基于Mathematica的駐波及弦上駐波的可視化

曹 蓉， 汪夢雅， 吳 琪

(西藏大學(xué) 理學(xué)院， 拉薩 850000)

“電磁場和電磁波”是高等院校電子信息與電氣工程類專業(yè)的一門重要理論課程，其教學(xué)內(nèi)容中包含很多難以理解的概念，并且在學(xué)習(xí)過程中往往需要求解復(fù)雜的微積分方程，因此學(xué)生需要花費(fèi)大量的時間手動推算計(jì)算結(jié)果，這就增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。通過形象化的圖形可以幫助學(xué)生更好的理解課程中抽象的電磁場和電磁波的概念，編寫簡單的程序也能夠快速得到結(jié)果，所以實(shí)現(xiàn)電磁場和電磁波的可視化在教學(xué)過程中顯得尤為重要。

Mathematica是一款功能強(qiáng)大的計(jì)算和作圖軟件。相較于其他數(shù)學(xué)軟件，它有著易上手，好操作等特點(diǎn)，在教學(xué)過程中，能夠?qū)⒊橄蟮母拍罹唧w化，復(fù)雜的計(jì)算簡單化，并且在高等院校的很多課程中被廣泛應(yīng)用，本文基于Mathematica軟件，實(shí)現(xiàn)了駐波概念和結(jié)果的可視化，有助于提高學(xué)生對“電磁場和電磁波”課程的學(xué)習(xí)興趣。

駐波是波的干涉的一種特殊現(xiàn)象，很多教材給出了駐波的一些基本概念，然而對于駐波的實(shí)際應(yīng)用并沒有給出詳細(xì)的描述。本文詳細(xì)歸納了駐波及弦上駐波的相關(guān)內(nèi)容，并利用Mathematica軟件形象地演示了駐波的傳播特性，有助于學(xué)生更加透徹而深入理解電學(xué)中駐波的一系列物理意義。

1 駐波的概念

駐波是波干涉的一種特例，通過波的干涉概念我們可以進(jìn)一步理解駐波的概念。當(dāng)兩列振動方向相同(縱波或橫波)、頻率相同且相位差恒定的波在空間同時傳播且相遇時，就會表現(xiàn)為空間各點(diǎn)合振動振幅強(qiáng)弱相同的現(xiàn)象，這就是波的干涉，而振幅相同、傳播方向相反的兩列相干波疊加產(chǎn)生的合成波就形成駐波。

我們知道，在普通物理教材中，通常只研究理想狀態(tài)下相干波所形成的駐波，但在實(shí)際應(yīng)用中，弦線上駐波的形成往往存在著能量的損失，因此在理想條件下推導(dǎo)出的駐波表達(dá)式，在很多時候并不能滿足所能達(dá)到的結(jié)果。然而教材對于駐波的實(shí)際應(yīng)用沒有給出比較系統(tǒng)全面的分析和推導(dǎo)，因此本文的重點(diǎn)就是分析駐波傳播中能量的損失，從而給出弦線上駐波的一般表達(dá)式。

1.1 駐波方程[1]

駐波是由兩列振幅相同、傳播方向相反的相干簡諧波干涉形成的。

設(shè)正向波方程和反向波方程為(初相位為0)：

(1)

則兩列波在波線上疊加后的合振動為：

(2)

上式(2)表示各點(diǎn)都在作簡諧運(yùn)動，各點(diǎn)振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點(diǎn)振幅隨位置的不同而不同，表明駐波一個重要的特點(diǎn)是介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都在作穩(wěn)定的振動，而不是振動的傳播。

若坐標(biāo)原點(diǎn)處相位不為零，則有如下方程：

(3)

(4)

其中φ表示相位。

1.2 駐波特征[2]

1) 波腹和波節(jié)

(5)

2) 相位分布

(6)

(7)

(8)

上式(6)(7)(8)表明對于所有的質(zhì)點(diǎn)來說時間部分提供的相位是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。并且在波節(jié)兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)的振動相位是相反的，相鄰波節(jié)之間質(zhì)點(diǎn)的振動相位是相同的。

