宏觀交通流模型的余維2 分岔分析1)

范爽爽 劉丹陽(yáng) 段利霞,

* (北方工業(yè)大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院,北京 100144)

? (北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,北京 100081)

** (北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,北京 100144)

引言

交通擁堵問題一直以來(lái)都是學(xué)者關(guān)注的主要問題.現(xiàn)有的解決方案仍有不足,原因之一是運(yùn)輸系統(tǒng)的復(fù)雜性,所有方面都很難集成到一個(gè)解決方案中.目前,人們從不同角度建立了各種交通模型來(lái)解釋交通擁堵的復(fù)雜結(jié)構(gòu)[1-6].一般而言,現(xiàn)有的交通流模型可分為4 類:元胞自動(dòng)機(jī)模型[7]、氣體動(dòng)力學(xué)模型[8]、水動(dòng)力學(xué)模型[9]和最優(yōu)速度模型(OVM)[10].OVM 是最著名的跟車模型之一,受OVM 的啟發(fā),提出了許多考慮其他交通因素的跟車模型[11-13].Jiang 等[14]提出了一個(gè)全速差模型(FVDM),它描述了擁擠流和均勻流,對(duì)于低密度實(shí)現(xiàn)均勻流,在一定臨界密度上變得不穩(wěn)定,出現(xiàn)擁擠流.在臨界密度下,該模型預(yù)測(cè)了汽車密度和交通流量之間存在不連續(xù)性.駕駛員記憶在駕駛中不可缺少,考慮記憶效應(yīng)的跟車模型表明,歷史信息將有助于提高交通流的穩(wěn)定性[15-18].一些學(xué)者研究了交通流模型中速度和車頭時(shí)距隨記憶的變化[19].數(shù)值模擬表明,駕駛員的記憶對(duì)交通行為和穩(wěn)定性有顯著的積極影響[20].在實(shí)際交通環(huán)境中,最優(yōu)速度隨記憶的變化可以預(yù)測(cè)下一時(shí)刻加速度的變化.與那些不熟練的駕駛員相比.熟練的駕駛員對(duì)最優(yōu)速度的預(yù)期和最優(yōu)速度變化的記憶能力會(huì)有更快的反應(yīng).然而,對(duì)連續(xù)模型上的駕駛員記憶的調(diào)查是罕見的.為了克服這一局限性,并受到記憶效應(yīng)的啟發(fā),本文將提出一個(gè)改進(jìn)的連續(xù)模型來(lái)研究交通流的最優(yōu)速度隨記憶變化.

相平面分析已經(jīng)被證明是分析復(fù)雜交通流現(xiàn)象的一種合適工具[21].Kuhne 等[22]在黏性高階模型中預(yù)測(cè)了Hopf 分岔、孤立波和周期振蕩解,提出了雙穩(wěn)定性情況,并解釋了擁擠流的時(shí)滯現(xiàn)象.Lee 等[23]解釋了在所謂的慣性跟車模型中極限環(huán)機(jī)制.最近,Saavedra 和Velasco[24]采用了數(shù)值方法,結(jié)果與Lee 的理論分析結(jié)果一致.

