基于變分模態(tài)分解的侵徹過(guò)載信號(hào)盲分離

張晨陽(yáng)， 張 亞， 李世中

(中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 太原 030051)

引信仿真測(cè)試是評(píng)價(jià)引信綜合性能的有效途徑，對(duì)于提升硬目標(biāo)侵徹武器的攻擊能力具有重要意義。開(kāi)展引信仿真測(cè)試系統(tǒng)的研究，能夠縮短引信的研制時(shí)間、節(jié)省研制費(fèi)用、提高研制質(zhì)量，為引信的總體設(shè)計(jì)和建立完善的引信評(píng)價(jià)體系提供技術(shù)保障[1]。在侵徹過(guò)程中，彈體與彈靶的作用過(guò)程十分復(fù)雜，有多種振動(dòng)信號(hào)作用在彈體上，獲得的侵徹過(guò)載信號(hào)不僅包含彈體自身的剛體加速度信號(hào)，還疊加了各種噪聲信號(hào)。因此，將彈體的剛體加速度信號(hào)從侵徹過(guò)載信號(hào)中分離出來(lái)，是引信仿真測(cè)試的關(guān)鍵一步。

對(duì)于侵徹過(guò)載信號(hào)的處理，已經(jīng)展開(kāi)了多方面的研究。張兵等[2]在壓電傳感器的兩端加入三種減震片，通過(guò)彈體沖擊試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，加入減震片后傳感器輸出信號(hào)的頻率范圍有了明顯縮小，并且三種不同材質(zhì)的減震片分別可以濾除大于4 kHz、7 kHz、10 kHz的噪聲信號(hào)。黃娟等[3]提出一種小波去噪與HHT變換相結(jié)合的故障信號(hào)提取方法，先對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行小波去噪，再采用HHT變換進(jìn)行時(shí)頻分析，根據(jù)分析得到一系列本征模態(tài)函數(shù)判斷軸承的故障情況。趙海峰等[4]提出一種基于奇異值分解的侵徹過(guò)載信號(hào)降噪方法，通過(guò)對(duì)侵徹過(guò)載信號(hào)進(jìn)行奇異值分解，由主體奇異值分量穩(wěn)定原則確定信號(hào)重構(gòu)矩陣，從而去除侵徹過(guò)載信號(hào)中的噪聲分量，提取出彈體的剛體加速度信號(hào)。毋文峰等[5]采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對(duì)單通道信號(hào)進(jìn)行盲分離，提取含有不同故障信息的本征模態(tài)函數(shù)與原單通道信號(hào)組成多維信號(hào)，利用奇異值分解重構(gòu)多通道混合信號(hào)，對(duì)多通道混合信號(hào)進(jìn)行盲源分離，但由于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解在分解過(guò)程中存在欠包絡(luò)、過(guò)包絡(luò)、模態(tài)混疊、端點(diǎn)效應(yīng)等問(wèn)題，使得信號(hào)處理結(jié)果差強(qiáng)人意。集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[6]雖然在一定程度上解決了模態(tài)混疊問(wèn)題，但同時(shí)加大了算法的計(jì)算量，且端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題仍未解決。

本文提出一種基于變分模態(tài)分解的侵徹過(guò)載信號(hào)盲源分離算法。為了將單通道信號(hào)轉(zhuǎn)化為多維信號(hào)，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行變分模態(tài)分解，由本征模態(tài)函數(shù)和單通道信號(hào)組成多維信號(hào)；然后對(duì)多維信號(hào)的自相關(guān)矩陣進(jìn)行奇異值分解估計(jì)源信號(hào)數(shù)目，并計(jì)算各本征模態(tài)函數(shù)與單通道信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，由相關(guān)系數(shù)的大小選擇相應(yīng)的本征模態(tài)函數(shù)與單通道信號(hào)重構(gòu)多通道信號(hào)；最后利用盲源分離中特征矩陣聯(lián)合近似對(duì)角化算法(joint approximate diagonalization of eigenmatrices, JADE)[7]對(duì)多通道信號(hào)進(jìn)行盲源分離。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 盲源分離算法

盲源分離是一種在信號(hào)傳輸路徑的各項(xiàng)參數(shù)與信號(hào)源均未知的情況下，根據(jù)輸入源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，由混合觀測(cè)信號(hào)還原出源信號(hào)獨(dú)立成分的信號(hào)分離算法。根據(jù)源信號(hào)數(shù)目小于、等于和大于觀測(cè)信號(hào)數(shù)目，可將盲源分離分為超定、正定和欠定盲源分離三種[8]。傳統(tǒng)的盲源分離算法主要針對(duì)源信號(hào)信息充足的超定和正定盲源分離，而對(duì)于欠定盲源分離，由于其觀測(cè)信息缺乏，現(xiàn)有的盲源分離算法不能有效地求解出源信號(hào)的估計(jì)信號(hào)[9]。

假設(shè)源信號(hào)S(t)由N個(gè)未知的獨(dú)立信號(hào)組成，經(jīng)未知的信道傳送后，由M個(gè)傳感器采集獲得觀測(cè)信號(hào)X(t)，盲源分離的數(shù)學(xué)模型見(jiàn)式(1)

