在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)舉一反三的能力

林琳

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的途徑是多渠道的，有效地進(jìn)行舉一反三學(xué)習(xí)是培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一.舉一反三能夠讓我們?cè)跓o(wú)限的空間里實(shí)現(xiàn)思維的飛躍，有助于開(kāi)啟我們的應(yīng)變力、想象力、創(chuàng)造力之門(mén)；舉一反三以問(wèn)題探究為中心，通過(guò)研究一個(gè)問(wèn)題的多種解法或同一類型問(wèn)題的相似解法，拓展我們思維的廣度和深度；舉一反三重在培養(yǎng)我們探究性學(xué)習(xí)的意識(shí)，激發(fā)我們的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的激情. 青少年的天性是好奇和求異，凡事喜歡問(wèn)個(gè)究竟和另辟蹊徑. 因此，我們要敢于求異，勇于創(chuàng)新.

我們都知道，數(shù)學(xué)是人類從事計(jì)量、建筑等行業(yè)必不可少的工具學(xué)科. 進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，社會(huì)更加需要具有探究能力和創(chuàng)新精神的人才，更加需要能夠舉一反三的人才. 因此，我們必須注重培養(yǎng)自己的探究能力，培養(yǎng)舉一反三的能力，只有這樣，才能適應(yīng)新時(shí)代的發(fā)展，讓我們?cè)谧呦蛏鐣?huì)后也能繼續(xù)學(xué)習(xí).

那么如何在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己舉一反三的能力呢？

1. 成為課堂的主人

我們是課堂教學(xué)的主體，學(xué)習(xí)主要是我們自己的事情，老師只能是一個(gè)引導(dǎo)者和促進(jìn)者. 傳統(tǒng)教學(xué)模式中，我們習(xí)慣認(rèn)為：老師講得越多、越細(xì)、越深、越透，我們學(xué)得就越快、越好，老師帶領(lǐng)我們探索，總比我們自己摸索要來(lái)得更快一些. 實(shí)際上，這樣做容易造成我們思維的惰性. 如在學(xué)習(xí)“三角形面積”時(shí)，經(jīng)常是老師演示，證明三角形等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半，使我們獲得感性認(rèn)識(shí)，并反復(fù)強(qiáng)調(diào)“等底等高”這個(gè)前提條件，從而推出三角形面積的計(jì)算公式.這種學(xué)習(xí)我們是知識(shí)的被動(dòng)接受者，大大減少了我們自己思考的機(jī)會(huì)，從而使我們的思維空間越來(lái)越狹窄，不要說(shuō)“反三”了，“舉一”也舉不好. 因?yàn)樵谡n堂學(xué)習(xí)中，我們不需要思考，而在解答問(wèn)題需要思考的時(shí)候，我們往往不知如何去思考. 我們對(duì)所要掌握的知識(shí)，沒(méi)有經(jīng)過(guò)自己的思考、探究，就似是而非地“知道了”，其實(shí)是一知半解，從而導(dǎo)致我們運(yùn)用知識(shí)去理解和解答有關(guān)問(wèn)題的能力不強(qiáng)，造成我們思維的惰性.要改變這一現(xiàn)狀，我們就應(yīng)該根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，自主地去探究，去發(fā)現(xiàn)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí). 要做到：我們能獨(dú)立思考的，不靠老師提示；我們能獨(dú)立操作的，不靠老師代替；我們能獨(dú)立解決的，不靠老師示范. 這樣才能培養(yǎng)我們獨(dú)立思考和“舉一反三”的能力.

2. 樹(shù)立正確的自信心

我們要相信自己，要相信能通過(guò)自己的努力，學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí).基礎(chǔ)較好的同學(xué)可以在“舉一”的基礎(chǔ)上“反三”甚至“反四”，中等的同學(xué)可以“反一”“反二”，基礎(chǔ)不太好的同學(xué)把“一”舉好就行了. 另外，我們可以在自由討論中做到“生幫生”，從而促進(jìn)大家的共同進(jìn)步.

舉一反三是培養(yǎng)我們創(chuàng)新思維能力的有效途徑之一. 下面結(jié)合學(xué)習(xí)實(shí)踐，談?wù)勗趯W(xué)習(xí)中誘發(fā)舉一反三的幾種做法.

1. 變換題設(shè)或結(jié)論

即通過(guò)對(duì)習(xí)題的題設(shè)或結(jié)論進(jìn)行變換，而對(duì)同一個(gè)問(wèn)題從多個(gè)角度來(lái)研究.這種訓(xùn)練可以增強(qiáng)我們解題的應(yīng)變能力，培養(yǎng)思維的廣闊性和深刻性，從而培養(yǎng)創(chuàng)新思維的品質(zhì).

2. 變換題型

即將原題重新包裝成新的題型，改變單調(diào)的習(xí)題模式，從而訓(xùn)練我們解各種題型的綜合能力，培養(yǎng)我們思維的適應(yīng)性和靈活性，有助于我們創(chuàng)新思維品質(zhì)的形成.

那么如何做到以上兩點(diǎn)呢？下面以應(yīng)用題為例一起探討. 應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要部分，也是難點(diǎn)所在.

列方程解應(yīng)用題一般步驟為：（1） 審題：理解題意，弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，找出其中的相等關(guān)系；（2） 設(shè)未知數(shù)：用字母表示題目中的未知數(shù)，并用這個(gè)字母和已知數(shù)一起組成表示各數(shù)量關(guān)系的代數(shù)式；（3） 列方程；（4） 解方程；（5） 答：檢查所求的解是否使方程成立，是否使實(shí)際問(wèn)題有意義，寫(xiě)出答案.