現(xiàn)有的交通流理論及其求解方法存在一定的缺陷.例如,目前的建模研究大多集中在均勻交通流上,分析范圍僅限于平衡狀態(tài)的小范圍擾動(dòng),缺乏對(duì)交通流的全局分析[25-26].因此,反映實(shí)際交通流特征的交通流理論值得進(jìn)一步研究.分岔是指由于非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)跨越一定的閾值,系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生明顯變化的現(xiàn)象.大多數(shù)交通流模型都是具有參數(shù)的非線性方程,當(dāng)模型中的某些參數(shù)發(fā)生變化時(shí),交通流量系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生了顯著的變化,這與分岔的定義一致.Kuhne 等[27]將混沌動(dòng)力學(xué)理論應(yīng)用到Payne 模型中,其結(jié)果表明,通過改變瓶頸處的密度和通行能力兩個(gè)控制參數(shù),可以改變交通流的狀態(tài),產(chǎn)生亞臨界或超臨界分岔.Li[28]推導(dǎo)出Payne 模型的離散形式,研究了該模型的倍周期分岔現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)分岔點(diǎn)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致交通流模式從自由流改為同步流,混沌現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致交通擁堵.一些學(xué)者總結(jié)了國(guó)內(nèi)外分岔理論的發(fā)展[29-30].周偉等[31]通過跟車模型分析了交通流中存在的倍周期分岔和混沌現(xiàn)象.凌代儉和肖鵬等[32]通過非線性時(shí)滯跟車模型,證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf 分岔,描述了跟車模型中復(fù)雜的非線性現(xiàn)象.Carrillo 等[33]通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)發(fā),在一定條件下Bogdanov-Takens (BT) 分岔出現(xiàn)在雙參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)(即二階Kerner-Konhauser(K-K) 模型[34]).Delgado 等[35]證明了K-K 模型中存在退化的BT 分岔,從而解釋了Hopf 分岔和Bautin分岔的存在性.Delgado 等[35]從理論角度證明了宏觀交通流模型分岔的存在性,但分岔引起的具體交通現(xiàn)象不足.為了詳細(xì)描述由分岔引起的交通流現(xiàn)象,艾文歡等[36]推導(dǎo)了速度梯度模型中Hopf 分岔和鞍結(jié)分岔的存在條件,并繪制了以分岔點(diǎn)為起點(diǎn)的密度演化圖,根據(jù)Hopf 分岔理論解釋了交通流的啟停現(xiàn)象.Ren 等[37-39]都做了Hopf 分岔研究,并通過行波參數(shù)找到Hopf 分岔范圍,解釋了走走停?，F(xiàn)象.但是其他參數(shù)的改變也會(huì)出現(xiàn)啟停現(xiàn)象,目前很少有人研究其他參數(shù)對(duì)啟?，F(xiàn)象的影響.因此,本文從雙參數(shù)分岔的角度分析交通流的Hopf 分岔機(jī)制以及相應(yīng)的交通現(xiàn)象.

本文基于宏觀交通流模型,采用雙參數(shù)分岔方法,從全局的角度來(lái)分析交通現(xiàn)象.該模型重現(xiàn)高速公路上觀測(cè)到的許多復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,如走走停停波和局部簇.首先,利用變量代換將模型轉(zhuǎn)換為一個(gè)適合于分岔分析的新模型.然后,推導(dǎo)了模型中鞍結(jié)分岔存在的條件,得到不同兩參數(shù)間的雙參數(shù)分岔結(jié)構(gòu),并對(duì)分岔曲線進(jìn)行分析.最后,利用雙參數(shù)分岔區(qū)域得到不同單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu),通過相平面分析描述和預(yù)測(cè)高速公路上的非線性交通現(xiàn)象.

1 跟車模型的提出及改進(jìn)

1.1 宏觀交通流模型

提出了一種考慮最優(yōu)速度隨記憶變化的跟車模型[40]

其中,xn(t) 是在時(shí)間 t 時(shí)刻第 n 輛車的位置,?νn表示兩個(gè)相鄰車輛的速度差,?xn=xn+1-xn是車頭間距,V(?xn(t))為優(yōu)化速度函數(shù).V(?xn(t))-V(?xn(t-δ)) 是駕駛員將當(dāng)前最優(yōu)速度調(diào)整到記憶為 t-δ 時(shí)的最優(yōu)速度,其中,δ 表示記憶步長(zhǎng).a 是敏感系數(shù),λ 為速度差響應(yīng)系數(shù),γ 是駕駛員最優(yōu)速度差的靈敏系數(shù).當(dāng)γ=0或者 δ=0,系統(tǒng) (1) 就是FVDM 模型.

通過簡(jiǎn)單的Taylor 展開,優(yōu)化速度函數(shù)可以寫為

把式(2) 代入式(1),可以推導(dǎo)出

微觀變量轉(zhuǎn)化為宏觀變量的方法如下

其中 Δ 表示相鄰兩車之間的距離,ρ(x,t) 和 ν(x,t) 分別表示宏觀密度和速度.密度與位置的關(guān)系為Ve(ρ) 表示最優(yōu)速度,

最優(yōu)速度函數(shù) Ve(ρ) 選擇如下形式[34]

對(duì) ν(x+Δ,t) Taylor 級(jí)數(shù)展開且忽略高階項(xiàng),可以推導(dǎo)為

將式(4)和式(5)代入式(3),跟車模型中微觀變量轉(zhuǎn)成宏觀變量如下

式(6)可以整理為

將流量守恒方程與式(7)結(jié)合,將推導(dǎo)出最優(yōu)速度隨記憶變化的宏觀交通流模型

1.2 交通流的行波解

為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性,引入了行波解 z=x-ct,將其代入式(8),可以推導(dǎo)出

