軌跡圓法與動量定理法解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的對比

■河南省開封高級中學(xué) 毛煒翔

利用軌跡圓法分析帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的一般步驟為:畫軌跡、定圓心、求半徑、結(jié)合題意或臨界條件列輔助方程求解相關(guān)問題。利用軌跡圓法分析求解時對幾何關(guān)系和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求較高,解題過程相對復(fù)雜。若借助動量定理分析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題,則對粒子運(yùn)動軌跡的描繪、圓心的確定和半徑的求解等的要求都不高,常?？梢垣@得事半功倍的效果,給人另辟蹊徑的感覺。

一、借助動量定理處理帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的理論分析

如圖1所示,帶正電粒子在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動,速度大小為v,所受洛倫茲力f=qvB。根據(jù)運(yùn)動的分解可將速度v沿x軸、y軸分解為vx和vy,與兩個分速度相對應(yīng)的兩個洛倫茲力分量分別為fx=qBvy(力的方向沿x軸,與vy垂直),fy=qBvx(力的方向沿y軸,與vx垂直),則沿x軸方向根據(jù)動量定理得-∑fx·Δt=mΔvx,即-∑qBvy·Δt=mΔvx,變形得-qBy=mΔvx,同理沿y軸方向有∑fy·Δt=mΔvy,即∑qBvx·Δt=mΔvy,變形得qBx=mΔvy。

圖1

觀察上述表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn),帶電粒子在磁場中運(yùn)動的過程中,借助運(yùn)動的分解和動量定理計算時,粒子在x軸方向上的動量變化與在y軸方向上的運(yùn)動距離有關(guān)聯(lián);粒子在y軸方向上的動量變化與在x軸方向上的運(yùn)動距離有關(guān)聯(lián)。

二、利用軌跡圓法和動量定理法處理帶電粒子在磁場中運(yùn)動問題的對比

例1如圖2所示,質(zhì)量為m,帶電荷量為q的粒子從直線邊界上的A點射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場區(qū)域,速度大小為v,方向與邊界線間的夾角為θ,并從同一邊界線上的B點飛出,求A、B兩點之間的距離。

圖2

解法一:軌跡圓法。

根據(jù)帶電粒子在單直線邊界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的對稱性可知,粒子飛出磁場時的速度大小不變,速度方向與邊界線間的夾角仍為θ,運(yùn)動軌跡如圖3所示。設(shè)帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑為r,根據(jù)洛倫茲力提供向心力得解得。 設(shè)A、B兩點之間的距離為dAB,根據(jù)幾何關(guān)系得dAB= 2rsinθ,解得dAB=。

圖3

解法二:動量定理法。

根據(jù)帶電粒子在單直線邊界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的對稱性可知,粒子飛出磁場時的速度大小不變,速度方向與邊界線間的夾角仍為θ,運(yùn)動軌跡如圖4所示。設(shè)帶電粒子入射點A和出射點B之間的距離為dAB,則其大小與垂直于邊界線方向的動量變化有關(guān),根據(jù)動量定理得,解得。

圖4

點評:比較兩種解法的解答過程可以發(fā)現(xiàn),借助動量定理求解時,避開了復(fù)雜的作圖和數(shù)學(xué)運(yùn)算,但需要注意的是位移方向與動量變化方向兩者之間的垂直關(guān)系。

例2如圖5所示,真空中寬為d的區(qū)域內(nèi)分布著勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于紙面向里,質(zhì)量為m,帶電荷量為-q的粒子以與邊界CD成θ角的速度v0垂直射入磁場中。要使粒子必能從邊界EF上射出,則勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件?

圖5

解法一:軌跡圓法。

粒子從入射點A進(jìn)入磁場后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動,要使粒子必能從邊界EF上射出,則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點A并與邊界EF相切的圓弧,如圖6所示,作出粒子在A、P兩點時的速度的垂線相交于O點,則O點即為該臨界軌跡的圓心。設(shè)臨界軌跡圓的半徑為R0,根據(jù)幾何關(guān)系得,解得。因此粒子必能從邊界EF上射出的運(yùn)動軌跡圓的半徑R≥R0,即解得。

發(fā)電機(jī)振動評價不僅在電動機(jī)行業(yè)也在風(fēng)力發(fā)電行業(yè)作為評價一個電動機(jī)能不能可靠運(yùn)行的重要指標(biāo)[4]，目前國內(nèi)外對發(fā)電機(jī)振動問題也做了很多研究，而在彈性支撐選擇對發(fā)電機(jī)振動影響方面研究的還是比較少的。本文以某款雙饋風(fēng)力發(fā)電機(jī)為原型，對其在兩種剛度彈性支撐下進(jìn)行模態(tài)仿真分析，對比彈性支撐剛度對發(fā)電機(jī)振動頻率的影響，進(jìn)而尋找更有效的減少發(fā)電機(jī)振動的措施。

圖6

解法二:動量定理法。

粒子從入射點A進(jìn)入磁場后在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動,要使粒子必能從邊界EF上射出,則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點A并與邊界EF相切的圓弧,粒子射出磁場時的速度方向沿邊界EF向下,設(shè)粒子在垂直邊界EF方向上的位移為d,其數(shù)值大小與平行于邊界EF的動量變化有關(guān)。以粒子的末速度方向為正方向,根據(jù)動量定理得,解得B0=。要使粒子必能從邊界EF上射出,則勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B≤。

