依賴借款方資產(chǎn)的還款方式中的自由邊界問題

梁 進(jìn)，張柳青

（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092）

貸款是銀行的一種基本信用經(jīng)濟(jì)活動，銀行通過貸款的方式將所集中的貨幣和貨幣資金投放出去，可以滿足社會發(fā)展對資金的需要。同時，銀行也可以由此取得貸款利息收入，增加自身的積累。貸款的還款方式主要有兩種：等額本息還款和等額本金還款。韓慧麗［1］、楊玉國［2］、王順［3］等人對兩種還款方式進(jìn)行了簡單分析與比較，并給出了各自的適用人群。但這兩種還款方式基本上都要求還款本息在還款期內(nèi)均勻分布，銀行可以由此確定未來的現(xiàn)金流，卻沒有給借款人更多的可以根據(jù)自身收入分布狀況選擇還款方式的余地。事實上，無論從借款人借款的初衷和銀行最初設(shè)計貸款的本意來看，雙方都希望能夠按照合同規(guī)定的期限和利率按時足額償還貸款本息［4］。

在助學(xué)貸款領(lǐng)域，經(jīng)濟(jì)學(xué)家Milton Friedman［5］于1955年首次提出了按收入比例還款型學(xué)生貸款（income-contingent repayment loan，以下簡稱ICL），其內(nèi)涵主要是指接受高等教育的學(xué)生以畢業(yè)后收入的一定比例來償還大學(xué)期間獲得的現(xiàn)金支持。澳大利亞ICL的設(shè)計者Bruce Chapman［6］指出，ICL是一種在貸款的覆蓋面、利率資助和回收機(jī)制等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)定期定額貸款的新型貸款方案。到目前為止，ICL已經(jīng)在世界多國廣泛應(yīng)用，逐步發(fā)展了以澳大利亞模式、英美模式與德國混合型模式為代表的ICL經(jīng)典模式。劉麗芳［7］、馮濤［8］等學(xué)者立足我國1999年以來一直實行按揭型助學(xué)貸款的背景，分析了ICL在我國的可行性，并設(shè)想了適合中國國情的ICL方案。

ICL最顯著的特點是“償還額度是學(xué)生未來收入的函數(shù)［9］”?；诖?，梁進(jìn)和劉兆雅［10］將ICL的思想應(yīng)用到了更加一般的貸款形式中，具體提出了依賴借款方資產(chǎn)的靈活還款方式和模型：在假定借款方資產(chǎn)滿足隨機(jī)過程的基礎(chǔ)上，建立了借款方每期償還當(dāng)期資產(chǎn)固定比例的數(shù)學(xué)模型，并求解得到了模型的解析解。相比于傳統(tǒng)還款方式中每期償還固定的金額，這種還款方式大大降低了借款方違約的可能性。對于銀行而言，借款方在資金充裕時多還款可以加速銀行的資金回流，而在資金緊張時不違約，則可以取得更多的利息收入。

然而當(dāng)借款方資產(chǎn)長期處于一個較低水平時，還款額就會十分有限，無形之中可能會拉長還款期限，從而影響銀行的資金流動。梁進(jìn)和毛家琪［11］在劉兆雅模型的基礎(chǔ)上為定期還款額設(shè)置了一個下界，同時還款方式保持不變。而一旦定期還款額碰到下界則貸款立刻終止，借款方隨即將當(dāng)時所有資產(chǎn)用于償還剩余貸款，這樣既保障了借款方可以靈活還款，同時也在一定程度上確保了還款期限不會被無限拉長。但由于剩余貸款價值和借款方資產(chǎn)并沒有直接聯(lián)系，清算時將借款方全部資產(chǎn)用于償還可能還多或還少，會對借貸雙方造成損失。