1.3 駐波的能量密度

(9)

其中u表示簡諧波的波速，在傳播中t時刻的振動速度為

(10)

質(zhì)點(diǎn)在此時刻的振動動能為

(11)

弦線因發(fā)生彈性形變而具有彈性勢能，則質(zhì)點(diǎn)的彈性勢能為

(12)

質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能為動能和勢能之和，即

(13)

單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量稱為能量密度，形成駐波的兩列簡諧波即入射波和反射波的能量密度分別為

(14)

其中ρ為弦線的線密度，兩波疊加后形成的駐波的能量密度[3]為

(15)

1) 波腹、波節(jié)處的能量密度

2) 相鄰波腹、波節(jié)之間的動能和勢能

(1) 相鄰波腹、波節(jié)之間的動能：駐波中質(zhì)點(diǎn)的動能密度為

(16)

(17)

(2) 相鄰波腹、波節(jié)之間的勢能：質(zhì)點(diǎn)的勢能密度為

wp=w-wk=2ρA2ω2sin2kxcos2ωt

(18)

同理，對(18)式積分可得相鄰波腹波節(jié)之間的勢能

(19)

綜上可知，當(dāng)介質(zhì)中所有質(zhì)點(diǎn)的位移達(dá)到最大值時，各質(zhì)點(diǎn)速度為零，即動能為零，這時除了波節(jié)外，所有質(zhì)點(diǎn)都不在其平衡位置，從而引起介質(zhì)的最大彈性形變，此時駐波上各個質(zhì)點(diǎn)的全部能量都是勢能，因?yàn)椴ü?jié)附近的相對形變最大，所以勢能最大，而在波腹附近相對形變?yōu)榱?，所以勢能為零，從波腹到波?jié)勢能逐漸增大，能量以勢能形式集中在波節(jié)附近。同理，當(dāng)介質(zhì)中所有質(zhì)點(diǎn)同時達(dá)到平衡位置時，介質(zhì)的形變?yōu)榱悖虼藙菽芤矠榱?，這樣駐波的全部能量都是動能。這時波腹處各個質(zhì)點(diǎn)的速度最大，即動能最大；而在波節(jié)處各個質(zhì)點(diǎn)速度為零，即動能為零，此時能量以動能形式集中在波腹附近，由此可見，介質(zhì)在振動過程中，駐波的能量在相鄰波腹和波節(jié)之間往復(fù)變化，在相鄰波節(jié)間動能和勢能不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)換，且在轉(zhuǎn)換過程中能量不斷地由波腹附近轉(zhuǎn)移到波節(jié)附近，再由波節(jié)附近轉(zhuǎn)移到波腹附近，這也說明了在駐波進(jìn)行的過程中沒有能量的定向傳播。

2 弦上駐波

在傳統(tǒng)的物理課本中，通常是利用上述理論推導(dǎo)出理想駐波方程，但弦振動上的駐波[4]有別于無限空間的理想駐波，從現(xiàn)象上看，仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)弦線上“駐波”的波節(jié)處并非靜止在其平衡位置上；從理論上看，弦線上的入射波和反射波在傳播過程中總是存在著機(jī)械能的損耗，并且在反射端處也有能量損失。因此，相干波的振幅并不是常量。如果將相干波的振幅為常量時所形成的駐波稱為理想的駐波時，那么，相干波的振幅不相同或?yàn)樽兞繒r所形成的駐波，則可以通稱為實(shí)際的駐波。

2.1 弦線上的駐波實(shí)驗(yàn)

弦線上駐波的實(shí)驗(yàn)通常采用一端固定的拉緊的弦線來演示，在跨過滑輪的弦線的一端系一砝碼，在弦線的另一端接一電動音叉，如圖1所示。電動音叉在弦線上激起行波，此時行波的頻率就是電動音叉的頻率。電動音叉激發(fā)的余弦波自A端入射，進(jìn)入AB弦向右傳播，到達(dá)端點(diǎn)B，由于B端保持固定不動，波就被反射回來傳到A端，受音叉端面反射又返回去，如此往返的傳播形成駐波，所以這本質(zhì)上是一個求解無限多正反向傳播余弦波的合成問題?；谶@個思路，本文給出弦振動形成的波動的一般表達(dá)式，這與嚴(yán)格意義的理想駐波表示相近。