列方程解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意靈活設(shè)未知數(shù)，一般情況下，用直接設(shè)元法設(shè)出未知數(shù)，但有時(shí)為了解題的方便，采取間接設(shè)元法；注意檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際情況，對(duì)于不符合題意的解，一定要寫(xiě)明舍去的理由；注意答案的語(yǔ)言要明確完整，不能過(guò)于簡(jiǎn)單或省略不寫(xiě).

現(xiàn)在就以其中常見(jiàn)的類型——行程問(wèn)題與大家一起探討.

1. 基本量是：路程、速度和時(shí)間.

2. 基本關(guān)系是：

3. 基本類型：相遇問(wèn)題、相背問(wèn)題、追及問(wèn)題、行船（風(fēng)速）問(wèn)題、環(huán)形跑道問(wèn)題等.

4. 解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩個(gè)對(duì)象的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問(wèn)題就能迎刃而解. 分析中還常常借助畫(huà)線段圖進(jìn)行分析，理解行程問(wèn)題.

5. 行船（風(fēng)速）問(wèn)題是行程問(wèn)題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會(huì)發(fā)生變化：

①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；

②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度-水流速度（風(fēng)速）.

下面就讓我們一起進(jìn)入行程問(wèn)題的世界：

例1 A、B兩地相距1 260千米，慢車以50千米/小時(shí)的速度從A地出發(fā)，同時(shí)一列快車以70千米/小時(shí)的速度從B地出發(fā)相向而行，當(dāng)兩車相距60千米時(shí)，兩車行駛了（ ）.

A. 9.5小時(shí)

B. 10小時(shí)

C. 11小時(shí)

D. 10小時(shí)或11小時(shí)

【分析】題中兩車相距60千米，沒(méi)有說(shuō)明是在兩車相遇前相距60千米，還是在兩車相遇后背向行駛時(shí)相距60千米，所以此題有兩種情況. 可以借助線段圖（如圖1）理清情況，并列出方程解答.

解：設(shè)當(dāng)兩車相距60千米時(shí)，兩車行駛的時(shí)間為x小時(shí)，1 260-60=50x+70x或1 260+60=50x+70x.

得到兩種情況的結(jié)果分別是10小時(shí)和11小時(shí)，答案選擇D.

例2 汽車以72千米/時(shí)的速度在公路上行駛，開(kāi)向寂靜的山谷，駕駛員按一下喇叭，4秒后聽(tīng)到回聲，這時(shí)汽車離山谷多遠(yuǎn)？已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒. 設(shè)聽(tīng)到回聲時(shí)，汽車離山谷x米，根據(jù)題意，列出方程為（ ）.

A. 2x+4×20=4×340

B. 2x-4×72=4×340

C. 2x+4×72=4×340

D. 2x-4×20=4×340

【分析】此題相當(dāng)于是一個(gè)相遇問(wèn)題，按喇叭后汽車還在向前行駛，而聲音的速度快，聲音到達(dá)山谷后又“回來(lái)”與汽車“相遇”. 可以從線段圖（如圖2）中這樣理解，在4秒的時(shí)間時(shí)，聲音“所走的路程”與汽車行駛的路程總共等于汽車撳喇叭時(shí)離山谷的距離的兩倍. 但這里也有要注意的地方，第一，問(wèn)題中的x米是聽(tīng)到回聲時(shí)汽車離山谷的路程；第二，條件中兩個(gè)單位不統(tǒng)一，要化為一致后才能列方程.

72千米/時(shí)=20米/秒.

解：設(shè)聽(tīng)到回聲時(shí)，汽車離山谷x米.

2x=4×340-4×20.

通過(guò)比較可以得到答案應(yīng)該選擇A.

例3 如圖1所示，兩人沿著邊長(zhǎng)為90 米的正方形， 按A→B→C→D→A……的方向行走. 甲從A點(diǎn)以65米/分鐘的速度、乙從B點(diǎn)以74米/分鐘的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，將在正方形的________邊上.

【分析】此題類似于環(huán)形跑道問(wèn)題，也是一個(gè)追及問(wèn)題. 要充分把握好兩者出發(fā)時(shí)的相距路程，追及過(guò)程中的路程與時(shí)間關(guān)系. 雖說(shuō)是環(huán)正方形的行程問(wèn)題，但我們也可以在線段圖中體現(xiàn)出等量關(guān)系. 值得注意的是，本題不適合直接設(shè)，應(yīng)間接設(shè)乙從出發(fā)到追上甲所用的時(shí)間為x分鐘 . 求出時(shí)間后再解決問(wèn)題.

解：設(shè)乙從出發(fā)到追上甲所用時(shí)間為x分鐘，

74x-65x=270，

x=30，

30×74÷360=37/6，相當(dāng)于乙走了6圈多了60米，從解答可知當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，將在正方形的BC邊上.

通過(guò)以上幾道例題的講解，我們能夠看出解行程問(wèn)題的主要方法就是畫(huà)出線段圖，分析出其中的等量關(guān)系.如果同學(xué)們?cè)诮鈶?yīng)用問(wèn)題時(shí)都能找到合適的方法整理出等量關(guān)系，那么應(yīng)用問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

舉一反三能夠有助于開(kāi)啟我們的應(yīng)變力、想象力、創(chuàng)造力之門(mén)；舉一反三以問(wèn)題探究為中心，通過(guò)研究一個(gè)問(wèn)題的多種解法或同一類型問(wèn)題的相似解法，拓展我們思維的廣度和深度. 舉一反三重在培養(yǎng)我們探究性學(xué)習(xí)的意識(shí)，激發(fā)我們的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的激情.

（作者單位：江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）