點評:利用動量定理求解此題時用到了運(yùn)動的分解和動量定理公式,不需要畫軌跡、定圓心、求半徑,求解過程更加簡捷。

例3(2020年高考天津卷)如圖7所示,在xOy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從y軸上的M點射入磁場,速度方向與y軸正方向之間的夾角θ=45°。粒子經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后在N點(圖中未畫出)垂直穿過x軸。已知OM=a,粒子的電荷量為q,質(zhì)量為m,重力不計。則( )。

圖7

A.粒子帶負(fù)電荷

C.粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑為a

解法一:軌跡圓法。

粒子向下偏轉(zhuǎn),受到的洛倫茲力斜向下,根據(jù)左手定則可知,粒子帶負(fù)電荷,選項A 正確。粒子的運(yùn)動軌跡如圖8所示,根據(jù)粒子的速度方向與y軸正方向之間的夾角θ=45°可知,∠OMO1=∠OO1M=45°,OM=OO1=a,則粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑,根據(jù)洛倫茲力提供向心力得,解得,選項B、C錯誤。根據(jù)幾何關(guān)系得N點與O點之間的距離,選項D 正確。

圖8

解法二:動量定理法。

粒子向下偏轉(zhuǎn),受到的洛倫茲力斜向下,根據(jù)左手定則可知,粒子帶負(fù)電荷,選項A 正確。根據(jù)題意可知,粒子運(yùn)動的初、末狀態(tài)如圖9所示,粒子在磁場中運(yùn)動的過程中,沿y軸方向的位移大小為a,其大小與粒子在x軸方向上的動量變化有關(guān)。因為粒子在N點垂直穿過x軸,所以粒子沿水平方向的分速度由減小為0,根據(jù)動量定理得-qBa=,解得,則粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑,選項B、C錯誤。同理,設(shè)N點與O點相距為Δx,其大小與粒子在y軸方向上的動量變化有關(guān)。設(shè)沿y軸向上為正方向,根據(jù)動量定理得-qBΔx=(-mv)-mvcosθ,解得,選項D 正確。

圖9

答案:AD

點評:對比兩種解法可以看出,巧妙運(yùn)用動量定理求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動相關(guān)問題時,更加關(guān)注的是粒子在初、末狀態(tài)時的動量變化,以及相對應(yīng)的距離。

例4如圖10所示,真空中存在一寬度為d,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于紙面向外,相互平行沿豎直方向的虛線M、N是磁場的左右邊界線。O是邊界線M上的一點,從O點平行于紙面向磁場區(qū)域發(fā)射速率為v的某種帶正電的粒子,粒子射入磁場時的速度方向與邊界線M成α=53°角,粒子從邊界線N上某點飛出磁場,速度方向與邊界線N成β=37°角(圖中未畫出),不計粒子自身重力,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。

圖10

(2)為了使得粒子不從邊界線N上射出,沿平行于紙面,水平向左的方向加上勻強(qiáng)電場,則該電場的場強(qiáng)需要滿足什么條件?

解析:(1)粒子穿越磁場的過程中,在水平方向上的位移為d,其大小與粒子在豎直方向上的動量變化有關(guān)。取豎直向下為正方向,根據(jù)動量定理得,解得。

(2)若粒子不能從邊界線N上射出,則臨界條件為粒子的運(yùn)動軌跡與邊界線N相切。設(shè)粒子運(yùn)動到邊界線N上時的速度大小變?yōu)関′,粒子在疊加場中運(yùn)動時只有靜電力做功,根據(jù)動能定理得。因為粒子受到的靜電力方向水平向左,對沿豎直方向的動量變化無影響,而粒子在疊加場中運(yùn)動的過程中,沿豎直方向的動量變化大小與其在水平方向上的位移d有關(guān),所以可以在豎直方向上列動量定理方程,取豎直向下為正方向,則qBd=mv′-(-mvcosα),解得。

點評:施加電場以后,粒子的運(yùn)動軌跡不再是圓周,無法使用畫軌跡、定圓心、求半徑的常規(guī)方法求解半徑,無法進(jìn)而求解粒子運(yùn)動到邊界線N上時的速度v′。借助動量定理,僅需考慮粒子沿豎直方向初、末狀態(tài)的動量變化及沿水平方向的位移,便可輕松求得速度v′,使得題目的求解達(dá)到“柳暗花明又一村”的境界。

綜上所述,借助動量定理解決帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題,避開了利用軌跡圓法處理相關(guān)問題時的“畫軌跡、定圓心、求半徑”等步驟,更加關(guān)注的是粒子在初、末狀態(tài)時沿x軸和y軸的距離及與距離相對應(yīng)的動量變化。當(dāng)然,軌跡圓法是解決此類問題的常用方法,同學(xué)們應(yīng)當(dāng)牢牢掌握并能熟練運(yùn)用。而利用動量定理處理帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題,給同學(xué)們提供了一種全新的解決問題的方法和技巧,可以開拓思維,提高解題能力,提升學(xué)科素養(yǎng)。