基于總費(fèi)用最小的森林救火多參數(shù)優(yōu)化模型

楊官正

（蘇州大學(xué)，江蘇 蘇州 215006）

0 引言

2022年8月重慶出現(xiàn)了一場非常嚴(yán)重的森林火災(zāi)，這場森林火災(zāi)在各方的共同努力下及時(shí)撲滅，但也為人們敲響了警鐘：如何快速控制森林火情，最大程度地減少損失，成為一個亟需解決的問題。在此之前，姜啟源[1]已做了相關(guān)研究，并提出經(jīng)典森林救火數(shù)學(xué)模型。由于姜啟源森林救火模型只考慮了無風(fēng)以及消防隊(duì)員滅火速度恒定的理想情況，因此原本經(jīng)典的救火模型需要進(jìn)一步優(yōu)化。許多學(xué)者對森林救火問題進(jìn)行深入研究，取得了一系列的研究成果，如王光清[2]利用微分法，提出了由總費(fèi)用最少來決定派出隊(duì)員人數(shù)的結(jié)論；林道榮、韓中庚[3]提出了無風(fēng)、小風(fēng)及中風(fēng)情形下的優(yōu)化模型，該模型可以在首次派出消防隊(duì)員人數(shù)不足的情況下，確定增援人員，最大程度地減少森林損失費(fèi)用和救援費(fèi)用。

該文結(jié)合影響森林火災(zāi)的風(fēng)向、自然熄滅以及影響滅火速度等因素，如消防隊(duì)員隨著救火時(shí)間增加體力下降導(dǎo)致救火速度降低的情況，對姜啟源經(jīng)典森林救火模型進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而提出合理確定派遣消防隊(duì)員人數(shù)的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解論證，以期為消防部門進(jìn)行森林救火提供參考。

1 姜啟源森林救火數(shù)學(xué)模型

該文的模型優(yōu)化基于姜啟源救火模型[1]。姜啟源認(rèn)為森林損失費(fèi)通常正比與森林燒毀的面積，它與火勢蔓延程度、燃燒的時(shí)間有關(guān)；記失火時(shí)刻t=0，消防隊(duì)員前來救援的時(shí)刻為t=t1，火被撲滅時(shí)刻為t=t2（t1

根據(jù)上述情況，姜啟源提出4種假設(shè)：1）損失費(fèi)與森林燒毀面積成正比，記c1為燒毀單位面積損失費(fèi)，s失為森林火災(zāi)被撲滅時(shí)森林燒毀面積，則森林總損失費(fèi)為c1s失。2）假定燃燒面積以失火點(diǎn)為中心，勻速向四周蔓延，形成一個規(guī)則的圓形，則圓的半徑與燃燒持續(xù)時(shí)間成正比，設(shè)t時(shí)刻圓的半徑r1=βt，比例系數(shù)β火勢蔓延速度，即單位時(shí)間內(nèi)火勢沿特定方向延伸的距離。燃燒面積如圖1所示。3）記每個隊(duì)員的滅火速度為常數(shù)；假定有名消防隊(duì)員。4）救援費(fèi)包括2個部分：1）消防隊(duì)員的人工成本。這項(xiàng)費(fèi)用與隊(duì)員人數(shù)及滅火持續(xù)的時(shí)間有關(guān)。派出的人數(shù)越多，滅火持續(xù)的時(shí)間越長，人工成本越高。2）運(yùn)送消防隊(duì)員的運(yùn)輸成本和救援器材的損耗等一次性支出，只與隊(duì)員人數(shù)有關(guān)。派出的人數(shù)越多，一次性支出就越多。記每個消防隊(duì)員單位滅火時(shí)間的人工成本為c2，則每個隊(duì)員救火的人工成本為c2（t2-t1），記每個隊(duì)員的一次性支出為。

