液壓四足機(jī)器人單腿的分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制

趙江波，龔思進(jìn)，馬世成，王軍政

（北京理工大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)智能控制與決策國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

四足機(jī)器人因?yàn)榫哂袑?duì)復(fù)雜環(huán)境的適應(yīng)性和靈活的運(yùn)動(dòng)方式而成為近些年的研究熱點(diǎn). 不同的足式機(jī)器人雖然具有各異的機(jī)械結(jié)構(gòu)和驅(qū)動(dòng)模塊，但是在控制方法上可以相互借鑒. 虛擬模型控制可以看作是一種引導(dǎo)機(jī)制，使用諸如彈簧、阻尼器等虛擬部件將被控系統(tǒng)和期望運(yùn)動(dòng)軌跡之間的誤差轉(zhuǎn)換成的虛擬力或力矩作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的期望輸入[1]. 在早期的研究階段，意大利理工學(xué)院的HyQ 機(jī)器人研究團(tuán)隊(duì)和蘇黎世聯(lián)邦理工大學(xué)的StralETH 機(jī)器人研究團(tuán)隊(duì)均采用了基于虛擬模型控制的控制方案[1]，實(shí)現(xiàn)了單腿的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤和全身的平衡控制[2?3]. 張國(guó)騰等[4]利用機(jī)器人的基板模型提出了一種映射關(guān)系，可以將軀干的受力映射到支撐腿的關(guān)節(jié)力矩，并將此方法成功應(yīng)用到機(jī)器人的姿態(tài)補(bǔ)償中. 在虛擬模型控制的基礎(chǔ)上，意大利理工的HyQ 研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了基于簡(jiǎn)化機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型的前饋補(bǔ)償器，用來(lái)調(diào)節(jié)機(jī)器人的高度、速度和身體姿態(tài)角[5?6]. 該團(tuán)隊(duì)研究表明，采用混合整數(shù)凸優(yōu)化方法[7]同時(shí)對(duì)步態(tài)切換、接觸位置以及動(dòng)作進(jìn)行優(yōu)化可以取得更好的控制效果.

MIT 的CARLO 等[8]介紹了一種模型預(yù)測(cè)控制（MPC）在四足機(jī)器人上的實(shí)現(xiàn)，該模型可確定扭矩控制的四足機(jī)器人的地面反作用力，簡(jiǎn)化了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)，以將問(wèn)題表述為凸優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人前向達(dá)3 m/s，側(cè)向達(dá)1 m/s 的運(yùn)動(dòng)速度. 進(jìn)一步地，MIT的KIM 等[9]提出了一種結(jié)合全身控制（WBC）和模型預(yù)測(cè)控制（MPC）的控制器，MPC 使用簡(jiǎn)單模型找到較長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的最佳反作用力曲線，WBC 根據(jù)從MPC 計(jì)算出的反作用力來(lái)計(jì)算關(guān)節(jié)扭矩、位置和速度命令. 該控制器更專注于反作用力命令，這使它可以完成具有空中相位的高速動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng). 新設(shè)計(jì)的WBC 與MPC 集成在一起，實(shí)現(xiàn)了Mini-Cheetah 四足機(jī)器人高達(dá)3.7 m/s 的運(yùn)動(dòng)速度.

分?jǐn)?shù)階微積分可以看作是整數(shù)階微積分的拓展，相比整數(shù)階模型，分?jǐn)?shù)階模型可以呈現(xiàn)出實(shí)際系統(tǒng)更多的特性[10?11]. ZHENG 等[12]用系統(tǒng)辨識(shí)的方法建立了永磁同步電機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型和整數(shù)階模型，并用實(shí)驗(yàn)證明了分?jǐn)?shù)階模型更接近電機(jī)的實(shí)際響應(yīng)，并以此設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測(cè)器. 在控制理論和控制工程領(lǐng)域，以分?jǐn)?shù)階PID 控制為代表的分?jǐn)?shù)階控制器在諸多實(shí)際工程領(lǐng)域取得了成功的運(yùn)用[13?16]. 在機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制中，分?jǐn)?shù)階PID 控制被用于三自由度的并聯(lián)執(zhí)行機(jī)構(gòu)[14?15]. 除了分?jǐn)?shù)階PID，分?jǐn)?shù)階微積分與自適應(yīng)控制以及魯棒控制相結(jié)合的控制方法也在具體工程問(wèn)題上實(shí)現(xiàn)了成功運(yùn)用[17]. AYTEN等[18]設(shè)計(jì)了一種新型的基于模型的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)PID 控制器，控制器的分?jǐn)?shù)階項(xiàng)被證明可以增加對(duì)于系統(tǒng)不確定性的魯棒性.