其中交通流是密度與速度的乘積,為 q=ρν .根據(jù)式(9)的流量守恒方程,可以得出

對(duì)式(10)等號(hào)兩邊分別求導(dǎo)有

對(duì)式(9)的流量守恒方程積分有

式(9)的動(dòng)力方程展開為

將式(10)和式(11)代入式(13)有

簡(jiǎn)化式(15),可以重寫為

在式(18)中,η 和ρ 具有相同的單調(diào)性.密度ρ越接近擁擠密度 ρm,則變量 η 趨于無(wú)窮,且 y 是 η 的變化率.因此,可以用 η 的軌跡清晰地描述交通擁堵與系統(tǒng)不穩(wěn)定性之間的關(guān)系,從而可將交通流問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.

2 余維2 分岔分析

系統(tǒng)式(18)的穩(wěn)定性,即交通流的穩(wěn)定性,與道路中的小擾動(dòng)對(duì)交通流狀態(tài)的影響密切相關(guān).如若系統(tǒng)穩(wěn)定,那么小擾動(dòng)在傳播中會(huì)逐漸減小,此時(shí)車輛暢行;而若系統(tǒng)不穩(wěn)定,那么小擾動(dòng)會(huì)向上游傳播,此時(shí)將逐漸演化為交通擁堵.雙參數(shù)分岔能整體分析參數(shù)變化和車輛穩(wěn)定范圍.本文主要研究記憶參數(shù) γ 和行波參數(shù) q*變化時(shí),交通流狀態(tài)的轉(zhuǎn)變.

2.1 鞍結(jié)分岔存在條件

引理2.1 (文獻(xiàn)[36]) 考慮系統(tǒng) x˙=f(x,λ),x ∈Rn,λ ∈R,其中 λ 是一個(gè)變量.如果 (x0,λ) 滿足平衡條件假設(shè) ψ 和φ分別為 L 的左右特征向量,就有ψ L=0 和 Lφ=0 成立.當(dāng)滿足以下條件時(shí),系統(tǒng)在 λ=λ0處存在鞍結(jié)分岔

對(duì)系統(tǒng) (18),令 q*作為可變參數(shù),(η0,0) 表示平衡點(diǎn).在此平衡點(diǎn)處的Jacobi 矩陣可表示為

因?yàn)槠胶恻c(diǎn)滿足平衡條件 y=0 和 F(η,δ)=0,因此平衡點(diǎn)處的Jacobi 矩陣為

1-ρmη0=0成立當(dāng)且僅當(dāng) ρ=0,但這是一個(gè)平凡平衡點(diǎn),可以忽略不計(jì).此外,變量 η 永遠(yuǎn)不能等于0,所以有 A ≠0 成立.

其中

2.2 γ 和 q* 雙參數(shù)分岔

當(dāng)行波參數(shù) q*和記憶系數(shù)γ 變化時(shí),交通流會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定、擁堵、走走停停和幽靈擁堵等復(fù)雜的交通現(xiàn)象.交通狀態(tài)的轉(zhuǎn)變可能由分岔的類型,以及分岔曲線的相對(duì)位置等因素變化引起.下文通過雙參數(shù)分岔來(lái)研究交通狀態(tài)在不同分岔結(jié)構(gòu)下的特征.將行波參數(shù) q*作為第一個(gè)分岔參數(shù),即當(dāng) q*變化時(shí)交通狀態(tài)發(fā)生變化.將記憶敏感系數(shù) γ 作為次要控制參數(shù),并研究不同 γ 值對(duì)交通流的影響.取行波參數(shù) q*＞0,記憶系數(shù) γ ＞0 .當(dāng) c=-8.081 veh/s 時(shí),其余參數(shù)不變,得到 γ 和 q*雙參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)如圖1 所示.