圖1 無風(fēng)情況下t時(shí)刻的燃燒面積

基于以上情況可知總費(fèi)用函數(shù)如公式（1）所示。

式中：C（x）為總費(fèi)用函數(shù)；c1s失為森林總損失費(fèi)；c2（t2-t1）x為總的人工成本；c3x為隊(duì)員總的一次性支出。

對上述函數(shù)進(jìn)行求解，即可得出需要派出消防隊(duì)員的最優(yōu)人數(shù)。

2 救火額外因素問題

通過求解上述森林救火模型，可以得到森林損失費(fèi)用與救火的總開支情況，計(jì)算出合理派遣消防隊(duì)員人數(shù)，為消防部門救火提供理論依據(jù)。然而在實(shí)際生活中，還要考慮森林火災(zāi)的滅火過程中的很多因素：例如火災(zāi)大小及蔓延速度受自然風(fēng)（風(fēng)的大?。?、風(fēng)向（上風(fēng)口、下風(fēng)口、側(cè)風(fēng)口）、地勢（平坦、緩坡、陡坡）以及森林植被品種等因素的影響；森林火災(zāi)撲滅時(shí)間還與消防隊(duì)員路上時(shí)間以及消防隊(duì)員隨著撲火時(shí)間增長體力下降等因素有關(guān)。該文選擇考慮有風(fēng)條件、可燃物的自然熄滅和消防隊(duì)員隨著撲火時(shí)間增長而體力下降這3個因素。

3 救火額外因素問題分析

姜啟源的3個假設(shè)條件中，與實(shí)際情況有出入，包括以下3點(diǎn)：1）一般情況下，森林中會存在自然風(fēng)，風(fēng)會加大火勢，風(fēng)力越大火蔓延速度越快（假設(shè)一定風(fēng)速下，風(fēng)力對火勢蔓延速度的影響相對固定）。2）消防隊(duì)員體力有限，隨著救火時(shí)間增加，救火效率下降。3）隨著火勢蔓延，原有的著火區(qū)域會隨著可燃物燃盡自然熄滅。

4 模型優(yōu)化

根據(jù)上述3個影響因素，分別對姜啟源的森林救火模型進(jìn)行優(yōu)化。

4.1 在有風(fēng)的情況下，且風(fēng)速相對穩(wěn)定

原模型假設(shè)（2）中指出：從失火到開始救火這段時(shí)間（0

為方便考慮，在平面內(nèi)以著火點(diǎn)為原點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系，并假設(shè)自然風(fēng)從x軸負(fù)方向吹向x軸正方向。為簡化模型，不考慮火災(zāi)蔓延速度在蔓延過程中或在隨后的救火過程中逐漸降至0。因此，在開始救火至火被撲滅這段時(shí)間內(nèi)的蔓延速度β不變。對不同方向上的火勢蔓延情況進(jìn)行分析：下風(fēng)口（x正半軸）處于火勢順風(fēng)的情況下。因此，原假設(shè)（2）中定義的蔓延速度β在x正半軸方向上會有一個火勢蔓延速度增量α1（假設(shè)自然風(fēng)造成的速度增量是一個與距離、時(shí)間無關(guān)的定值），此時(shí)α1為正值，則t時(shí)刻在x正半軸方向上火勢蔓延的距離為（β+α1）t；上風(fēng)口（x負(fù)半軸）處于火勢逆風(fēng)情況下。同理，原假設(shè)（2）中定義的蔓延速度β在x負(fù)半軸方向上會有一個火勢蔓延速度減量α2（同樣α2為定值，且|α2|<β），此時(shí)α2為負(fù)值，則t時(shí)刻在x負(fù)半軸方向上火勢蔓延的距離為 （β+α2）t；側(cè)風(fēng)口y軸方向上火勢蔓延速度可近似視為無變化，仍保持β。這樣在t2火被撲滅時(shí)刻已經(jīng)燃燒的面積可近似視為如圖2所示的類橢圓形（由2個半橢圓構(gòu)成，分別是x>0區(qū)域的半橢圓和x<0區(qū)域的半橢圓）。根據(jù)橢圓面積公式：s=παb，其中α、b分別為橢圓的長半軸、短半軸的長?？傻梦挥谙嘛L(fēng)口x>0區(qū)域的半橢圓面積，如公式（2）所示。