本文在劉兆雅和毛家琪的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步修正和推廣了上述模型，從而為這種還款方式在未來貸款業(yè)務(wù)中發(fā)揮廣泛作用提供了可能。具體而言，本文將繞過借款方資產(chǎn)而直接對剩余貸款價值設(shè)置下障礙。類似于美式期權(quán)，一旦剩余貸款價值達(dá)到下障礙，貸款立刻終止，借款方隨即償還剩余貸款進(jìn)行清還。另外，考慮到當(dāng)借款方資產(chǎn)處于較高水平時，還款額也較高，不會使得還款時間延長，因此本文首先將借款方資產(chǎn)劃分為高資產(chǎn)以及低資產(chǎn)兩個區(qū)域，并在兩個區(qū)域中設(shè)定不同的還款條款，最終建立關(guān)于剩余貸款價值的帶限制的自由邊界問題模型。該模型的設(shè)定可以在減小借款方定期還款壓力，降低違約可能性的同時，加快貸款方資金回收，進(jìn)而保護(hù)貸款方的利益，從而對借貸雙方都有很強(qiáng)的吸引力。

1 模型的建立

1.1 基本假設(shè)與符號

（4）給定常數(shù)下障礙水平d(d＜Q)，同時記Φ(S，t)為t時刻借款方資產(chǎn)St＝S時的剩余貸款價值，則Φ(S，t)滿足初始條件，即

（5）借款方不違約，期望意義下在T時刻還清貸款。進(jìn)一步假設(shè)借款方資產(chǎn)St≥d，以確保在還清時刻借款方可以足額償還。

（6）（資產(chǎn)邊界）設(shè)定資產(chǎn)邊界K＝qd/δ＞d，將借款方資產(chǎn)劃分為低資產(chǎn)區(qū)域{St：d≤St＜K}和高資產(chǎn)區(qū)域{St：St≥K}。

（7）（還款條款）在高資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，借款方正常還款。但在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，一旦剩余貸款價值等于d，或者借款方資產(chǎn)降為d，則貸款隨即終止，借款方均立刻償還d。

在假設(shè)（5）中，T的含義是指[0，T]時間內(nèi)借款方還款總額貼現(xiàn)價值的期望等于貸款金額Q，即T滿足初始條件（1），下文稱T為期望還清貸款時間。T事先未知，求解T的過程分為兩步：首先給定T，在特定的還款條款下求解Φ(S，t；T)的終值問題，隨后根據(jù)初始條件（1）嘗試確定T。在文獻(xiàn)［10-11］中，根據(jù)不同的還款條款，條件（1）分別為

1.2 現(xiàn)金流分析

根據(jù)資產(chǎn)的劃分，在低資產(chǎn)以及高資產(chǎn)兩個區(qū)域內(nèi)，首先將剩余貸款價值Φ(S，t)分別記為ΦL(S，t)與ΦH(S，t)。當(dāng)借款方資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域時，根據(jù)假設(shè)（7），剩余貸款價值ΦL(S，t)始終大于等于d。當(dāng)剩余貸款價值ΦL(S，t)大于d時，它在未來有4種可能：第1種在期望還清貸款時間T之前，由于資產(chǎn)進(jìn)入高資產(chǎn)區(qū)域，剩余貸款價值ΦL(S，t)變?yōu)橐环萏摂M高資產(chǎn)區(qū)域中的剩余貸款價值ΦH(S，t)；第2種在期望還清貸款時間T之前，剩余貸款價值ΦL(S，t)已經(jīng)達(dá)到d，貸款提前終止；第3種在期望還清貸款時間T之前，由于資產(chǎn)變?yōu)閐而使貸款提前終止；第4種則是在期望還清貸款時間T之前，不發(fā)生第1～3種情況，剩余貸款價值ΦL(S，t)在T時刻達(dá)到d。

由此，定義如下3個隨機(jī)變量τ1、τ2與τ3，分別表示借款方資產(chǎn)首次由低資產(chǎn)區(qū)域進(jìn)入高資產(chǎn)區(qū)域時刻、剩余貸款價值ΦL(S，t)首次達(dá)到d時刻以及資產(chǎn)首次達(dá)到d時刻。

當(dāng)借款方資產(chǎn)處于高資產(chǎn)區(qū)域時，剩余貸款價值ΦH(S，t)在未來有2種可能：第1種在期望還清貸款時間T之前，由于資產(chǎn)進(jìn)入低資產(chǎn)區(qū)域，剩余貸款價值ΦH(S，t)變?yōu)橐环萏摂M低資產(chǎn)區(qū)域中的剩余貸款價值ΦL(S，t)；第2種在期望還清貸款時間T之前，資產(chǎn)始終處于高資產(chǎn)區(qū)域，剩余貸款價值ΦH(S，t)在T時刻達(dá)到d。