圖1 q* 和 γ 的雙參數(shù)分岔Fig.1 Two-parameter bifurcation of q* andγ

圖1(a) 和圖1(c) 中有兩條LP 表示平衡點(diǎn)的鞍結(jié)分岔曲線 (藍(lán)色實(shí)線),由鞍點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)相遇產(chǎn)生.曲線HC 是同宿軌分岔,鞍點(diǎn)與極限環(huán)相遇產(chǎn)生 (橙色實(shí)線);H 曲線是Hopf 分岔,焦點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生改變(紅色實(shí)線);LPC 曲線是極限環(huán)上的鞍結(jié)分岔,與Hopf 曲線幾乎重合(黑色實(shí)線);BT 點(diǎn)表示余維2 Bogdanov-Takens 分岔,是HC,H,LP 3 條曲線的交匯點(diǎn);GH 點(diǎn)表示余維2 廣義Hopf 分岔,是超臨界和亞臨界Hopf 分岔的臨界點(diǎn).GH 點(diǎn)附近的結(jié)構(gòu)如圖1(b) 所示.由于 γ ＞0,則系統(tǒng)有效雙參數(shù)區(qū)域如圖1(c) 所示.GH 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0.9,1.297 694 5×10-7),γ值幾乎趨于0,將雙參數(shù)分岔區(qū)域分為Ⅰ和Ⅱ兩部分,如圖1(a) 所示.BT 的坐標(biāo)為 (1.177 465,97.492 181),將雙參分岔區(qū)域分為Ⅲ和Ⅳ兩部分,如圖1(c) 所示.顯然,在區(qū)域Ⅳ中分岔結(jié)構(gòu)更豐富,第4 節(jié)中將分析參數(shù)在不同區(qū)域時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)交通現(xiàn)象的影響.

2.3 c 和 q* 雙參數(shù)分岔

當(dāng)行波參數(shù) q*和行波速度 c 變化時(shí),交通流會(huì)出現(xiàn)不同的狀態(tài).將行波參數(shù) q*作為第一個(gè)分岔參數(shù),行波速度 c 作為次要控制參數(shù),取行波參數(shù) q*＞0,行波速度 c ＜0,克服了許多高階連續(xù)模型的反向傳播問題.當(dāng) γ=0.5 s-1,q*=0.901 veh/s 時(shí),其余參數(shù)不變,得到 c 和 q*雙參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)如圖2 所示.

圖2(a) 中兩條LP 曲線 (紅色實(shí)線) 交于CP 點(diǎn),產(chǎn)生尖點(diǎn)分岔;HC 是同宿軌分岔 (橙色實(shí)線),H 曲線是Hopf 分岔 (綠色實(shí)線),兩個(gè)余維2 Bogdanov-Takens 分岔點(diǎn)分別交于同宿軌分岔、Hopf 分岔、鞍結(jié)分岔交匯處,如圖2(b) 所示.根據(jù)BT 與CP 點(diǎn),將圖2(a) 分成4 個(gè)區(qū)域.

圖2 q* 和 c 的雙參數(shù)分岔Fig.2 Two-parameter bifurcation of q* andc

圖2 q* 和 c 的雙參數(shù)分岔(續(xù))Fig.2 Two-parameter bifurcation of q* and c (continued)

本節(jié)參數(shù)取值與3.2 節(jié)相同.由于分岔參數(shù)不同,得到的分岔結(jié)構(gòu)和分岔曲線完全不同,說(shuō)明不同的參數(shù)對(duì)交通狀態(tài)可能會(huì)有很大的影響.因此本文研究其他參數(shù)對(duì)交通狀態(tài)的影響,是非常必要的.在同一組參數(shù)值下,任意兩參數(shù)可以兩兩組合,得到不同的雙參數(shù)分岔結(jié)構(gòu).各參數(shù)間相互影響,產(chǎn)生不同的交通現(xiàn)象.本文只將行波參數(shù) q*和記憶系數(shù) γ 對(duì)交通狀態(tài)的影響做詳細(xì)的分析.

3 非線性動(dòng)力學(xué)分析

3.1 關(guān)于 q* 單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)

根據(jù)不同分岔結(jié)構(gòu),圖1(b) 分成兩個(gè)分岔區(qū)域,分別在不同區(qū)域取值,研究關(guān)于 γ 的單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu),如圖3 所示.