受分?jǐn)?shù)階微分的啟發(fā)，提出了一種稱作分?jǐn)?shù)階阻尼的新型虛擬部件，通過(guò)將分?jǐn)?shù)階阻尼與傳統(tǒng)的虛擬模型控制相結(jié)合，得到了分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制并運(yùn)用與單腿的軌跡跟蹤控制. 傳統(tǒng)的虛擬模型控制可以保證機(jī)器人與環(huán)境的柔性接觸，分?jǐn)?shù)階阻尼的引入被用來(lái)提高控制的精確性和魯棒性. 本文中主要關(guān)注虛擬模型控制器的改進(jìn)和設(shè)計(jì)在四足機(jī)器人小跑運(yùn)動(dòng)控制上的運(yùn)用，并介紹了關(guān)節(jié)液壓缸力控制系統(tǒng)的頻域建模過(guò)程和基于非線性尋優(yōu)法的單腿虛擬模型控制器參數(shù)整定方法. 通過(guò)在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行四足機(jī)器人的小跑實(shí)驗(yàn)，比較虛擬模型控制方法和分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制方法的單腿控制效果，證明了所提分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制的優(yōu)越性.

1 解耦的分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制

1.1 系統(tǒng)介紹

本實(shí)驗(yàn)室自主研制的四足機(jī)器人平臺(tái)如圖1 所示，該機(jī)器人平臺(tái)對(duì)應(yīng)的自由度示意圖如圖2 所示.

圖1 四足機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和單腿結(jié)構(gòu)Fig. 1 The physical quadruped robot platform and single-leg structure

圖2 四足機(jī)器人自由度示意圖Fig. 2 Schematic diagram of physical quadruped robot with 12 degrees of freedom

該模型由一塊基板和4 條腿組成，每條腿由上中下3 個(gè)肢體組成，基板與每條腿的上肢由髖部橫滾（hip abduction/adduction, HAA） 關(guān)節(jié)相連接，上肢與中肢由髖部俯仰（hip flexion/extension, HFE）關(guān)節(jié)相連接，中肢與下肢由膝部俯仰（knee flexion/extension,KFE）關(guān)節(jié)相連接. 全部12 個(gè)關(guān)節(jié)可以由電機(jī)或者液壓缸驅(qū)動(dòng). 在對(duì)應(yīng)髖部坐標(biāo)系 {h}下的足端位置x,y,z可以由3 個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1,θ2,θ3和3 個(gè)肢體長(zhǎng)度l1,l2,l3確定. 除了所有關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的12 個(gè)可控的自由度，還有6個(gè)浮動(dòng)的自由度，分別是基板的繞xb軸、yb軸和zb軸的旋轉(zhuǎn)自由度，沿xb軸、yb軸和zb軸方向的平動(dòng)自由度. 小跑運(yùn)動(dòng)是四足動(dòng)物的常見(jiàn)步態(tài)，也是四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的研究熱點(diǎn)，該步態(tài)可以分解為兩組對(duì)角腿周期性的完成擺動(dòng)和支撐運(yùn)動(dòng). 理想情況下，一組腿抬起并開(kāi)始執(zhí)行擺動(dòng)相運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，另一組腿同時(shí)觸地并開(kāi)始執(zhí)行支撐相運(yùn)動(dòng).

四足機(jī)器人的小跑運(yùn)動(dòng)可以分解成四條腿的支撐相運(yùn)動(dòng)和擺動(dòng)相運(yùn)動(dòng)，傳統(tǒng)的單腿虛擬模型控制框架如圖3 所示.