同理，定義借款方資產(chǎn)首次由高資產(chǎn)區(qū)域進(jìn)入低資產(chǎn)區(qū)域時刻τ4如下：

則高資產(chǎn)區(qū)域中的剩余貸款價值ΦH(S，t)可以表示為如下條件期望：

1.3 模型推導(dǎo)

基于上述現(xiàn)金流表達(dá)式，下文將推導(dǎo)在低資產(chǎn)區(qū)域以及高資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，剩余貸款價值分別滿足變分不等式和偏微分方程，而在資產(chǎn)邊界K處，通過引入一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件使得模型具有唯一解。

1.3.1 低資產(chǎn)區(qū)域

在低資產(chǎn)區(qū)域中，根據(jù)貸款執(zhí)行情況可將剩余貸款價值ΦL(S，t)分為以下兩個部分：

（1）繼續(xù)還款區(qū)域：Σ1＝{(S，t)∈[d，K)×[0，T]|ΦL(S，t)＞d}.

（2）貸款結(jié)束區(qū)域：Σ2＝{(S，t)∈[d，K)×[0，T]|ΦL(S，t)＝d}.

而在貸款結(jié)束區(qū)域Σ2內(nèi)，剩余貸款價值為d，則?ΦL+δS＝δS-qd＝δ(S-K)＜0。因此在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)，剩余貸款價值ΦL(S，t)滿足

在邊界S＝d處，由模型假 設(shè)（7），ΦL(d，t)＝d，表示當(dāng)借款方資產(chǎn)降為d時，貸款隨即終止，借款方立刻一次性償還d。相比于文獻(xiàn)［11］中的情形，由于ΦL(S，t)≥d，此時借款方只可能少還而不會多還剩余貸款，進(jìn)而一定程度上保證了借款方的利益。

綜上討論，在低資產(chǎn)區(qū)域中，剩余貸款價值

1.3.2 高資產(chǎn)區(qū)域

1.3.3 帶限制的自由邊界問題模型

在資產(chǎn)邊界K上，根據(jù)現(xiàn)金流表達(dá)式（2）和式（3），有

根據(jù)上述討論，若剩余貸款價值ΦL(S，t)與ΦH(S，t)均足夠光滑，則它們是如下耦合問題的

由偏微分方程的理論可知，耦合問題（4）解存在但不唯一，因為在資產(chǎn)邊界K處的條件僅為ΦL(K，t)＝ΦH(K，t)，想要得到唯一解必須在資產(chǎn)邊界K處添加新的條件。注意到障礙問題的解一般具有連續(xù)的一階空間導(dǎo)數(shù)［13］，以及線性拋物型方程的解具有無窮次可微性［14］，因此考慮在資產(chǎn)邊界K處添加一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。根據(jù)文獻(xiàn)［15-16］中的討論，利用Δ-對沖方法可以得到在等價鞅測度下成立。

因此，在資產(chǎn)邊界K處也添加上述一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。綜上所述，若剩余貸款價值ΦL(S，t)與ΦH(S，t)均足夠光滑，則它們是如下適定耦合問題的解：

這是一個帶限制的自由邊界問題，確切地說是一個固定邊界與自由邊界問題相耦合的偏微分方程組問題。剩余貸款價值在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)滿足變分不等式，在高資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)則滿足偏微分方程，并且剩余貸款價值在跨過資產(chǎn)邊界K時函數(shù)值以及一階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)。

2 數(shù)值計算與分析

利用有限差分法［18］首先在給定T的情況下計算剩余貸款價值Φ(S，t；T)，隨后在低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)計算自由邊界。最后基于初始條件（1）：Φ(S0，0；T)＝Q，運用打靶法［19］求解期望還清貸款時間T，并討論期望還清貸款時間與模型參數(shù)之間的關(guān)系。