隨著 γ 值減少,q*的分岔結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化.當(dāng)γ=100時(shí) (即在圖1(b) 的區(qū)域Ⅲ內(nèi)) 有兩個(gè)鞍結(jié)分岔 (LP) 產(chǎn)生,如圖3(a) 所示.綠色實(shí)線代表穩(wěn)定的焦點(diǎn),當(dāng)施加小擾動(dòng)時(shí),密度振蕩且振幅變得越來(lái)越小,最終穩(wěn)定在焦點(diǎn);紅色虛線表示鞍點(diǎn),當(dāng)施加小擾動(dòng)時(shí),密度有波動(dòng),最后穩(wěn)定.當(dāng) γ=30 時(shí) (即在圖1(c) 的區(qū)域Ⅳ內(nèi)) 有兩個(gè)鞍結(jié)分岔和一個(gè)Hopf 分岔,因此有鞍點(diǎn)、穩(wěn)定焦點(diǎn)、不穩(wěn)定焦點(diǎn)存在,如圖3(b) 所示.H 與LP 之間的藍(lán)色虛線表示不穩(wěn)定焦點(diǎn),當(dāng)施加小擾動(dòng)時(shí),密度振蕩且振幅變得越來(lái)越大,最終形成擁堵.H 與HC 之間的洋紅色虛線為極限環(huán)的最大值和最小值,當(dāng)施加小擾動(dòng)時(shí),密度振蕩且振幅趨于極限環(huán),最終形成等幅振蕩,即走走停?，F(xiàn)象.從區(qū)域Ⅲ和Ⅳ的單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)可以看出,穩(wěn)定交通流出現(xiàn)在焦點(diǎn)處 (實(shí)線).圖3(b) 的Hopf 點(diǎn)Lyapunov 第一指數(shù) 3.969 532×10-3為正為亞臨界Hopf 分岔,該處產(chǎn)生不穩(wěn)定極限環(huán).接下來(lái),分析不同的分岔點(diǎn)對(duì)交通狀態(tài)的影響.

圖3 關(guān)于 q* 的單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)Fig.3 The one-parameter bifurcation structure ofq*

3.2 關(guān)于 q* 的相平面分析

當(dāng) γ=100 時(shí),交通流經(jīng)歷了自由流狀態(tài) (FT)-震蕩-擁堵 (J) 的過程,如圖3(a) 單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)所示.當(dāng) (q*,η)=(1.177,6.432) 時(shí),則=-14.348 3,-(1-ρmη)2=-0.082 024 96,因此 R=7.160 3×104,=1.176 918 133 57滿足q*=且R ≠0 條件,所以系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔 (LP),分析在 LP1附近交通流密度的變化,如圖4 所示.

在 q*=1 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(a) 的b1 曲線,系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (5.883,0)、穩(wěn)定焦點(diǎn) (7.251,0) 和鞍點(diǎn) (12.93,0),如圖4(a) 所示.從軌跡走向可以看出,從鞍點(diǎn) (12.93,0) 出發(fā)的軌線吸引到焦點(diǎn) (虛線);交通流為振蕩擁擠交通轉(zhuǎn)化為自由流 (FT).在 q*=1.177 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(a) 的b2 曲線,系統(tǒng)存在鞍結(jié)點(diǎn) (6.432,0) 和鞍點(diǎn) (18.34,0),如圖4(c) 所示.從軌跡形式可以看出,由于鞍結(jié)分岔,穩(wěn)定焦點(diǎn)與鞍點(diǎn)相遇,部分曲線穩(wěn)定,其余曲線不穩(wěn);交通流為自由流 (FT) 和振蕩流共存.在 q*=1.2 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(a) 的b1 曲線,系統(tǒng)存在鞍點(diǎn)(19.36,0),交通流為自有流.隨著 q*的增大,交通流發(fā)生了穩(wěn)定到不穩(wěn)定的轉(zhuǎn)變.當(dāng)(q*,η)=(0.817 3,5.657)時(shí),為系統(tǒng)的LP 分岔點(diǎn),分析在 LP2附近交通流密度的變化,如圖5 所示.