圖3 單腿的虛擬模型控制框架Fig. 3 The classical VMC frame for motion control of single leg

IK 為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解算，足端期望運(yùn)動(dòng)軌跡的生成和擺動(dòng)相支撐相任務(wù)的切換由上層的步態(tài)軌跡規(guī)劃器根據(jù)時(shí)序和足端觸地力實(shí)現(xiàn)，本文不對(duì)足端軌跡規(guī)劃器的設(shè)計(jì)做更深入的討論. 笛卡爾空間的足端軌跡xd,yd,zd可以通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解算得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角空間的期望軌跡θ1d,θ2d,θ3d，再進(jìn)行一次運(yùn)動(dòng)學(xué)解算至液壓缸長(zhǎng)度空間的期望軌跡L1d,L2d,L3d. 在接下的章節(jié)中，將詳述單腿的解耦VMC 運(yùn)動(dòng)控制方案和用分?jǐn)?shù)階微分對(duì)單腿VMC 控制的改進(jìn).

1.2 單腿的解耦虛擬模型控制

與文獻(xiàn)[4]中將足端點(diǎn)所受的三維虛擬力通過(guò)JACOBIAN 矩陣映射到3 個(gè)關(guān)節(jié)力矩的方案相區(qū)別，從圖3 可以看出，整條腿的運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題被分解成3 個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題. 本文所基于的四足機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的關(guān)節(jié)采取的是固定于兩軀干的可伸縮液壓缸驅(qū)動(dòng)方案，HAA 關(guān)節(jié)處安裝有上缸，HFE 關(guān)節(jié)處安裝有中缸，KFE 關(guān)節(jié)處安裝有下缸. 通過(guò)數(shù)學(xué)變換，將三關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角空間θ1,θ2,θ3中的軌跡跟蹤任務(wù)和關(guān)節(jié)力矩控制任務(wù)，轉(zhuǎn)換成三液壓缸長(zhǎng)度空間L1,L2,L3中的軌跡跟蹤任務(wù)和液壓缸力控制任務(wù).

如圖4 所示，將三組虛擬彈簧阻尼器施加到單腿的三個(gè)液壓缸中. 由式（1）所示，每組虛擬彈簧阻尼器可以將缸長(zhǎng)誤差和缸伸縮速率誤差轉(zhuǎn)化為液缸期望力Fi輸入

式中：kci為液壓缸的虛擬剛度系數(shù)；dci為液壓缸的虛擬阻尼系數(shù)；Li和L˙i為實(shí)際液壓缸長(zhǎng)度和實(shí)際液壓缸伸縮速率；Lid和L˙id為期望液壓缸長(zhǎng)度和期望液壓缸伸縮速率.

上面介紹了傳統(tǒng)文化的發(fā)展歷程以及它對(duì)人類的價(jià)值和意義，傳統(tǒng)文化歷經(jīng)千百年的洗禮，經(jīng)受了千錘百煉才以它最美的姿態(tài)展現(xiàn)在我們的眼前。但是必須要承認(rèn)的是，傳統(tǒng)文化如今正面臨著巨大的挑戰(zhàn)，有些非物質(zhì)傳統(tǒng)文化瀕臨失傳，所以現(xiàn)今，能夠在景觀設(shè)計(jì)中滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化，也是對(duì)傳統(tǒng)文化很好的一個(gè)傳承。

圖5 詳細(xì)介紹了KFE 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角 θ3與液缸長(zhǎng)度L3的數(shù)學(xué)關(guān)系，HFE 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角 θ2與液壓缸長(zhǎng)度L2的數(shù)學(xué)關(guān)系和HAA 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角 θ1與液壓缸長(zhǎng)度L1的數(shù)學(xué)關(guān)系可以由相似的過(guò)程獲得. 為了計(jì)算出圖3 所示的補(bǔ)償力矩，需要三個(gè)關(guān)節(jié)力矩到三個(gè)關(guān)節(jié)液壓缸受力的轉(zhuǎn)換矩陣FT，F(xiàn)T的計(jì)算可以由式（2）所示，h3的計(jì)算過(guò)程可以參照?qǐng)D4，h1和h2的計(jì)算步驟可以遵照相似的步驟.

