數(shù)的加法法則為“異名相除，同名相益”.雖然中國(guó)古代數(shù)學(xué)家沒(méi)有明確提出“絕對(duì)值”的概念，但這里的“相益”說(shuō)的就是絕對(duì)值相加，“相除”說(shuō)的就是絕對(duì)值相減.設(shè)有兩數(shù)

a

和

b

，若

ab

>0，則若

ab

<0，則|

a

-

b

|=|

a

|+|

b

|，|

a

+

b

|=

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家尚未將數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，但上述運(yùn)算法則顯然也適用于實(shí)數(shù).因此，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)

a

和

b

，絕對(duì)值不等式|

a

±

b

|≤|

a

|+|

b

|均成立.當(dāng)

a

或

b

等于零時(shí)，上述不等式顯然也成立.因此，絕對(duì)值不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立.這里我們看到，絕對(duì)值不等式源于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，了解了這一點(diǎn)，我們就能理解數(shù)學(xué)史融入絕對(duì)值不等式教學(xué)的意義了.教科書(shū)將上述不等式稱(chēng)為“三角不等式”，對(duì)教師起了誤導(dǎo)作用.例如，有的教師會(huì)從向量的不等式(真正的“三角不等式”)|+|≤||+||出發(fā)引入絕對(duì)值不等式，與絕對(duì)值不等式的歷史序相悖.事實(shí)上，A.A.Bennett于1921年首次提出關(guān)于范數(shù)的三角不等式‖

r

+

r

‖≤ ‖

r

‖+‖

r

‖.之后，數(shù)學(xué)家根據(jù)向量減法的三角形法則提出關(guān)于向量的三角不等式，如J.L.Kelley在《近世代數(shù)引論》中將向量,和之間的關(guān)系|-|+|-|≥|-|①稱(chēng)為“三角不等式”(圖1)，而將不等式|+|≤||+||視為①的特殊情形；N.D.Kazarinoff在《解析不等式》中則借助復(fù)平面建立了復(fù)數(shù)

w

和

z

之間的三角不等式|

w

±

z

|≤|

w

|+|

z

|(圖2).

圖1 向量的三角不等式 圖2 復(fù)數(shù)的三角不等式

但是，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式與三角形并無(wú)關(guān)系，只因它與向量或復(fù)數(shù)的三角不等式形似，故編者采用了同樣的名稱(chēng).只有正本清源，才不會(huì)望文生義，誤入歧途.

2 想方設(shè)法

HPM視角下數(shù)學(xué)命題或公式的教學(xué)，注重命題或公式的不同證明方法，彰顯“方法之美”、實(shí)現(xiàn)“能力之助”，是數(shù)學(xué)史的兩類(lèi)基本價(jià)值.教學(xué)設(shè)計(jì)研討的目的之一在于提供豐富的素材，打開(kāi)教師的思路，拓寬教師的思維.例如，關(guān)于均值不等式，常用的方法有趙爽弦圖模型和歐幾里得半圓模型等，但還可以嘗試更多的方法，《九章算術(shù)》中的勾股容方問(wèn)題可以用來(lái)構(gòu)造新的幾何模型.

如圖3，在矩形

ACBR

中，

BC

=

a

，

AC

=

b

，

a

<

b

，正方形

FCED

和

VSUR

分別內(nèi)接于Rt△

ACB

和Rt△

BRA

，延長(zhǎng)

VS

，交

FD

于

T

.因

a

<

b

，故

TD

<

ST

，即于是得②或③.兩邊開(kāi)方即得均值不等式④.

圖3 均值不等式證明之一 圖4 均值不等式證明之二

如圖4，正方形

FCED

內(nèi)接于Rt△

ACB

，過(guò)

D

作

AB

的垂線(xiàn)，交

BC

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

K

，交

FC

于

G

.易證Rt△

ADG

≌Rt△

KDB

，故

S

△<2

S

△，即于是同樣可得不等式②和③.如圖5，正方形

FCED

內(nèi)接于Rt△

ACB

，不難證明，Rt△

ACB

內(nèi)接長(zhǎng)方形的最大面積 為

ab

，故有于是得不等式③和④.