圖4 鞍結(jié)分岔 LP1 附近的相平面Fig.4 Phase plan near saddle-node bifurcation LP1

圖5 鞍結(jié)分岔 LP2 附近的相平面Fig.5 Phase plan near saddle-node bifurcation LP2

在 q*=0.7 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(a) 的a1 曲線,系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (5.54,0),如圖5(a) 所示.交通流為自由流.在q*=0.817 3時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(a) 的a2 曲線,系統(tǒng)存在鞍結(jié)點(diǎn) (8.804,0) 和鞍點(diǎn) (5.657,0),如圖5(b) 所示.從軌跡形式可以看出,由于鞍結(jié)分岔,穩(wěn)定焦點(diǎn)與鞍點(diǎn)相遇,從另一個(gè)鞍點(diǎn)出發(fā)的曲線吸引到鞍結(jié)點(diǎn),在虛線內(nèi)曲線穩(wěn)定,其余曲線為不穩(wěn);交通流為振蕩流和自由流 (FT) 共存.在 q*=0.93 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(a) 的a3 曲線,系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (5.787,0)、穩(wěn)定焦點(diǎn) (7.536,0) 和鞍點(diǎn) (11.48,0),如圖5(c) 所示.從軌跡形式可以看出,由于焦點(diǎn)的吸引部分曲線趨于焦點(diǎn),兩邊的鞍點(diǎn)的作用使部分曲線不穩(wěn)定;交通流為振蕩擁擠交通轉(zhuǎn)化為自由流 (FT).隨著 q*的增大,交通流出現(xiàn)不穩(wěn)定到穩(wěn)定的變化.根據(jù)圖4 和圖5 分析知,當(dāng)0.873(LP)＜q*＜1.177(LP)時(shí),系統(tǒng)有穩(wěn)定交通流存在.當(dāng) γ=30 時(shí),交通流經(jīng)歷了自由流狀態(tài) (FT)-時(shí)走時(shí)停態(tài) (TSG)-振蕩態(tài)-擁擠態(tài) (J) 的過程,單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)如圖3(b) 所示.當(dāng) q*=0.817 3 時(shí),為系統(tǒng)的LP 分岔點(diǎn),分析在 LP3附近交通流密度的變化,如圖6 所示.

在 q*=0.6 時(shí),系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (5.45,0),如圖6(a)所示.交通流為自由流 (FT).在 q*=0.817 3 時(shí),系統(tǒng)存在鞍結(jié)點(diǎn) (8.804,0) 和鞍點(diǎn) (5.657,0),如圖6(b) 所示.從軌跡形式可以看出,由于鞍結(jié)分岔,穩(wěn)定焦點(diǎn)與鞍點(diǎn)相遇,在虛線內(nèi)曲線為穩(wěn)定,其余曲線為不穩(wěn)定;交通流為自由流 (FT) 和振蕩態(tài)共存.在q*=0.93時(shí),系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (5.787,0)、穩(wěn)定焦點(diǎn) (7.536,0) 和鞍點(diǎn) (11.478,0),如圖6(c) 所示.從軌跡形式可以看出,從鞍點(diǎn) (10.9,0) 吸引到焦點(diǎn),有穩(wěn)定曲線產(chǎn)生;交通流為振蕩交通轉(zhuǎn)化為自由流 (FT).隨著 q*增大,交通流出現(xiàn)不穩(wěn)定到穩(wěn)定的變化.當(dāng)(q*,η)=(1.009,7.218)時(shí),為系統(tǒng)的Hopf 點(diǎn).分析在Hopf 分岔附近交通流密度的變化,如圖7 所示.

圖6 鞍結(jié)分岔 LP3 附近的相平面Fig.6 Phase plan near saddle-node bifurcation LP3

圖7 Hopf 分岔附近的相平面Fig.7 Phase plane near Hopf bifurcation

在 q*=0.98 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(b) 的c1 曲線,系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (5.854,0)、穩(wěn)定焦點(diǎn) (7.326,0) 和鞍點(diǎn) (12.5,0),如圖7(a) 所示.根據(jù)軌跡形式,它包含一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán),環(huán)內(nèi)和環(huán)外曲線在 z →-∞ 時(shí)趨于極限環(huán),形成等幅振蕩;交通流有走走停停態(tài) (TSG) 態(tài),在右側(cè)鞍點(diǎn)處有自由流 (FT) 形式.在 q*=1.009 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(b) 的c2 曲線,系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (5.897,0)、Hopf 點(diǎn) (7.218,0) 和鞍點(diǎn) (13.14,0),如圖7(b) 所示.從軌跡形式可以看出,紅色環(huán)內(nèi)為穩(wěn)定狀態(tài),環(huán)外時(shí)不穩(wěn)定振蕩;交通流為振蕩擁擠交通變?yōu)閾矶聭B(tài) (J),但有一小部分振蕩是走走停停的現(xiàn)象.在q*=1.03時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(b) 的c3 曲線,系統(tǒng)存在一個(gè)鞍點(diǎn) (5.93,0),不穩(wěn)定的焦點(diǎn) (7.143,0) 和鞍點(diǎn) (13.64,0),如圖7(c) 所示.從軌跡形式可以看出,由不穩(wěn)定焦點(diǎn)處振蕩至不穩(wěn)定;交通流為振蕩擁擠交通變?yōu)閾矶聭B(tài)(J).隨著 q*的增加,振蕩擁擠流變成振蕩流的一部分,然后演化為走走停停的現(xiàn)象.當(dāng)(q*,η)=(1.177,6.432)時(shí),為系統(tǒng)的LP 分岔點(diǎn),分析在 LP4附近交通流密度的變化,如圖8 所示.