圖4 液壓缸驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的虛擬模型控制方案Fig. 4 VMC for hydraulic-cylinder-driven joints

圖5 θ3,?T3 與 L3,?F3的數(shù)學(xué)關(guān)系Fig. 5 Compute L3 and ?F3 using θ3 and?T3

表1 單腿結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab. 1 The specification of single-leg structure

1.3 引入分?jǐn)?shù)階阻尼的單腿虛擬模型控制

虛擬模型控制中的虛擬組件既包括簡(jiǎn)單的虛擬組件諸如彈簧、阻尼、慣性環(huán)節(jié)等，還有復(fù)雜的組件諸如自適應(yīng)組件和學(xué)習(xí)組件[1]. 受分?jǐn)?shù)階微分的啟發(fā)，提出了一種分?jǐn)?shù)階阻尼. 傳統(tǒng)的虛擬模型控制以犧牲精度為代價(jià)保證機(jī)器人與地面的柔性接觸，但是精度的犧牲會(huì)對(duì)整體行走效果產(chǎn)生負(fù)面影響. 于是將傳統(tǒng)的虛擬模型控制與分?jǐn)?shù)階阻尼相結(jié)合，用來(lái)增加單腿控制的精確性和魯棒性[14?15].

GL 定義下的分?jǐn)?shù)階微分由式（4）表示

因?yàn)镠AA 關(guān)節(jié)主要承擔(dān)側(cè)擺運(yùn)動(dòng)和橫滾角補(bǔ)償，對(duì)于機(jī)器人的前進(jìn)沒(méi)有直接作用. 為了簡(jiǎn)化單腿控制器的設(shè)計(jì)，僅在HFE 關(guān)節(jié)和KFE 關(guān)節(jié)處對(duì)應(yīng)的中缸和下缸位置控制器處添加分?jǐn)?shù)階阻尼環(huán)節(jié). 綜上，單腿的解耦分?jǐn)?shù)階阻尼虛擬模型控制由式（7）和式（8）表示.

2 分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制器的設(shè)計(jì)

2.1 基于優(yōu)化法的參數(shù)整定

如圖3 所示，支撐相控制系統(tǒng)和擺動(dòng)相控制系統(tǒng)均包含基本的液壓缸位置控制系統(tǒng). 提出的分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制在數(shù)學(xué)上與液壓缸位置的PDDλ控制等效，基本的如圖PDDλ控制框圖6 所示，由被控系統(tǒng)G(s)和PDDλ控制器C(s)組成，包含4 個(gè)待整定的參數(shù)：比例增益ki，微分增益di，分?jǐn)?shù)階微分增益 dfi，分?jǐn)?shù)階次 λ.

圖6 典型的PDDλ 控制系統(tǒng)框圖Fig. 6 Typical block diagram of PDDλ control system

作為經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定方法，基于頻域響應(yīng)的控制器參數(shù)整定方法[19?20]在開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)C(s)G(s)的頻域特性分析的基礎(chǔ)上，選取若干決定整個(gè)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性[21?22]的頻域指標(biāo)，采用優(yōu)化的方法找到一組最符合頻域指標(biāo)的控制器參數(shù). 由于實(shí)際被控系統(tǒng)G(s)的精確模型難以得到，因而被控對(duì)象的頻域特性通常由頻響實(shí)驗(yàn)測(cè)得.

根據(jù)BODE 相對(duì)穩(wěn)定裕度理論，增益交越頻率為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)增益為1 時(shí)的角頻率，增益交越頻率的選取會(huì)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間造成影響. 在確定增益交越頻率之后，選取相角裕度和等阻尼特性作為頻域指標(biāo). 相角裕度條件要求開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在增益交越頻率距不穩(wěn)定界限的相位大于一定的值. 等阻尼特性要求開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相角變化率在處為0，表示閉環(huán)系統(tǒng)C(s)G(s)對(duì)于G(s)增益變化的魯棒性.

