基于差分進(jìn)化法的三要素吸振器參數(shù)設(shè)計(jì)

劉子良，簡霄翎，姚紅良，聞邦椿

（1.沈陽理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械廣泛應(yīng)用于航天航空、石油化工等領(lǐng)域，其核心部件——轉(zhuǎn)子系統(tǒng)因加工誤差、污垢堆積、扇葉脫落等因素出現(xiàn)質(zhì)量不平衡增大的問題，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在啟停機(jī)過程或者部分轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)振動(dòng)過大。動(dòng)平衡技術(shù)是解決轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡問題的常用方法，但該技術(shù)存在拆裝設(shè)備、停工停產(chǎn)，進(jìn)而造成損害經(jīng)濟(jì)效益的問題。為避免這種問題，科研人員也在探尋其他解決質(zhì)量不平衡造成轉(zhuǎn)子振動(dòng)過大問題的方法。

動(dòng)力吸振技術(shù)是一種通過在目標(biāo)系統(tǒng)上附加子結(jié)構(gòu)，具有良好抑振效果的減振技術(shù)。作為這項(xiàng)技術(shù)的承載主體——?jiǎng)恿ξ衿骶哂薪Y(jié)構(gòu)簡單、易于安裝的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于橋梁、樓房、潛艇等結(jié)構(gòu)或設(shè)備減振。近年來，科研人員也對動(dòng)力吸振器抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)行了多項(xiàng)研究。姚紅良等［1］為了抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)，提出了一種將負(fù)剛度和正剛度相結(jié)合的吸振器；Taghipour 等［2］利用線性調(diào)諧質(zhì)量減振器、非線性能量吸收器和組合能量吸收器對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的減振問題進(jìn)行了研究；Yao 等［3］提出了一種由螺旋彈簧和磁性彈簧組成的可調(diào)諧動(dòng)力吸振器，研究結(jié)果表明該吸振器能有效抑制不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)；Tehrania 等［4］研究了調(diào)諧質(zhì)量減振器和非線性儲(chǔ)能器在柔性葉片轉(zhuǎn)子系統(tǒng)防震系統(tǒng)中的應(yīng)用，所得結(jié)果表明，這些被動(dòng)減振器能降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)，并在更高的間隙下消除葉片和定子之間的接觸值；Hu等［5］建立了安裝有一種新型動(dòng)力吸振器的單跨雙盤轉(zhuǎn)子工作臺模擬轉(zhuǎn)子的啟動(dòng)過程，結(jié)果表明，在2 個(gè)圓盤之間安裝具有開關(guān)控制功能的轉(zhuǎn)子動(dòng)力吸振器（Rotor Dynamical Vibration Absorber，RDVA），不僅抑制了啟動(dòng)過程中轉(zhuǎn)子在臨界速度下的劇烈振動(dòng)，而且避免了因安裝傳統(tǒng)吸振器產(chǎn)生的兩階共振的問題；馮浩然等［6］設(shè)計(jì)了一種新型動(dòng)力吸振器，并搭建了四跨轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺進(jìn)行抑振實(shí)驗(yàn)研究，研究表明吸振器可使四跨轉(zhuǎn)子軸系在全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)保持較低的振動(dòng)幅值；丁繼超等［7］針對大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械中存在的振動(dòng)問題，設(shè)計(jì)了一種多重半主動(dòng)動(dòng)力吸振器，通過對單跨不平衡轉(zhuǎn)子抑振試驗(yàn)研究得知，該吸振器可有效拓寬減振頻帶，能夠解決新的共振問題。在線性吸振器中，三要素吸振器結(jié)構(gòu)簡單獨(dú)特，部分學(xué)者對其進(jìn)行了研究。楊一清等［8］基于三要素減振器對大長徑比旋轉(zhuǎn)切削刀具進(jìn)行了設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了帶有三要素減振器的轉(zhuǎn)動(dòng)式刀具的實(shí)驗(yàn)調(diào)諧頻率響應(yīng)函數(shù)振幅比目標(biāo)模式的振幅減少了87.1%；Nishihara［9］利用數(shù)值方法，在給定質(zhì)量比下，使配備三要素減振器的線性系統(tǒng)的共振振幅降至最小；申永軍等［10］提出了一種新型具有接地剛度元件和放大機(jī)構(gòu)的三要素吸振器用于抑制單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)，并對其參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化研究。