在 q*=1.1 時(shí),系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (6.063,0)、不穩(wěn)定焦點(diǎn) (6.897,0) 和鞍點(diǎn) (15.56,0),如圖8(a) 所示.從軌跡形式可以看出,從焦點(diǎn)附近出發(fā)的軌線趨于最小密度;交通流為自由流態(tài) (FT).在 q*=1.177 時(shí),對(duì)應(yīng)圖3(b) 的c4 曲線,系統(tǒng)存在鞍結(jié)點(diǎn) (6.432,0) 和鞍點(diǎn) (18.34,0),如圖8(b) 所示.從軌跡形式可以看出,由于鞍結(jié)分岔,穩(wěn)定焦點(diǎn)與鞍點(diǎn)相遇,鞍結(jié)點(diǎn)附近曲線穩(wěn)定,其余曲線不穩(wěn)定;交通流為振蕩態(tài)與自由流 (FT) 共存.在 q*=1.3 時(shí),系統(tǒng)存在鞍點(diǎn) (25.52,0),如圖8(c) 所示.交通流為自由流 (FT).隨著 q*的增加,交通流出現(xiàn)自由流 (FT) 到擁擠態(tài) (J) 的變化.由圖6～圖8 知,在 q*＜0.817 3(LP4) 產(chǎn)生自由流(FT),0.817 3(LP4)＜q*＜0.97(HC)為振蕩自由流(F T),0.97(HC)＜q*＜1.009(H)出現(xiàn)走走停停現(xiàn)象(TSG),1.009(H)＜q*為均勻擁擠態(tài) (J).

圖8 鞍結(jié)分岔 LP4 附近的相平面Fig.8 Phase plan near saddle-node bifurcation LP4

3.3 關(guān)于 γ 單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)

隨著 q*值增大,γ 的分岔結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化.根據(jù)不同分岔結(jié)構(gòu),圖1(a) 分成兩個(gè)分岔區(qū)域,分別在不同區(qū)域取值,研究關(guān)于 q*的單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu),如圖9 所示.

當(dāng) q*=0.892 時(shí) (即在圖1(a) 的區(qū)域Ⅰ內(nèi)) 有Hopf 曲線和HC 曲線,因此系統(tǒng)存在穩(wěn)定焦點(diǎn)和不穩(wěn)定焦點(diǎn).Hopf點(diǎn)處Lyapunov第一指數(shù)-2.918 477×10-4為負(fù),Hopf 分岔為超臨界,H 上下的實(shí)線表示穩(wěn)定極限環(huán).如圖9(a) 所示,H 右邊實(shí)線代表穩(wěn)定的焦點(diǎn),當(dāng)施加小擾動(dòng)時(shí),密度振蕩且振幅變得越來(lái)越小,最終穩(wěn)定在焦點(diǎn);H 左邊虛線表示不穩(wěn)定焦點(diǎn),在 z →+∞ 時(shí),當(dāng)施加小擾動(dòng)時(shí),密度越來(lái)越大,最終趨于穩(wěn)定極限環(huán).當(dāng) q*=0.901 時(shí),即在圖1(a) 的區(qū)域Ⅱ內(nèi),如圖9(b) 所示,Hopf 點(diǎn)Lyapunov 第一指數(shù) 3.557 092×10-5為正,Hopf 分岔為亞臨界,H 上下之間的虛線表示不穩(wěn)定極限環(huán),z →-∞時(shí),環(huán)內(nèi)和環(huán)外的軌線趨于極限環(huán).當(dāng)存在小擾動(dòng)時(shí),密度振蕩并趨于不穩(wěn)定極限環(huán),形成等幅振蕩,最終形成走?，F(xiàn)象.由于 γ ＞0 時(shí),交通流系統(tǒng)有意義.在 γ ＞0 時(shí),q*=0.892 系統(tǒng)只有穩(wěn)定焦點(diǎn),Hopf 點(diǎn)為 (-2.984 256,7.734 391) (如圖9(a) 所示);q*=0.892時(shí),系統(tǒng)有不穩(wěn)定焦點(diǎn)、穩(wěn)定焦點(diǎn)、不穩(wěn)定極限環(huán)存在,Hopf 點(diǎn)為 (0.358 938,7.682 751) (如圖9 (b) 所示).分析在Hopf 分岔附近交通流密度的變化,如圖10 所示.