2.2 被控對(duì)象的頻域特性獲取

單腿的中缸和下缸的外環(huán)位置控制系統(tǒng)框圖和帶負(fù)載的內(nèi)環(huán)力控制框圖如圖7 所示，由于難以得到電液伺服系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，用頻響實(shí)驗(yàn)獲取帶負(fù)載的液壓缸力閉環(huán)控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng). 通過(guò)施加正弦力期望值信號(hào)到帶負(fù)載的中缸力控制系統(tǒng)和下缸力控制系統(tǒng)，可以得到相應(yīng)的液壓缸位置輸出信號(hào)，并計(jì)算出兩者的幅值比和相位差作為帶負(fù)載的液壓缸力控制系統(tǒng)在特定頻率下的增益值和相角值. 之后采用最小二乘法，使用帶負(fù)載的液壓缸力控制系統(tǒng)在不同頻率下的增益和相角，擬合出兩個(gè)關(guān)于角頻率的三次多項(xiàng)式，分別代表液壓缸力控制系統(tǒng)的增益頻域特性和相角頻域特性.

圖7 液壓缸位置PDDλ 控制Fig. 7 Cylinder position PDDλ control block diagram

2.3 sλ在實(shí)際工程中的近似

Oustaloup 濾波器近似法是一種經(jīng)典的用高階整數(shù)階傳遞函數(shù)近似分?jǐn)?shù)階微分算子的方法[22?23].Oustaloup 近似傳遞函數(shù)由式(11)所示

式中： ωh為角頻率上限； ωb為角頻率下限；N為分?jǐn)?shù)階階次，在感興趣的頻段[ωb,ωh]近似sλ的頻域特性[20].由于控制器采用Matlab 實(shí)時(shí)系統(tǒng)，因此在Simulink環(huán)境下很容易用Oustaloup 傳遞函數(shù)替代sλ，方便控制器的搭建. 本實(shí)驗(yàn)選取N=5，ωh=1 000 rad/s，ωb=0.01rad/s.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和討論

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)硬件

圖8 顯示了實(shí)驗(yàn)設(shè)備和實(shí)驗(yàn)環(huán)境，控制盒（a）包含一塊運(yùn)行Matlab 實(shí)時(shí)系統(tǒng)的PC104 作為主控制器，接受來(lái)自姿態(tài)傳感器（b），內(nèi)嵌式位置傳感器以及力傳感器（e）的輸出信號(hào)，發(fā)送控制輸入信號(hào)到電液伺服閥（c）來(lái)控制液壓缸（d）. 主控制器通過(guò)WiFi 模塊與監(jiān)控上位機(jī)（g）相連，記錄所測(cè)量的液壓缸位置以及姿態(tài)角. 所有液壓缸均由液壓油源（f）供能，壓強(qiáng)定為5 MPa. 在Simulink 環(huán)境中搭建PDDλ控制器和足端軌跡規(guī)劃器，并將這些模塊載入主控制器中. 支撐相和擺動(dòng)相的液壓缸位置的期望軌跡由步長(zhǎng)、步高、步態(tài)周期和規(guī)劃方法決定. 在本實(shí)驗(yàn)足端軌跡規(guī)劃器設(shè)計(jì)中，設(shè)置步長(zhǎng)10 cm，步高5 cm，步態(tài)周期1 s，并選擇0 沖擊擺線規(guī)劃.

圖8 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)硬件和實(shí)驗(yàn)環(huán)境Fig. 8 Experimental setup and environment

3.2 控制器參數(shù)整定結(jié)果

通過(guò)給中缸力控制系統(tǒng)和下缸力控制系統(tǒng)分別施加1～4 Hz 之間13 個(gè)不同頻率的正弦期望力信號(hào)，并計(jì)算出中缸力控制系統(tǒng)和下缸力控制系統(tǒng)在13個(gè)頻率輸出信號(hào)和期望信號(hào)對(duì)應(yīng)的幅值比和相位差，結(jié)果如圖11 和圖12 所示.

