平行四邊形的存在性

何曉明

真題呈現(xiàn)

例 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線[y=-34x+3]與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），若點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)，如果以點(diǎn)O，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

破解策略

A，O兩點(diǎn)是確定的，D，E兩點(diǎn)是不確定的，可以先在直線AB上任取一點(diǎn)D，再將點(diǎn)D看作定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三個(gè)定點(diǎn)了，然后以對角線為標(biāo)準(zhǔn)分類：①AO為對角線;②OD為對角線;③AD為對角線. 再分別畫出符合題意的圖形求解.

模型構(gòu)建

第一步，分別以O(shè)A為對角線、OD為對角線、AD為對角線分類;第二步，畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形;第三步，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算.

（1）OA為對角線.

畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形：先在直線AB上任取一點(diǎn)D，作出平行四邊形，如圖2，當(dāng)然這個(gè)圖形并不符合題意，其目的是借助圖形幫助思考，雖然此時(shí)點(diǎn)E不在直線AC上，但利用此圖可以更直觀地發(fā)現(xiàn)各條邊的關(guān)系，如OE[?]DA，因?yàn)辄c(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在過點(diǎn)O且平行于AB的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖3，這樣可以確定點(diǎn)E，再畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形，確定點(diǎn)D，如圖4.

方法一：聯(lián)立直線OD與直線AB的解析式.

∵A（4，0），C（0，-2），易得[yAC=12x-2]，∵OD[?]AC，[∴yOD=12x]，將直線OD與直線AB的解析式聯(lián)立可得方程[12x=-34x+3]，得[x=125]，[∴D125 ， 65].

方法二：利用中心對稱計(jì)算.

∵直線AB的解析式是[y=-34x+3]，直線AC的解析式是[y=12x-2]，可設(shè)[D ][m， -34m+3]，[E] [n， 12n-2]，當(dāng)AO為對角線時(shí)，可得[xO+xA=xD+xE，yO+yA=yD+yE， ]

即[0+4=m+n，0+0=-34m+3+12n-2， ]解得[m=125，n=85， ]

再將[m=125]代入[y=-34m+3]，得[y=65]，[∴D125 ，65].

（2）OD為對角線.

方法與第一種情況相同，畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形：先在直線AB上任取一點(diǎn)D，作出平行四邊形，如圖5;借助圖形幫助思考，發(fā)現(xiàn)OE∥AB，可以確定點(diǎn)E軌跡，如圖6;確定了點(diǎn)E，再畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形，確定點(diǎn)D，如圖7.

方法一：聯(lián)立直線OE與直線AC的解析式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)平移求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

易得[yAC=12x-2]，∵直線AB的解析式是[y=-34x+3]，且OE[?]AB，∴[yOE=-34x]，解方程[12x-2=-34x]，可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為[85]，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為[xD=85+4=285]，進(jìn)而可得[D285 ，-65].

方法二：利用中心對稱計(jì)算.

設(shè)[D ][m，-34m+3]，[E ][n，12n-2]，當(dāng)OD為對角線時(shí)，可得[xO+xD=xA+xE，yO+yD=yA+yE. ]請同學(xué)們自己完成計(jì)算過程.

（3）AD為對角線.

畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形：先在直線AB上任取一點(diǎn)D，作出平行四邊形，如圖8;借助圖形幫助思考，發(fā)現(xiàn)DE[?]OA 且DE = OA ，可以確定點(diǎn)E軌跡，如圖9;確定了點(diǎn)E，就可以確定點(diǎn)D，如圖10. 經(jīng)計(jì)算可得[D125 ，65].

問題變式

如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)E在OC邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4）.? 將矩形OABC沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)G處.

（1）直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)和直線EF的解析式;

（2）若點(diǎn)N在x軸上，點(diǎn)M在直線EF上，如果以點(diǎn)M，N，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

解析：（1）（3，4 - [3]），[y=3x+4-23].

（2）點(diǎn)F和點(diǎn)G是定點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn)，所以此問可轉(zhuǎn)化為圖12，然后按照之前的辦法求解.不妨將x軸上的點(diǎn)N看作定點(diǎn). 第一步，確定分類標(biāo)準(zhǔn)（類比上題的經(jīng)驗(yàn)，以對角線為標(biāo)準(zhǔn)分類：①FG為對角線;②GN為對角線;③FN為對角線）;第二步，畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形，三種圖形的具體情況如圖13.

第三步：準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算，過程略.

答案：[（1+433，8-3）]，[（1-433，-3）]，[（3-433，3）].

（作者單位：遼寧省沈陽市渾南區(qū)教育研究中心）