圖9 關(guān)于 γ 的單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)Fig.9 The one-parameter bifurcation structure ofγ

當(dāng)參數(shù) q*=0.892 且γ ＞-2.984 (Hopf 分岔點(diǎn))時(shí),對(duì)應(yīng)圖9(a) 的d1 曲線,系統(tǒng)存在穩(wěn)定焦點(diǎn)(7.734,0),高密度鞍點(diǎn) (10.749,0),如圖10(a) 所示.由于穩(wěn)定焦點(diǎn)的吸引,軌線振蕩趨于焦點(diǎn);交通流為振蕩交通轉(zhuǎn)化為自由流(FT),鞍點(diǎn)出形成擁堵(J).在 q*=0.901 和γ=0.14 ＜0.358 9 (Hopf 分岔點(diǎn)) 時(shí),對(duì)應(yīng)圖9(b) 的d2 曲線,系統(tǒng)存在不穩(wěn)定焦點(diǎn) (7.683,0),鞍點(diǎn) (10.921,0),如圖10(b) 所示.由于不穩(wěn)定焦點(diǎn),軌線振蕩趨于不穩(wěn)定;交通流為振蕩交通轉(zhuǎn)化為擁擠態(tài) (J).在 q*=0.901 和q*=0.37 ＞0.358 9 (Hopf分岔點(diǎn)) 時(shí),對(duì)應(yīng)圖9(b) 的d3 曲線,系統(tǒng)存在穩(wěn)定焦點(diǎn) (7.683,0) 和不穩(wěn)定極限環(huán)如圖10(c) 所示.從軌跡形式可以看出,它包含一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán),環(huán)內(nèi)和環(huán)外曲線在 z →-∞ 時(shí)趨于極限環(huán),形成等幅振蕩;交通流為走走停停態(tài) (TSG).

圖10 關(guān)于Hopf 分岔的相平面Fig.10 The phase plane of Hopf bifurcation

4 結(jié)論

本文提出了一個(gè)最優(yōu)速度隨記憶變化的宏觀交通流模型.首先,原始模型狀態(tài)變量的最大值為0.2 veh/m,通過變量代換將問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)穩(wěn)定性問題;其次,通過余維2 分岔方法,改變了只能由行波參數(shù)發(fā)現(xiàn)走?，F(xiàn)象的規(guī)律.然后,通過雙參數(shù)分岔,了解了參數(shù)之間的相互影響,并發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)存在Hopf 分岔、LP 分岔、BT 分岔和HC 分岔、CP 分岔、GH 分岔等各種分岔結(jié)構(gòu);再次,對(duì)雙參數(shù)分岔不同區(qū)域取值,得到不同單參數(shù)分岔結(jié)構(gòu),確定極限環(huán)、鞍結(jié)分岔和Hopf 分岔的值,給出相平面整體結(jié)構(gòu);最后,通過相位平面分析對(duì)模型的平衡點(diǎn)變化有了深刻的理解.數(shù)值模擬了相平面軌跡,通過對(duì)極限環(huán)、焦點(diǎn)和鞍點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)分析,解釋了不同動(dòng)力學(xué)行為對(duì)擁堵交通中復(fù)雜現(xiàn)象的影響.通過不同分岔結(jié)構(gòu)的相平面軌跡,分析對(duì)應(yīng)的交通現(xiàn)象,提高高速公路觀測(cè)到的啟停波和局部簇的理解.

數(shù)值結(jié)果表明,駕駛員記憶的時(shí)間長(zhǎng)度對(duì)交通流的穩(wěn)定性有重要影響.總之,分析結(jié)果和數(shù)值模擬都表明,隨記憶變化的最優(yōu)速度可以進(jìn)一步提高交通流的穩(wěn)定性.分岔分析方法可以描述和預(yù)測(cè)高速公路上的非線性交通現(xiàn)象,并有助于設(shè)計(jì)更好更合理的控制方案來(lái)改變交通擁堵現(xiàn)象.