圖5 均值不等式證明之三 圖6 均值不等式證明之四

如圖6，正方形

FCED

內(nèi)接于Rt△

ACB

，過(guò)點(diǎn)

D

作

CD

的垂線(xiàn)，交

AC

于

H

，交

CB

延長(zhǎng)線(xiàn)于

G

，過(guò)點(diǎn)

B

作

CB

的垂線(xiàn)，交

HG

于點(diǎn)

I

.因

a

<

b

，故

DB

<

DA

，由△

AHD

和△

BID

的相似性知，

BG

=

BI

<

AH

，若設(shè)

EB

=

p

，

AF

=

q

(

p

<

q

)，則即于是有故得不等式如圖7，在Rt△

ACB

中，

CG

為斜邊

AB

上的高，在

CG

上作正方形

CGHI

，邊

HI

交

AC

于

J

，易知Rt△

CIJ

≌Rt△

CGB

，故

S

<

S

△.設(shè)則有由此可得不等式④.

圖7 均值不等式證明之五 圖8 均值不等式證明之六

如圖8，在Rt△

ACB

的直角邊

CB

上作等腰Rt△

CBD

，過(guò)點(diǎn)

A

作

CB

的平行線(xiàn)，交

CD

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

E

，則

S

<

S

△+

S

△，設(shè)則得不等式④.

上述證明表明，古為今用，數(shù)學(xué)史料可以幫助我們揭示均值不等式豐富的幾何內(nèi)涵.

關(guān)于正弦定理，教師通常采用作高法進(jìn)行證明，簡(jiǎn)潔卻不夠直觀(guān).我國(guó)清初數(shù)學(xué)家梅文鼎(1633—1721)在其《平三角舉要》中已運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想證明正弦定理.實(shí)際上，翻開(kāi)歷史的畫(huà)卷，正弦定理的證明豐富多彩，其基本思路是通過(guò)構(gòu)造相似三角形，將角的正弦之比轉(zhuǎn)化為相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比.

證法1 如圖9，在△

ABC

中，

AC

>

AB

，延長(zhǎng)

BA

至

E

，使得

BE

=

AC

，分別過(guò)點(diǎn)

A

和

E

作

BC

的垂線(xiàn)，垂足為

D

和

F

，于是sin

B

∶sin

C

=

EF

∶

AD

=

BE

∶

AB

=

AC

∶

AB

.

圖9 正弦定理的證明之一 圖10 正弦定理的證明之二

證法3 如圖11，在△

ABC

中，過(guò)點(diǎn)

B

和

C

作

AC

和

AB

的垂線(xiàn)，垂足分別為

D

和

E

，則sin

B

∶sin

C

=

CE

∶

BD

=

AC

∶

AB

.

圖11 正弦定理的證明之三 圖12 正弦定理的證明之四

證法4 如圖12，在△

ABC

中，

AC

>

AB

，在

AC

上取點(diǎn)

E

，使得

AE

=

AB

，過(guò)點(diǎn)

A

作

BC

的垂線(xiàn)，垂足為

D

.又過(guò)點(diǎn)

A

作

BC

的平行線(xiàn)

AF

，過(guò)點(diǎn)

E

作

AF

的垂線(xiàn)，垂足為

F

，則sin

B

∶sin

C

=sin

B

∶sin∠

EAF

=

AD

∶

EF

=

AC

∶

AE

=

AC

∶

AB

.

上述證明表明，正弦定理背后蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，相似三角形是溝通幾何學(xué)與三角學(xué)的一座橋梁.