2.1 有限差分法

運用有限差分法中的顯式格式對剩余貸款價值Φ(S，t)進(jìn)行數(shù)值求解，計算如下：

2.2 剩余貸款價值及自由邊界

根據(jù)模型假設(shè)δ＜q以及充分條件（6），如無特殊聲明，取模型參數(shù)和人工邊界Smax如下：

則資產(chǎn)邊界K＝qd/δ＝5×104，低資產(chǎn)區(qū)域為{St：104≤St＜5×104}，以及高資產(chǎn)區(qū)域為{St：5×104≤St≤1010}。在圖1a和圖2中可以看到低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)的剩余貸款價值被自由邊界分為兩部分：貸款結(jié)束區(qū)域和繼續(xù)還款區(qū)域。剩余貸款價值在穿過自由邊界時發(fā)生明顯變化，而自由邊界則具有一定的單調(diào)性和凸性。類似于美式期權(quán)，此時自由邊界也可視為貸款的最佳還款邊界。根據(jù)圖1b，在高資產(chǎn)區(qū)域中，剩余貸款價值則始終大于d，直到期望還清貸款時刻等于d。

圖1 給定T=20，高低資產(chǎn)區(qū)內(nèi)剩余貸款價值Fig.1 The remaining loan value in high and low asset regions(Given T=20)

圖2 給定T=20，低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)的自由邊界Fig.2 Free boundary in low asset region(Given T=20)

2.3 打靶法

應(yīng)用打靶法求解期望還清貸款時間T：即首先給定T，接著通過有限差分法以及插值技巧計算Φ(S0，0；T)并與貸款金額Q相比較，最后尋找合適的T使得初始條件Φ(S0，0；T)＝Q在一定誤差范圍內(nèi)成立。注意到在有限差分法計算過程中，剩余貸款價值Φ(S，t；T)關(guān)于T單調(diào)遞增。因此，期望還清貸款時間T如果存在則必唯一。

2.4 期望還清貸款時間

同2.2節(jié)中的參數(shù)取值，另外根據(jù)模型假設(shè)S0＞Q＞d，在高低資產(chǎn)區(qū)域中分別取借款方初始資產(chǎn)S0和貸款金額Q如下：

高資產(chǎn)區(qū)域中S0＝106，Q＝5×105，低資產(chǎn)區(qū)域中S0＝4×104，Q＝2×104。

2.4.1 期望還清貸款時間與貸款金額的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取Q∈[1.1×104，3.9×104]，高資產(chǎn)區(qū)域中取Q∈[105，9×105]。從圖3可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時間都隨著貸款金額的增加而變長。這說明貸款金額越大，借款方的還款能力相對越低，還清貸款的時間也就越長。

圖3 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時間T與貸款金額Q的關(guān)系Fig.3 The relationship between the expected clear off time and loan amount in high and low asset regions

2.4.2 期望還清貸款時間與借款方初始資產(chǎn)的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取S0∈[2.1×104，4.9×104]，高資產(chǎn)區(qū)域中取S0∈[6×105，106]。從圖4可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時間都隨著初始資產(chǎn)的增加而變短。這說明借款方初始資產(chǎn)越多，還款能力相對越強(qiáng)，還清貸款的時間也就越短。

圖4 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時間T與借款方初始資產(chǎn)S0的關(guān)系Fig.4 The relationship between the expected clear off time and initial asset of the borrower in high and low asset regions

2.4.3 期望還清貸款時間與借款方資產(chǎn)期望收益率的關(guān)系

在兩個區(qū)域中，均取μ∈[0.055，0.3]。從圖5可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時間都隨著借款方資產(chǎn)期望收益率的增加而變短。這說明資產(chǎn)期望收益率越大，借款方資產(chǎn)經(jīng)營情況越好，因而還款能力相對越強(qiáng)，還清貸款的時間也就越短。

圖5 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時間T與借款方資產(chǎn)期望收益率μ的關(guān)系Fig.5 The relationship between the expected clear off time and the expected rate of return on borrower's asset in high and low asset regions