本文將研究用于轉(zhuǎn)子減振的三要素吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方面的問題，驗(yàn)證差分進(jìn)化法在吸振器參數(shù)優(yōu)化方面的優(yōu)越性，比較三要素吸振器和Voigt 吸振器對轉(zhuǎn)子振動(dòng)的抑制效果，分析質(zhì)量比對吸振器參數(shù)和抑振效果的影響。

1 三要素吸振器及現(xiàn)有最優(yōu)參數(shù)公式

圖1 是含三要素吸振器的主系統(tǒng)系統(tǒng)的簡圖。圖中：m1、k1和c1分別為主系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼；m2、k3分別為動(dòng)力吸振器的質(zhì)量和剛度；c2、k2分別為動(dòng)力吸振器中串聯(lián)型黏彈性模型的阻尼和剛度；f為主系統(tǒng)所受的外部激勵(lì)。

圖1 含三要素吸振器的主系統(tǒng)簡圖Fig.1 Schematic of a main system with a threeelement absorber

因?qū)嶋H工程系統(tǒng)中一般存在阻尼，所以按照圖1（a）建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

關(guān)于三要素吸振器的最優(yōu)參數(shù)僅見通過固定點(diǎn)理論求得的三要素吸振器參數(shù)的解析解［11］，如表1所示。

表1 基于固定點(diǎn)理論的吸振器最優(yōu)參數(shù)Tab.1 Optimum parameters of vibration absorber based on fixed point theory

表1 中：νopt為最優(yōu)三要素吸振器與主系統(tǒng)固有頻率之比，簡稱最優(yōu)頻率比；ζopt為最優(yōu)三要素吸振器阻尼與主系統(tǒng)臨界阻尼之比，簡稱最優(yōu)阻尼比；μ為吸振器與主系統(tǒng)的質(zhì)量比；κopt為最優(yōu)三要素吸振器中k2與k3之比，簡稱最優(yōu)剛度比。

由于上述最優(yōu)參數(shù)是應(yīng)用于圖1（b）無阻尼單自由度主系統(tǒng)抑振的三要素吸振器的最優(yōu)參數(shù)，而轉(zhuǎn)子屬于連續(xù)體系統(tǒng)，且一般含有阻尼，按照表內(nèi)參數(shù)設(shè)計(jì)的吸振器未必具有最優(yōu)抑振效果，故本文擬使用差分進(jìn)化法對該類吸振器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 動(dòng)力吸振器——轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

本文研究的轉(zhuǎn)子模型為單跨懸臂轉(zhuǎn)子模型，利用有限元法將轉(zhuǎn)子進(jìn)行離散，離散為N=12個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)11為支承位置，如圖2所示。

圖2 單跨懸臂轉(zhuǎn)子模型Fig.2 Single-span cantilever rotor model

三要素吸振器為圓環(huán)形，安裝在轉(zhuǎn)子的節(jié)點(diǎn)7?？蓪⑥D(zhuǎn)子的位移分解為x、y兩個(gè)方向上的位移，故三要素吸振器的剛度和阻尼也可以分解為x、y兩個(gè)方向。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為（x，y，θx，θy）。12個(gè)節(jié)點(diǎn)共48 個(gè)坐標(biāo)?；诖?，建立主系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

進(jìn)一步建立主系統(tǒng)與三要素吸振器構(gòu)成的耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：F（t）為轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)量造成的外部激勵(lì)；M4N、C4N、K4N分別為主系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；M0、C0、K0分別為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，其具體矩陣如下。

式中：ma、ka分別為吸振器的質(zhì)量和剛度；c、kb分別為串聯(lián)型黏彈性模型的阻尼和剛度；K′4N0為吸振器與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合后的交叉剛度。

令F(t)=F0eiωt，x=X0eiωt，則公式變?yōu)?/p>

由式（7）求解便可得到耦合系統(tǒng)的響應(yīng)。

3 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法是由Storn 和Price 于1997 年提出的一種智能優(yōu)化算法。差分進(jìn)化算法的基本思想是：隨機(jī)生成1 個(gè)初始種群，將種群中的個(gè)體進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)計(jì)算，得到初始最優(yōu)個(gè)體，在初始種群中任意選擇2 個(gè)個(gè)體求向量差并進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，得到的結(jié)果和第3 個(gè)個(gè)體相加得到新個(gè)體。計(jì)算新個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)并和初始最優(yōu)個(gè)體的值進(jìn)行比較，若新個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值較優(yōu)則新個(gè)體取代原有個(gè)體，否則保留原有個(gè)體。通過不斷地變異擇優(yōu)，以優(yōu)良的個(gè)體代替原有個(gè)體，不斷向最優(yōu)值逼近［12］。