3 探賾索隱

眾所周知，任何數(shù)學(xué)主題都不可能是孤立的存在，碎片化的教學(xué)不足以讓學(xué)生達(dá)到關(guān)系性理解.教學(xué)設(shè)計(jì)(特別是單元教學(xué)設(shè)計(jì))中，教師需要揭示知識(shí)之間的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)史可以幫助我們建立這樣的聯(lián)系，從而為學(xué)生提供探究機(jī)會(huì)，提升理解層次，落實(shí)高階思維，發(fā)展核心素養(yǎng).

以圓錐曲線(xiàn)為例，古希臘數(shù)學(xué)家梅奈克繆斯用垂直于圓錐母線(xiàn)的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的頂角分別為銳角、直角和鈍角時(shí)，所截得的曲線(xiàn)分別稱(chēng)為銳角、直角和鈍角圓錐曲線(xiàn).后來(lái)，阿波羅尼奧斯用與母線(xiàn)具有不同位置關(guān)系的平面去截同一個(gè)圓錐，分別得到同樣的三種曲線(xiàn)，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的面積貼合理論，更深刻地揭示了三者之間的統(tǒng)一性，并據(jù)此重新對(duì)其進(jìn)行了命名，這就是ellipse(橢圓)、hyperbola(雙曲線(xiàn))和parabola(拋物線(xiàn))的起源.在圓錐曲線(xiàn)單元教學(xué)中，我們可以從標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)來(lái)揭示三種曲線(xiàn)之間的統(tǒng)一性.

如圖13，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為

A

和

B

，

P

(

x

,

y

)為橢圓上異于

A

,

B

的任意一點(diǎn)，

PQ

⊥

AB

，垂足為

Q

.

CD

為垂直于長(zhǎng)軸

AB

的焦點(diǎn)弦(稱(chēng)為橢圓的通徑)，易知過(guò)

A

作

AB

的垂線(xiàn)，且在垂線(xiàn)段上(位于

x

軸下方)取

AE

=

CD

，連結(jié)

BE

，交

PQ

的延長(zhǎng)線(xiàn)于

F

，利用相似三角形性質(zhì)易得

MUSIC算法是現(xiàn)代譜估計(jì)中的一種功率譜估計(jì)方法，基本原理是對(duì)信號(hào)Tx進(jìn)行特征分解，獲取兩個(gè)相互正交的子空間，分別對(duì)應(yīng)信號(hào)子空間Ts和噪聲子空間Tn，再利用其正交性構(gòu)造出空間譜函數(shù).過(guò)程可表示為

圖13 橢圓方程的幾何意義

由橢圓方程得此即

PQ

=

AQ

×

QF

.故得橢圓方程的幾何意義：矩形

AGFQ

的面積等于

PQ

.根據(jù)面積貼合理論，在長(zhǎng)度為通徑的線(xiàn)段

AE

上作一個(gè)長(zhǎng)為

AQ

、面積等于

PQ

的矩形，該矩形的寬

AG

小于

AE

，且不足于

AE

的部分矩形

GERF

與長(zhǎng)為

AB

、寬為

AE

的矩形

AETB

相似.因矩形

AGFQ

未填滿(mǎn)矩形

AERQ

，故稱(chēng)橢圓為虧曲線(xiàn).如圖14，已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為

B

和

A

，

P

(

x

,

y

)為雙曲線(xiàn)上異于

A

,

B

的任意一點(diǎn)，

PQ

⊥

AB

，垂足為

Q

.

CD

為垂直于實(shí)軸

AB

的焦點(diǎn)弦(稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的通徑)，易知過(guò)

A

作

AB

的垂線(xiàn)，且在垂線(xiàn)段上(位于

x

軸下方)取

AE

=

CD

，連結(jié)