圖2 有風(fēng)情況下t2時(shí)刻森林已燃燒的總面積

式中：S下為下風(fēng)口的半橢圓的面積；（β+α1）t2為x軸方向上的長半軸的長；βt2為y軸方向上的短半軸的長。

進(jìn)一步簡化得到公式（3）。

同理可求得位于上風(fēng)口x<0區(qū)域的半橢圓面積，如公式（4）所示。

由此可知t2時(shí)刻森林已燃燒的總面積如公式（5）所示。

式中：s失為t2時(shí)刻森林已燃燒的總面積為下風(fēng)口半橢圓的面積；為上風(fēng)口半橢圓的面積。

4.2 考慮自然熄滅

在森林火災(zāi)中，燃燒區(qū)域隨著可燃物的燃盡呈現(xiàn)自然熄滅的狀態(tài)。自然熄滅面積與可燃物的自然速度有關(guān)。假定無風(fēng)情況下自然熄滅面積以失火點(diǎn)為中心，勻速向四周蔓延，形成一個規(guī)則的圓形，則圓的半徑與燃燒持續(xù)時(shí)間成正比，設(shè)t時(shí)刻圓的半徑r2=vt，比例系數(shù)為自然熄滅速度（大小小于火勢蔓延速度），即單位時(shí)間內(nèi)火勢沿特定方向熄滅的距離。自然熄滅的面積如圖3所示。

圖3 無風(fēng)情況下t時(shí)刻的自然熄滅面積

上述情況未考慮有風(fēng)情況，但實(shí)際過程是有風(fēng)存在的。假定風(fēng)速條件與4.1相同，同樣地，因?yàn)轱L(fēng)會使火勢增大，單位面積內(nèi)著火物燃得越快，其單位面積自燃速度應(yīng)越快，在下風(fēng)口x>0區(qū)域的自燃物處于順風(fēng)的條件下，火勢沿著軸蔓延，因此自然熄滅速度有一個額外的速度增量（假設(shè)自然風(fēng)造成的速度增量是一個與距離、時(shí)間無關(guān)的定值），此時(shí)為正值；同理上風(fēng)口x<0區(qū)域的自燃物處于逆風(fēng)的條件下，火勢沿著軸蔓延，因此自然熄滅速度有一個額外的速度減量b2（同樣b2為定值，且|b2|

因此，t2時(shí)刻可燃物因燃燒而已經(jīng)自然熄滅的面積也可以看作是一個較小的類橢圓形（由 2 個較小的半橢圓構(gòu)成的），如圖 4 所示，分別是x>0區(qū)域的半橢圓和x<0區(qū)域的半橢圓）。根據(jù)橢圓面積公式，可得下風(fēng)口x>0區(qū)域的半橢圓面積，如公式（6）所示。

圖4 有風(fēng)情況下t2時(shí)刻已自然熄滅的總面積

式中：S自下為下風(fēng)口的半橢圓的面積；（v+b1）t2為x軸方向上的長半軸的長；vt2為y軸方向上的短半軸的長。

進(jìn)一步化簡得：

同理可求得位于上風(fēng)口x<0區(qū)域的半橢圓面積，如公式（8）所示。

由此可知t2時(shí)刻森林已自然熄滅的總面積如公式（9）所示。

式中：S自為t2時(shí)刻森林已自然熄滅的總面積；為下風(fēng)口半橢圓的面積上風(fēng)口半橢圓的面積。

4.3 消防隊(duì)員需要撲滅的面積

考慮有風(fēng)情況下森林燃燒的總面積和自然熄滅的總面積后，消防隊(duì)員需要撲滅的面積為森林燃燒的總面積S失減去自然熄滅的總面積S自。記消防隊(duì)員需要撲滅的總面積為S滅，則有S滅=S失-S自。圖5中的陰影部分為消防隊(duì)員需要撲滅的總面積S滅。

