角平分線的用法

高冬

角平分線的用法是初中數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)，下面為同學(xué)們介紹角平分線在代數(shù)與幾何綜合題中的四種基本用法.

例題呈現(xiàn)

例1 如圖1，直線AB交x軸、y軸于點(diǎn)A（0，6），B（8，0），點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，連接AP，當(dāng)AP平分∠OAB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

答案：（3，0）

破解策略

1. 分析法：從已知的角平分線入手，構(gòu)建角平分線的輔助線模型.

2. 綜合法：將求點(diǎn)P坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求線段OP的長.

3. 此類題的兩種基本方法：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，列方程求解;（2）“交軌法”，即先求出該點(diǎn)所滿足的隱含直線的解析式，再利用所求解析式與已知點(diǎn)所在的直線（或其他曲線）聯(lián)立方程組求解.

4. 數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想.

5. 角平分線的四種基本模型：

模型一：角平分線+平行線，一般要找等腰邊.

如圖2，OC平分∠AOB，點(diǎn)D在OC上，DE[?]OB，交OA于點(diǎn)E，則△ODE是等腰三角形.

模型二：角平分線是垂線，全等、等腰都出現(xiàn).

如圖3，OC平分∠AOB，點(diǎn)D在OC上，EF過點(diǎn)D垂直于OC，交OA和OB于點(diǎn)E，F(xiàn)，則△ODE≌△ODF，OE = OF.

模型三：角平分線兩邊作垂線，性質(zhì)、全等都出現(xiàn).

如圖4，OC平分∠AOB，點(diǎn)D在OC上，DE⊥OA于點(diǎn)E，DF⊥OB于點(diǎn)F，則△ODE≌△ODF，DE = DF.

模型四：角平分線兩邊截線等，對稱全等轉(zhuǎn)角邊.

如圖5，OC平分∠AOB，點(diǎn)D在OC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在OA和OB上，OE = OF，則△ODE≌△ODF.

例題解析

方法1：角平分線兩邊作垂線，性質(zhì)、全等都出現(xiàn).

結(jié)合∠AOP = 90°，AP平分∠OAB，構(gòu)建“角平分線兩邊作垂線”的模型，如圖6，作PF⊥AB于點(diǎn)F.? 設(shè)OP = m，列方程求解.

方法2：角平分線兩邊截線等，對稱全等轉(zhuǎn)角邊.

結(jié)合AP平分∠OAB、AB可求，根據(jù)“角邊角”構(gòu)建“角平分線兩邊截線等”模型.? 如圖7，在y軸的負(fù)半軸取點(diǎn)F，使AF = AB，連接PF. 設(shè)OP = m，列方程求解.

方法3：角平分線+平行線，一般要找等腰邊.

由角平分線聯(lián)想平行線，構(gòu)建等腰三角形，如圖8，作BE∥y軸，交AP的延長線于點(diǎn)E，利用“交軌法”求坐標(biāo).

方法4：角平分線是垂線，全等、等腰都出現(xiàn).

作AP的垂線，構(gòu)建“角平分線是垂線”模型，如圖9，作BF⊥AP于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，然后利用三角函數(shù)或相似求解.

例題變式

變式1：二倍角問題，挖掘隱含角平分線，構(gòu)建角平分線模型解決問題.

例2 如圖10，直線AB交x軸、y軸于點(diǎn)A（0，6），B（8，0），點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，連接AP，當(dāng)∠OAB = 2∠OAP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

破解策略：1. 動(dòng)點(diǎn)問題，以靜制動(dòng)，分類討論，畫出滿足題意的圖形;2. 遵循“從特殊到一般”的原則，先求特殊情況的解，再根據(jù)題中特殊與一般的位置關(guān)系求其他解.

解法提示：如圖11，符合題意的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，∵∠OAB = 2∠OAP1，∴AP1平分∠OAB，同上題一樣，我們能夠輕松求出點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（3，0）.

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，∵∠OAB = 2∠OAP2，∠OAB = 2∠OAP1，∴∠OAP1 = ∠OAP2，即AO平分∠P1AP2，∵AO⊥x軸，∴根據(jù)“角平分線是垂線”的模型容易得到△OAP1≌△OAP2，∴OP1 = OP2，∴P2的坐標(biāo)為（-3，0）.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0）.

變式2：折疊問題，挖掘隱含角平分線，構(gòu)建角平分線模型解決問題.

例3 如圖12，直線AB交x軸、y軸于點(diǎn)A（0，6），B（8，0），點(diǎn)P是射線BO上一點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿AP折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)C落在y軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

破解策略：1. 以靜制動(dòng)，分類討論畫圖形;2. 數(shù)形結(jié)合，列方程.

解法提示：點(diǎn)C既可以落在y軸的負(fù)半軸，也可以落在y軸的正半軸. 如圖13，當(dāng)點(diǎn)C落在y軸的負(fù)半軸時(shí)，由折疊可知，AP平分∠OAB，同上題一樣，可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，0）.

如圖14，當(dāng)點(diǎn)C落在y軸的正半軸時(shí)，顯然PA平分∠BPC，根據(jù)折疊或“角平分線兩邊截線等”模型，易得OC = OA + AB = 16，設(shè)OP = m，則PC = PB = m + 8，

在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得，m2 + 162 = （m + 8）2，m = 12，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-12，0），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（-12，0）.

能力提升

如圖15，拋物線y = [14]x2 + bx + c交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），P是拋物線上一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

（2）若D是OA的中點(diǎn)，當(dāng)∠PCD = ∠OCD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（作者單位：遼寧省興城市第三初級中學(xué)）