圖1 弦上駐波實(shí)驗(yàn)

2.2 弦線上駐波形成的條件

圖2 兩端固定的簡正模式

2.3 半波損失

在圖1所示的實(shí)驗(yàn)中，反射點(diǎn)B是固定的，且在此處形成駐波的一個波節(jié)。這說明當(dāng)反射端固定時，繩子會產(chǎn)生一個與入射波反向的擾動即反射波，兩波在B點(diǎn)處是反相位的。如果反射端是自由的，那么受到繩子的擾動會形成一個和入射波在B點(diǎn)處相位相同的入射波，那么形成的駐波在B點(diǎn)處應(yīng)該是波腹，也就是說，當(dāng)反射點(diǎn)固定不動的時候，反射波和入射波間發(fā)生相位突變，因?yàn)橄嗑喟氩ㄩL的兩質(zhì)點(diǎn)相位差為π，而波程差為半個波長，所以這個相位突變稱為半波損失，如果反射點(diǎn)是自由的，那么反射波和入射波相位相同，此時反射波和入射波之間不存在相位突變。

根據(jù)研究表明，當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密媒質(zhì)界面上反射時，有半波損失，形成的駐波在界面處是波節(jié)。當(dāng)波從波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時，無半波損失，界面處出現(xiàn)波腹。

2.4 弦線上駐波的方程

為了比較理想的駐波與實(shí)際的駐波之間的差別及各自的特點(diǎn)，下面分4種情況分析討論弦線上的駐波。

1) 部分反射波

弦線上的駐波是由入射波和反射波的疊加而成。其中反射波[6]可能有兩種情況：第一種是波從波疏媒質(zhì)向波密媒質(zhì)傳播，則在B點(diǎn)反射時，有半波損失；第二種是波從波密媒質(zhì)向波疏媒質(zhì)傳播，則反射時無半波損失。

設(shè)入射波t時刻在A點(diǎn)的振動方程為yA=Acosωt，且波方程為

y1=Acos(ωt-kx)

(20)

該波傳播到B點(diǎn)處，在B處的振動方程為

yB=Acos(ωt-kL)

(21)

當(dāng)波從波疏媒質(zhì)向波密媒質(zhì)傳播，在B點(diǎn)反射時有半波損失，此時振動方程為

yB′=Acos(ωt-kL+π)

(22)

反射波向左傳播L距離后，在A點(diǎn)的振動方程為

yA′=Acos(ωt-2kL+π)

(23)

則反射波以A點(diǎn)為原點(diǎn)的波方程為

y2=Acos(ωt-2kL+π+kx)

(24)

(25)

為了更直觀地看清楚結(jié)果，本文運(yùn)用Mathematica軟件中Plot命令繪制出駐波形成的曲線，另外除自變量外還有一些參數(shù)，這些參數(shù)的大小需通過可交互式的調(diào)節(jié)，本文運(yùn)用Manipulate命令來實(shí)現(xiàn)參數(shù)調(diào)節(jié)操作，在上述條件下可知，兩波存在初相位差π ，因此通過調(diào)節(jié)相位φ來實(shí)現(xiàn)，得到如圖3所示的三條振動曲線，其中細(xì)虛線為入射波，粗虛線為反射波，實(shí)線為合成的駐波。

圖3 部分反射波形成的駐波

2) 完全反射波

當(dāng)波從波密媒質(zhì)向波疏媒質(zhì)傳播，在B點(diǎn)反射時無半波損失，此時振動方程為

yB″=Acos(ωt-kL)

(26)

反射波向左傳播L距離后，在A點(diǎn)的振動方程為

yA″=Acos(ωt-2kL)

(27)

則反射波以A點(diǎn)為原點(diǎn)的波方程為

(28)

(29)