BE

并延長(zhǎng)，交

PQ

的延長(zhǎng)線(xiàn)于

F

，利用相似三角形性質(zhì)易得

圖14 雙曲線(xiàn)方程的幾何意義

由雙曲線(xiàn)方程得此即

PQ

=

AQ

×

QF

，故得雙曲線(xiàn)方程的幾何意義：矩形

AGFQ

的面積等于

PQ

.根據(jù)面積貼合理論，在長(zhǎng)度為通徑的線(xiàn)段

AE

上作一個(gè)長(zhǎng)為

AQ

、面積等于

PQ

的矩形，該矩形的寬

AG

大于

AE

，且超出

AE

的部分矩形

GERF

與長(zhǎng)為

AB

、寬為

AE

的矩形

AETB

相似.因矩形

AGFQ

超出矩形

AERQ

，故稱(chēng)雙曲線(xiàn)為盈曲線(xiàn).如圖15，已知雙曲線(xiàn)

y

=2

px

(

p

>0)的頂點(diǎn)為

A

，

P

(

x

,

y

)為拋物線(xiàn)上異于

A

的任意一點(diǎn)，過(guò)

P

向

x

軸引垂線(xiàn)，垂足為

Q

.

CD

為垂直于

x

軸的焦點(diǎn)弦(稱(chēng)為拋物線(xiàn)的通徑)，易知

CD

=2

p

.過(guò)

A

作

x

軸的垂線(xiàn)，且在垂線(xiàn)段上(位于

x

軸下方)取

AE

=

CD

，過(guò)

E

作

x

軸的平行線(xiàn)，交

PQ

的延長(zhǎng)線(xiàn)于

F

，

QF

=

AE

=2

p

.

圖15 拋物線(xiàn)方程的幾何意義

由拋物線(xiàn)方程得

PQ

=

AQ

×

QF

，故得拋物線(xiàn)方程的幾何意義：矩形

AEFQ

的面積等于

PQ

.根據(jù)面積貼合理論，在長(zhǎng)度為通徑的線(xiàn)段

AE

上作一個(gè)長(zhǎng)為

AQ

、面積等于

PQ

的矩形，該矩形的寬恰好等于

AE

.因矩形

AEFQ

恰好占滿(mǎn)

AE

，故稱(chēng)拋物線(xiàn)為齊曲線(xiàn).

可見(jiàn)，三種圓錐曲線(xiàn)方程的幾何意義揭示了它們之間的統(tǒng)一性.

又如，今日教科書(shū)并未揭示正弦定理和余弦定理之間的密切關(guān)系，而歷史上數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了兩者之間的等價(jià)關(guān)系.

由余弦定理，不難得到 sin

A

=1-cos

A

=,sin

B

=1-cos

B

=,sin

C

=1-cos

C

=.于是有故得正弦定理的結(jié)論.又由正弦定理得

a

sin

B

=

b

sin

A

，于是有

a

sin

B

=

b

sin

A

，即

a

=

b

+

a

cos

B

-

b

cos

A

=

b

+(

a

cos

B

+

b

cos

A

)(

a

cos

B

-

b

cos

A

)=

b

+

c

(

c

-2

b

cos

A

).同理可得另兩個(gè)等式.實(shí)際上，平面三角中的和角公式、射影公式、正弦定理和余弦定理之間有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，如圖16所示.

圖16 平面三角公式與定理之間的聯(lián)系

4 登高望遠(yuǎn)

對(duì)于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，不能僅僅照本宣科，作繭自縛，為知識(shí)而知識(shí)，而需轉(zhuǎn)換視角，從更高的觀(guān)點(diǎn)對(duì)該知識(shí)點(diǎn)加以審視，從而進(jìn)一步構(gòu)建“知識(shí)之諧”.用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看絕對(duì)值不等式，不難發(fā)現(xiàn)，它不過(guò)是函數(shù)

f

(

x

)=|

x

|的凹凸性的一種表達(dá)方式(圖17)：或即

圖17 函數(shù)觀(guān)點(diǎn)下的絕對(duì)值不等式

類(lèi)似地，若考察函數(shù)

f

(

x

)=ln

x

和

g

(

x

)=

x

的凹凸性，則分別有即得不等式人們熟悉的均值不等式鏈也可以從高觀(guān)點(diǎn)加以審視.可以證明，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).又因故定義則

F

(

x

)為(-∞,+∞)上的單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù).由

F

(-1)≤

F

(0)≤

F

(1)≤

F

(2)可得可見(jiàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中出現(xiàn)的一些不等式，不過(guò)是有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的推論而已.