差分進(jìn)化算法包括變異、交叉和選擇3 種基本操作。

3.1 變異操作

隨機(jī)生成NP個(gè)個(gè)體組成初始種群，每個(gè)個(gè)體為一矢量Y=（y1，y2，…，yn），n為具體問題的參數(shù)數(shù)量，在初始種群中隨機(jī)選擇2 個(gè)父代Yi、Yj，其差分為

式中：i、j分別為不相同的整數(shù)，代表初始種群的不同個(gè)體。

將式（8）中得到的差分乘以1 個(gè)縮放因子，再加上另1 個(gè)隨機(jī)選擇的個(gè)體，便完成了變異操作。從初始種群中任意取一個(gè)矢量為目標(biāo)矢量Ya，得到其相應(yīng)的變異矢量Za的操作為

式中：Yi、Yj、Yk分別代表不同種群個(gè)體，再加上目標(biāo)個(gè)體Ya，差分進(jìn)化算法的種群規(guī)模NP≥4；G為縮放因子，取值范圍為［0，2］，用來控制差分的縮放程度。

3.2 交叉操作

對于種群中的目標(biāo)矢量Ya，將與變異矢量Za交叉操作產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)矢量Z′a。為了保證個(gè)體會(huì)發(fā)生進(jìn)化，新生成的實(shí)驗(yàn)矢量個(gè)體Z′a中至少有1位是由變異矢量Za提供的，而對于其他位可通過1個(gè)交叉概率因子來決定，由目標(biāo)矢量Ya提供或者由變異矢量Za來提供。交叉操作的公式為

式中：rand（η）∈［0，1］為一均勻分布的隨機(jī)數(shù)；η為個(gè)體矢量第幾個(gè)基因（參數(shù)）；CR為交叉概率因子，其取值范圍為［0，1］；randn（i）為種群個(gè)體矢量的維數(shù)隨機(jī)索引，即randn（i）∈［1，2，…，n］，n為個(gè)體矢量的維數(shù)（具體問題的參數(shù)數(shù)量），以保證實(shí)驗(yàn)矢量Z′a中至少有1位是由變異矢量Za提供的。

由式（10）可知，CR越大，變異矢量Za對實(shí)驗(yàn)矢量Z′a的貢獻(xiàn)越多，當(dāng)CR=1時(shí)，Z′a=Za，算法具有更快的局部搜索和加速收斂速率；當(dāng)CR=0 時(shí)，實(shí)驗(yàn)矢量Z′a除第randn（i）位數(shù)之外全部來自目標(biāo)矢量Ya，有利于保持種群多樣性和全局搜索。

3.3 選擇操作

經(jīng)過變異和交叉操作得到的實(shí)驗(yàn)矢量Z′a與目標(biāo)矢量Ya代入目標(biāo)函數(shù)，比較兩者的目標(biāo)函數(shù)值保留更優(yōu)矢量，完成差分進(jìn)化。以涉及的最小優(yōu)化問題為例，選擇操作公式：

4 仿真分析

4.1 仿真參數(shù)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各個(gè)軸段的參數(shù)如表2 所示。轉(zhuǎn)子兩支撐端的剛度和阻尼分別為kz=1×108N/m，cz=7×105N·s/m。質(zhì)量偏心距為me=1×10-5kg·m。

表2 轉(zhuǎn)子軸段單元參數(shù)Tab.2 Parameters of rotor shaft segment element

4.2 算法對比仿真結(jié)果

基于差分進(jìn)化算法的原理，使用Matlab 對動(dòng)力吸振器的最優(yōu)值進(jìn)行求解。設(shè)置初始種群數(shù)量NP=30，變量維數(shù)為3，縮放因子G=0.5，交叉概率因子CR=0.8，適應(yīng)度函數(shù)為式（7），其中三要素吸振器安裝在7點(diǎn)，觀測點(diǎn)也設(shè)置在7點(diǎn)，吸振器與主系統(tǒng)的質(zhì)量比μ=0.1。 將差分進(jìn)化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）、粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）、人工蜂群優(yōu)化算法（Artificial Bee Colony，ABC）和量子進(jìn) 化 算法（Quantum Evolutionary Algorithm，QEA）進(jìn)行優(yōu)化后得到的最優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對比。