圖9 中缸的幅頻特性和相頻特性擬合曲線Fig. 9 The fit curve of mid cylinder frequency domain characteristics

圖10 下缸的幅頻特性和相頻特性擬合曲線Fig. 10 The fit curve of lower cylinder frequency domain characteristics

用最小二乘法將所得13 組角頻率和幅值的數(shù)對(duì)，13 組角頻率和相角的數(shù)對(duì)擬合成兩個(gè)關(guān)于角頻率ω的三次多項(xiàng)式，用來(lái)描述帶負(fù)載的液壓缸力控制系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性. 式（12）描述帶負(fù)載的中缸力控制系統(tǒng)的幅頻特性方程和相頻特性方程，式（13）描述帶負(fù)載的下缸力控制系統(tǒng)的幅頻特性方程和相頻特性方程.

得到中缸力控系統(tǒng)和下缸力控系統(tǒng)的相頻關(guān)系和幅頻關(guān)系之后，結(jié)合2.1 節(jié)介紹的優(yōu)化整定方法，可以得到中缸和下缸最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制器參數(shù)，如表2 所示. 由于四足機(jī)器人的每條腿都具有相同的機(jī)械結(jié)構(gòu)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，所以一條腿的控制器的參數(shù)整定結(jié)果可以適用于其他三條腿.

表2 優(yōu)化分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制器參數(shù)Tab. 2 Optimized FOVMC parameters in experiment

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

利用上一節(jié)優(yōu)化所得的控制器參數(shù)為參考并結(jié)合人工整定，所得最終的實(shí)驗(yàn)控制器參數(shù)如表3 所示. 為了證明所提出分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制的有效性，比較了分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制和傳統(tǒng)虛擬模型控制的單腿軌跡跟蹤效果和觸地力大小. 在傳統(tǒng)的虛擬模型控制中，存在觸地力與跟蹤誤差的矛盾，因?yàn)楦呔鹊母檿?huì)導(dǎo)致較大的觸地力繼而對(duì)身體的平衡造成擾動(dòng). 故而采用單腿軌跡跟蹤誤差和觸地力兩個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量單腿控制效果.

表3 控制器和姿態(tài)補(bǔ)償器參數(shù)Tab. 3 FOVMC controller and attitude compensator parameters

圖11 顯示了機(jī)器人在分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制和傳統(tǒng)虛擬模型控制控制下的平地前向小跑實(shí)驗(yàn)的結(jié)果圖，包含了單腿的實(shí)際液缸位置曲線和期望液壓缸位置起曲線以及足端觸地力曲線.

圖11 液壓缸跟蹤效果Fig. 11 Cylinder length tracking performance

兩種方法控制下的中缸跟蹤誤差和下缸跟蹤誤差的絕對(duì)值如圖12 所示，表4 中列出了中缸和下缸的軌跡跟蹤均方誤差. 結(jié)果顯示在足端產(chǎn)生觸地力大致相等的前提下，分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制可以有效減小中缸和下缸跟蹤過(guò)程中的最大誤差和均方誤差，在保證柔性接觸的同時(shí)提高了單腿軌跡跟蹤精度.

表4 比較兩種控制器的跟蹤均方誤差Tab. 4 Tracking performance of both VMC and FOVMC

圖12 液壓缸跟蹤誤差Fig. 12 Cylinder length tracking error

4 結(jié) 論

在本文中，提出了四足機(jī)器人的分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制，并介紹了針對(duì)本實(shí)驗(yàn)室液壓四足機(jī)器人的控制器參數(shù)整定方法和液壓缸力控制系統(tǒng)頻域特性的建模過(guò)程. 在液壓四足機(jī)器人平臺(tái)上進(jìn)行小跑實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較了分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制和虛擬模型控制的單腿軌跡跟蹤效果，跟蹤均方誤差減少了約82.4%，證明了分?jǐn)?shù)階虛擬模型控制對(duì)于單腿軌跡跟蹤的改善效果.

在以后的研究中，將建立四足機(jī)器人的全身動(dòng)力學(xué)模型，并基于動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)姿態(tài)力矩補(bǔ)償器，將這個(gè)補(bǔ)償器與現(xiàn)在的分?jǐn)?shù)階虛擬模型框架組合，進(jìn)一步改善四足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制效果.