HPM課例研究的主要目的是利用數(shù)學(xué)史料來(lái)改善教學(xué)，但教學(xué)設(shè)計(jì)研討不可能僅僅局限于古代的數(shù)學(xué)史料上.事實(shí)上，在德國(guó)數(shù)學(xué)家F·克萊因(F.Klein,1849—1925)之前，函數(shù)概念并非中學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心概念，人們很少用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的主題.因此，HPM研究者還需要以更寬廣的視野去研究有關(guān)主題的歷史.

5 質(zhì)疑問(wèn)難

正如做一道好菜既需要好的食材也需要好的烹飪技術(shù)一樣，從HPM的視角上一節(jié)好課，既需要好的數(shù)學(xué)史料也需要好的運(yùn)用策略.如何將數(shù)學(xué)史料融入教學(xué)設(shè)計(jì)，特別是如何利用數(shù)學(xué)史料編制理想的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是教學(xué)研討的重要主題.

基于數(shù)學(xué)史的問(wèn)題提出策略包括復(fù)制式、情境式、條件式、目標(biāo)式、對(duì)稱(chēng)式、串聯(lián)式和自由式七類(lèi)，表1給出了不同類(lèi)型的史料與問(wèn)題提出策略之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

表1 基于數(shù)學(xué)史料的問(wèn)題提出策略

類(lèi)別數(shù)學(xué)史料問(wèn)題提出的策略含有條件和目標(biāo)公式、定理或法則復(fù)制式、條件式、目標(biāo)式、對(duì)稱(chēng)式、自由式數(shù)學(xué)問(wèn)題復(fù)制式、情境式、條件式、目標(biāo)式、對(duì)稱(chēng)式、串聯(lián)式、自由式不含條件和目標(biāo)概念定義自由式作圖工具自由式其他史實(shí)自由式

例如，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線(xiàn)論》中給出以下命題：如圖18，設(shè)

P

是圓、橢圓或雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)

P

向?qū)ΨQ(chēng)軸引垂線(xiàn)，垂足為

Q

，

T

是對(duì)稱(chēng)軸上位于曲線(xiàn)外的一點(diǎn)，滿(mǎn)足

TB

∶

TA

=

QB

∶

QA

，則

TP

為曲線(xiàn)在點(diǎn)

P

處的切線(xiàn).由該命題可得圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)的尺規(guī)作圖方法：如圖18，設(shè)點(diǎn)

P

是圓、橢圓或雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，

AB

為直徑、長(zhǎng)軸或?qū)嵼S，在

AB

延長(zhǎng)線(xiàn)(或

AB

)上取一點(diǎn)

C

(

C

位于曲線(xiàn)外部)，使得

BQ

=

BC

，過(guò)點(diǎn)

B

作

AP

的平行線(xiàn)，交

AB

在點(diǎn)

C

處的垂線(xiàn)于點(diǎn)

D

，連結(jié)

DP

，交

AB

延長(zhǎng)線(xiàn)或

AB

于點(diǎn)

T

，則

TP

即為所求的切線(xiàn).事實(shí)上，根據(jù)作圖法有

TB

∶

TA

=

BD

∶

AP

=

BC

∶

AQ

=

QB

∶

QA

.據(jù)此我們可以采用自由式策略提出以下解析幾何問(wèn)題：

圖18 圓和圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)的作圖

設(shè)點(diǎn)

P

是圓

x

+

y

=

a

上一點(diǎn)，

AB

為直徑，

PQ

⊥

AB

，垂足為

Q

.在

AB

延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)

C

，使得

BQ

=

BC

，過(guò)點(diǎn)

B

作

AP

的平行線(xiàn)，交

AB

在點(diǎn)

C

處的垂線(xiàn)于點(diǎn)

D

.試證明：

DP

為圓在點(diǎn)

P

處的切線(xiàn).類(lèi)似地，你能給出橢圓和雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)作圖法嗎？

數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)問(wèn)題的編制提供了取之不盡、用之不竭的資源.