上述條件下描述的是沒有半波損失的條件，因此我們可以在Mathematica中，調(diào)節(jié)參數(shù)使得兩波初始相位相同，從而得到如圖4的三條振動曲線，其中細(xì)虛線為入射波，粗虛線為反射波，實(shí)線為合成的駐波。

圖4 完全反射波形成的駐波

3) 弦線為吸收介質(zhì)

實(shí)際上，波在向前傳播過程中媒質(zhì)對它的吸收總是程度不同的存在著。如果考慮到行波在弦線上傳播時的能量損失[7]，則在弦線上所形成的駐波又有兩種情況。第一種情況反射波為完全反射；第二種情況反射波為部分反射。

首先分析第一種情況，如果入射波方程為y1=Ae-αx)cos(ωt-kx)，式中α為介質(zhì)的吸收系數(shù)，則反射波的波方程為

y2=Ae-α(2L-x)cos(ωt-2kL+kx)

(30)

這樣形成的駐波方程為

y=y1+y2=Ae-αxcos(ωt-kx)+Ae-α(2L-x)cos(ωt-2kL+kx)

(31)

當(dāng)考慮到波在弦線上傳播的過程中存在能量損失時，我們可以在直接在Mathematica中修改波的方程，將吸收系數(shù)作為參數(shù)，通過調(diào)節(jié)各個參數(shù)的取值大小，這里我們假設(shè)吸收系數(shù)的取值范圍為1～2，得到如圖5所示的三條振動曲線，其中細(xì)虛線為入射波，粗虛線為反射波，實(shí)線為合成的駐波。

圖5 完全反射條件下弦線為吸收介質(zhì)的波的曲線圖

4) 實(shí)際弦線上的駐波

我們所看到弦線上的駐波，既存在行波傳播過程中的能量損失，在固定端又是存在半波損失。此時，若入射波的波方程為

y1=Ae-αxcos(ωt-kx)

(32)

設(shè)反射系數(shù)為f1，反射波的波方程為

y2=f1Ae-α(L-x)cos(ωt-kL+π+kx)

(33)

向左傳播的y2波傳至音叉處，又經(jīng)過A反射，此時反射波方程為

y3=f1f2Ae-α(2L-x)cos(ωt-2kL+kx)

(34)

f2為音叉的反射系數(shù)，2kL表示y3比y1相位落后，設(shè)f1、f2為不隨L和波形變化的定值，則可類似的得到反射波y4…

此時，駐波的波方程為

y=y1+y2+y3+…=Ae-αxcos(ωt-kx)+f1Ae-α(L-x)cos(ωt-kL+π+kx)+f1f2Ae-α(2L-x)cos(ωt-2kL+kx)+…

(35)

通過分析，我們可以知道實(shí)際情況下弦上駐波既存在能量損失，又存在半波損失，所以我們需要把吸收系數(shù)和初相位這兩個關(guān)鍵的參數(shù)都進(jìn)行調(diào)節(jié)，使其滿足上述條件。此時由Mathematica軟件[8]畫出的曲線如圖6所示，其中細(xì)虛線為入射波，粗虛線為反射波，實(shí)線為合成的駐波。

圖6 實(shí)際情況下弦上駐波的曲線圖

3 結(jié)語

本文首先從駐波理論的基礎(chǔ)開始，利用干涉的概念推導(dǎo)出理想駐波的方程，在此基礎(chǔ)上討論了波節(jié)、波腹的位置以及相位分布，然后根據(jù)彈性理論知識討論了駐波的能量密度；其次是駐波的應(yīng)用，利用弦線上的駐波實(shí)驗(yàn)，找到了駐波形成的條件同時也推導(dǎo)出簡正模式下簡正頻率的取值；最后為了更深入的理解駐波方程，本文綜合考慮行波傳播過程中的能量損失和在固定端存在半波損失兩個因素，最終得出實(shí)際弦線上駐波的方程，并且運(yùn)用了Mathematica中的一些命令將不同條件下駐波的形成進(jìn)行了較為直觀的演示，這對電學(xué)領(lǐng)域中交流電、電磁波在電氣電子工程應(yīng)用中有很大的參考意義。