2.4.4 期望還清貸款時間與借款方資產(chǎn)波動率的關(guān)系

在兩個區(qū)域中，均取σ∈[0.06，0.6]以及Δx＝0.04，Δt＝0.001。從圖6可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，當(dāng)借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域時，期望還清貸款時間隨著借款方資產(chǎn)波動率的增加而變短。這說明資產(chǎn)波動率越大，借款方資產(chǎn)變化越大，但由于此時資產(chǎn)St有下界d，因此資產(chǎn)變化帶來的影響是不均等的，借款方的還款能力相對越強(qiáng)，還清貸款的時間也就越短。而當(dāng)借款方初始資產(chǎn)處于高資產(chǎn)區(qū)域時，期望還清貸款時間則隨著借款方資產(chǎn)波動率的增加而變長。這說明資產(chǎn)波動率越大，借款方資產(chǎn)變化越大，而且資產(chǎn)降低帶來的影響超過了上升的影響，即資產(chǎn)越可能進(jìn)入低資產(chǎn)區(qū)域，因此借款方的還款能力相對越低，還清貸款的時間也就越長。

圖6 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時間T與借款方資產(chǎn)波動率σ的關(guān)系Fig.6 The relationship between the expected clear off time and the volatility of the borrower's asset in high and low asset regions

2.4.5 期望還清貸款時間與貸款利率的關(guān)系

在兩個區(qū)域中，均取q∈[0.045，0.1]。從圖7可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時間都隨著貸款利率的增加而變長。這說明貸款利率越大，借款方還款額的貼現(xiàn)價值越小，因此還款能力相對越低，還清貸款的時間也就越長。

圖7 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時間T與貸款利率q的關(guān)系Fig.7 The relationship between the expected clear off time and lending interest rate in high and low asset regions

2.4.6 期望還清貸款時間與還款強(qiáng)度的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取δ∈[0.004，0.012]，高資產(chǎn)區(qū)域中取δ∈[0.004，0.045]。從圖8可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時間都隨著還款強(qiáng)度的增加而變短。這說明還款強(qiáng)度越大，借款方連續(xù)還款額也越大，還款能力相對越強(qiáng)，還清貸款的時間也就越短。

圖8 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時間T與還款強(qiáng)度δ的關(guān)系Fig.8 The relationship between the expected clear off time and repayment intensity in high and low asset regions

2.4.7 期望還清貸款時間與下障礙水平的關(guān)系

低資產(chǎn)區(qū)域中取d∈[8.5×103，1.95×104]，而在高資產(chǎn)區(qū)域中取d∈[5×103，8×104]以及Δx＝0.0075，Δt＝0.001。從圖9可以看出，在其他參數(shù)一定的條件下，無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時間都隨著下障礙水平d的增加而變短。這說明下障礙水平d越大，貸款相對能夠越早的終止，還清貸款的時間也就越短。

圖9 高低資產(chǎn)區(qū)域內(nèi)期望還清貸款時間T與下障礙水平d的關(guān)系Fig.9 The relationship between the expected clear off time and the level of low obstacle in high and low asset regions

3 結(jié)語

本文繼續(xù)探討了一種依賴借款方資產(chǎn)的還款方式。為了盡可能縮短還款期限以保障貸款方的利益，本文首先設(shè)置資產(chǎn)邊界將借款方資產(chǎn)分為低資產(chǎn)以及高資產(chǎn)兩個區(qū)域，并在兩個區(qū)域中設(shè)定不同的還款條款，數(shù)學(xué)上即是建立了關(guān)于剩余貸款價值的帶限制的自由邊界問題模型。接著，通過顯式差分格式計算剩余貸款價值，并由此得到了相應(yīng)的自由邊界。最后，利用打靶法求解期望還清貸款時間，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)討論了模型參數(shù)對期望還清貸款時間的影響。

結(jié)果表明：無論借款方初始資產(chǎn)處于低資產(chǎn)區(qū)域還是高資產(chǎn)區(qū)域，期望還清貸款時間T都隨著借款方初始資產(chǎn)S0、資產(chǎn)期望收益率μ、還款強(qiáng)度δ和下障礙水平d的增大而變短，以及隨著貸款金額Q和貸款利率q的增大而變長。另外，在低資產(chǎn)區(qū)域中，期望還清貸款時間T隨著借款方資產(chǎn)波動率σ的增大而變短，而在高資產(chǎn)區(qū)域中則相反。

作者貢獻(xiàn)聲明：

梁進(jìn)：提出研究選題與模型，研究思路、寫作指導(dǎo)。

張柳青：負(fù)責(zé)模型推導(dǎo)、數(shù)值計算、論文撰寫等工作。