6 歸根結(jié)底

在教學(xué)研討中發(fā)現(xiàn)，許多教師在運(yùn)用數(shù)學(xué)史料時(shí)往往忘了“初心”，即未能深入思考為什么要采用HPM的視角、數(shù)學(xué)史究竟有什么獨(dú)特的價(jià)值、用HPM和不用HPM究竟有何不同，在實(shí)際教學(xué)中，也缺乏對(duì)整節(jié)課的提煉和升華.教學(xué)研討中，對(duì)于HPM視角下的一份教學(xué)設(shè)計(jì)，至少可從數(shù)學(xué)思想(方法之美)、核心素養(yǎng)(能力之助)、數(shù)學(xué)文化(文化之魅)、學(xué)科德育(德育之效)等角度加以總結(jié).

例如，“絕對(duì)值不等式”的一種教學(xué)設(shè)計(jì)如下：從歷史上的等周問(wèn)題中，抽象出等周矩形的最大面積問(wèn)題，從而引出均值不等式；引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方法和幾何方法(勾股容方模型)對(duì)不等式加以證明；再用海倫公式和均值不等式來(lái)解決古希臘的三角形等周問(wèn)題：底邊固定的所有等周三角形中，面積最大的三角形具有什么形狀？這樣一份教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用了三種數(shù)學(xué)思想——從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合和化歸，落實(shí)了三種核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀(guān)想象，呈現(xiàn)了三種文化元素——知識(shí)源流、社會(huì)角色和多元文化，體現(xiàn)了三種德育價(jià)值——理性、信念和品質(zhì).

又如，“正弦定理”的一種教學(xué)設(shè)計(jì)如下：根據(jù)10世紀(jì)阿拉伯天文學(xué)家阿爾·庫(kù)希(al-Kuhi)測(cè)量流星的方案，提出流星測(cè)量問(wèn)題，引出解三角形問(wèn)題；再?gòu)摹稁缀卧尽肪硪恢械摹暗冗厡?duì)等角”“等角對(duì)等邊”“大邊對(duì)大角”“大角對(duì)大邊”四個(gè)命題出發(fā)，引出三角形邊角定量關(guān)系問(wèn)題；然后引導(dǎo)學(xué)生從圖19所示的特殊三角形中得到特殊的邊角關(guān)系進(jìn)而猜想出一般三角形的邊角關(guān)系；然后引導(dǎo)學(xué)生探究正弦定理的各種幾何證明；最后利用正弦定理解決流星測(cè)量問(wèn)題.這份教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用了一種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，落實(shí)了兩種核心素養(yǎng)——邏輯推理和直觀(guān)想象，呈現(xiàn)了三種文化元素——知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系和多元文化，體現(xiàn)了四種德育價(jià)值——理性、信念、情感和品質(zhì).

圖19 特殊直角三角形中的邊角關(guān)系

以上我們呈現(xiàn)了HPM視角下教學(xué)研討的一個(gè)較為完整的內(nèi)容框架，其中，“追本溯源”“想方設(shè)法”“探賾索隱”和“登高望遠(yuǎn)”解決的是“用什么數(shù)學(xué)史料”的問(wèn)題，“質(zhì)疑問(wèn)難”解決的是“如何用數(shù)學(xué)史料”的問(wèn)題，“歸根結(jié)底”解決的則是“為何用數(shù)學(xué)史料”的問(wèn)題.我們有理由相信，在HPM教學(xué)理念廣泛傳播和教師在線(xiàn)學(xué)習(xí)研修常態(tài)化的今天，基于該框架的教學(xué)研討，對(duì)于確保HPM課例質(zhì)量、促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展、深化HPM實(shí)踐研究必將產(chǎn)生積極的影響.