圖3 為多個(gè)智能優(yōu)化算法的迭代速度對比圖。由圖可知，差分進(jìn)化算法具有較快的收斂速度，有更大機(jī)率跳出局部最優(yōu)值尋到全局最優(yōu)解，且計(jì)算精度更高。

圖3 智能優(yōu)化算法迭代收斂圖Fig.3 Iterative convergence graph of intelligent optimization algorithm

分別使用本文優(yōu)化方法和固定點(diǎn)理論，求得三要素吸振器最優(yōu)參數(shù)，如表3所示。

表3 三要素吸振器最優(yōu)參數(shù)Tab.3 Optimum parameters of the three - element dynamic vibration absorber

圖4為分別附加上表2個(gè)參數(shù)吸振器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。對比可知，利用差分進(jìn)化法優(yōu)化的吸振器使轉(zhuǎn)子具有更低的兩等高的共振幅值。

圖4 固定點(diǎn)理論與智能優(yōu)化算法的最優(yōu)參數(shù)模型振幅Fig.4 Optimum parameter model amititude of fixed point theory and intelligent optimization

4.3 三要素吸振器與Voigt吸振器抑振性能對比

使用差分進(jìn)化法對Voigt 動(dòng)力吸振器參數(shù)進(jìn)行迭代搜索，優(yōu)化迭代參數(shù)、吸振器安裝位置和質(zhì)量比與4.2 小節(jié)中相同。圖5 為安裝2 種吸振器的轉(zhuǎn)子的幅頻響應(yīng)曲線。圖中可見，三要素吸振器抑振效果優(yōu)于Voigt 吸振器，轉(zhuǎn)子共振幅值小3.15%。

圖5 頻幅曲線Fig.5 Frequency-amplitude curve

圖6為2種吸振器的減振頻寬對比圖。圖中可見，在吸振器放大率B（指主系統(tǒng)按照吸振器前后響應(yīng)幅值之比）為0.7時(shí)，三要素吸振器的減振頻寬大于Voigt 吸振器（約寬9%），表明前者在更大頻率范圍內(nèi)具有良好的抑振效果。

圖6 減振頻寬Fig.6 Damfrequency width

4.4 參數(shù)分析

分別利用固定點(diǎn)理論和差分進(jìn)化法求解三要素吸振器的最優(yōu)參數(shù)，并對不同質(zhì)量比的吸振器最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行對比，如圖7 所示。在任意質(zhì)量比下使用差分進(jìn)化法設(shè)計(jì)的三要素吸振器比直接使用固定點(diǎn)理論得到的三要素吸振器具有更好的減振效果。同時(shí)可知，隨著質(zhì)量比的增加，最優(yōu)振幅放大率隨之變小，三要素吸振器的抑振效果變優(yōu)。

圖7 不同質(zhì)量比時(shí)吸振器的振幅放大率Fig.7 Amplitude amplification rate of vibration absorber at different mass ratios

在任意質(zhì)量比條件下，使用差分進(jìn)化法設(shè)計(jì)的三要素吸振器，比使用固定點(diǎn)理論得到的頻率比、剛度比和阻尼比更大。隨著質(zhì)量比的增加，三要素吸振器的最優(yōu)頻率比不斷減小，最優(yōu)剛度比和阻尼比不斷增大，如圖8所示。

圖8 不同質(zhì)量比時(shí)吸振器最優(yōu)參數(shù)Fig.8 Optimum parameters of vibration absorber at different mass ratios

5 結(jié)論

（1）本文使用差分進(jìn)化法對三要素吸振器進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，得到具有最佳減振效果的三要素吸振器。將差分進(jìn)化法、粒子群優(yōu)化算法、人工蜂群優(yōu)化算法和量子進(jìn)化算法進(jìn)行比較，差分進(jìn)化法在解決此問題時(shí)具有更快的收斂速度，并能得到更優(yōu)解。

（2）對三要素吸振器的減振效果進(jìn)行參數(shù)分析，并將結(jié)果和Voigt 吸振器進(jìn)行了比較，結(jié)果表明：附加有三要素吸振器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的最大振幅減小了3.15%，減振頻寬增加了9%。

（3）用差分進(jìn)化法設(shè)計(jì)的三要素吸振器比使用固定點(diǎn)理論設(shè)計(jì)的三要素吸振器在不同質(zhì)量比條件下都具有更好的減振效果。隨著質(zhì)量比的增加，三要素吸振器的最優(yōu)頻率比不斷減小，最優(yōu)剛度比和阻尼比不斷增大。