圖5 有風(fēng)情況下消防隊(duì)員需要撲滅的總面積

4.4 考慮消防隊(duì)員體力

姜啟源數(shù)學(xué)模型是建立在消防隊(duì)員滅火速度是常數(shù)基礎(chǔ)上的。事實(shí)上，消防隊(duì)員滅火速與消防隊(duì)員參與救火持續(xù)的時(shí)間有關(guān)。一般說來，隨著撲火時(shí)間增長體力下降，其單位時(shí)間滅火面積也下降。

原模型假設(shè)（3）：每個隊(duì)員的平均滅火速度作為常數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中顯然不符合常理的，因?yàn)橄狸?duì)員滅火速度與其救火時(shí)間有關(guān)，隨著時(shí)間的增加其體力逐漸下降，上單位滅火速度越小。因此，在實(shí)際中應(yīng)看作一個隨時(shí)間變化的減函數(shù)λ（t），設(shè)表示時(shí)刻的瞬時(shí)滅火速度，即單位時(shí)間的滅火面積。為了簡便不妨將消防員體力看成隨時(shí)間均勻減少，即λ（t）為一次函數(shù)，該函數(shù)如公式（10）所示。

式中：λ0為消防隊(duì)員的初始滅火速度；k為比例常數(shù)且k>0。

則（t2-t1）這段時(shí)間的滅火面積可以看成時(shí)刻的滅火速度滅火時(shí)間（t2-t1）。現(xiàn)假定派出消防隊(duì)員人數(shù)為x， 則消防隊(duì)員共撲滅失火面積如公式（11）所示。

式中：S滅為消防隊(duì)員滅火的面積；x為派出消防隊(duì)員人數(shù)；λ（t）（t2-t1）為單個消防隊(duì)員的滅火面積。

經(jīng)整理得到公式（12）。

5 模型求解

5.1 面積相等

根據(jù)自燃熄滅的面積+消防隊(duì)員撲滅的面積與失火總面積相等，即S滅=S自-S失。

根據(jù)公式（4）、公式（7）、公式（9）可得：

整理可得：

為了簡化式子，令：

則有：

則解得：

5.2 總費(fèi)用最小

綜上可知，總費(fèi)用由森林損失費(fèi)用和救援費(fèi)用2個部分構(gòu)成，其中救援費(fèi)用由人工成本和消防隊(duì)員的運(yùn)輸成本、救援器材損耗等一次性支出構(gòu)成。因此，由（1）、（4）可知總費(fèi)用如公式（15）所示。

式中：C（x）為總費(fèi)用函數(shù)為森林總損失費(fèi)；c2（t2-t1）x為總的人工成本；c3（x）為總的一次性支出。

其中，

由公式（15）和公式（16）可知，該函數(shù)C（x）最高項(xiàng)是二次項(xiàng)，因此有極小值。因此可以根據(jù)實(shí)際條件，帶入相關(guān)參數(shù)值，通過該模型求得總費(fèi)用的最小值以及派出消防隊(duì)員的最優(yōu)人數(shù)。

6 結(jié)論

該文所建的模型在原模型的基礎(chǔ)上不僅討論了有風(fēng)情況下的救火問題，還考慮了自然熄滅因素、消防隊(duì)員體力因素對滅火過程的影響，最后以燃燒面積與自然熄滅面積與滅火面積之和相等為依據(jù)列式求解，得到派出消防隊(duì)員的最優(yōu)人數(shù)，使模型更具有理論性，考慮地更綜合全面，結(jié)果更貼合實(shí)際。在實(shí)際應(yīng)用中可帶入相關(guān)參數(shù)，通過該模型進(jìn)行大致擬合得出近似結(jié)果，以降低滅火的成本。

由于現(xiàn)實(shí)中火災(zāi)情況更復(fù)雜，該模型與實(shí)際情況仍有一定差距，可在此基礎(chǔ)上作出更合理的假設(shè)，進(jìn)一步求解模型得出結(jié)果。