X(t)=AS(t)

(1)

式中：X(t)=[X1(t),X2(t),…,XM(t)]T為M維觀測(cè)信號(hào)；S(t)=[S1(t),S2(t),…,SN(t)]T為N維源信號(hào)；A為M×N階混合矩陣。

盲源分離就是在S(t)和A都未知的情況下尋求一個(gè)N×M階的矩陣W，通過(guò)該矩陣和觀測(cè)信號(hào)X(t)分離出源信號(hào)S(t)的近似估計(jì)信號(hào)Y(t)[10]，盲源分離過(guò)程如圖1所示。

Y(t)=WX(t)

(2)

圖1 盲源分離過(guò)程圖

1.2 變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解(variational mode decomposition, VMD)是由Dragomiretskiy等[11]根據(jù)維納濾波和變分思想提出的一種尺度可變的信號(hào)分解算法，通過(guò)將信號(hào)自適應(yīng)地分解為若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)，采用交替方向乘子法迭代求解各模態(tài)的中心頻率，從而將各模態(tài)解調(diào)至對(duì)應(yīng)的基頻帶。與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的遞歸式分解不同，VMD是在變分模型的約束下進(jìn)行信號(hào)的分解過(guò)程，具有完備的理論支撐，在復(fù)雜信號(hào)分析領(lǐng)域里具有廣泛應(yīng)用[12]。

變分模態(tài)分解將源信號(hào)分解為有限個(gè)具有限帶寬的本征模態(tài)函數(shù)，每個(gè)本征模態(tài)函數(shù)圍繞在其中心頻率附近，以各本征模態(tài)函數(shù)的帶寬之和最小為約束條件，建立約束變分模型(見(jiàn)式(3))，尋求各個(gè)信號(hào)分量對(duì)應(yīng)的本征模態(tài)函數(shù)，從而將源信號(hào)自適應(yīng)地分解為各本征模態(tài)函數(shù)的線性組合。

(3)

式中：{uk}={u1,u2,…，uK}為K個(gè)本征模態(tài)函數(shù)；{ωk}={ω1,ω2,…,ωK}為K個(gè)本征模態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)的中心頻率。

為了求解約束變分模型，引入二次懲罰因子α和拉格朗日懲罰算子λ(t)，將變分模型最優(yōu)解的約束變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非約束變分問(wèn)題，通過(guò)交替方向乘子法在傅里葉域內(nèi)求解該非約束變分問(wèn)題，表達(dá)式見(jiàn)式(4)

(4)

通過(guò)不斷更新各本征模態(tài)分量的中心頻率和帶寬，并根據(jù)源信號(hào)的頻域特性劃分頻帶，從而將源信號(hào)自適應(yīng)地分解為一系列本征模態(tài)函數(shù)，其中各變量的更新見(jiàn)式(5)～式(8)，算法求解流程如圖2所示。

(5)

圖2 VMD算法流程圖

(6)

(7)

(8)

式中：n=n+1；k=1,2,…,K；τ為預(yù)設(shè)誤差。

2 基于VMD的盲源分離算法

在盲源分離算法中，要求觀測(cè)信號(hào)數(shù)目大于或等于源信號(hào)數(shù)目，而在實(shí)際情況中觀測(cè)信號(hào)數(shù)目往往小于源信號(hào)數(shù)目，且有時(shí)只能采集到單通道觀測(cè)信號(hào)，為了解決單通道觀測(cè)信號(hào)盲源分離問(wèn)題，提出一種基于VMD的盲源分離算法。首先由VMD將單通道觀測(cè)信號(hào)自適應(yīng)地分解為若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)，并將單通道觀測(cè)信號(hào)與各本征模態(tài)函數(shù)組成多維信號(hào)；然后利用奇異值分解估計(jì)單通道觀測(cè)信號(hào)的源信號(hào)數(shù)目[13]，并計(jì)算各本征模態(tài)函數(shù)與單通道觀測(cè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，根據(jù)源信號(hào)數(shù)目，選擇相關(guān)系數(shù)較大的本征模態(tài)函數(shù)與單通道觀測(cè)信號(hào)重構(gòu)多通道觀測(cè)信號(hào)；最后采用盲源分離中的JADE算法對(duì)多通道觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行盲源分離，算法流程如圖3所示。

圖3 基于VMD的盲源分離算法流程圖

2.1 重構(gòu)多通道觀測(cè)信號(hào)

首先選擇適宜的采樣頻率和本征模態(tài)函數(shù)個(gè)數(shù)K，通過(guò)對(duì)單通道觀測(cè)信號(hào)X(t)進(jìn)行變分模態(tài)分解，從而將X(t)自適應(yīng)地分解為K個(gè)本征模態(tài)函數(shù)X(t)IMF=[IMF1,IMF2,…,IMFK]；然后將X(t)與K個(gè)本征模態(tài)函數(shù)組成多維觀測(cè)信號(hào)y(t)=[X(t),IMF1,…,IMFK]，即解決了盲源分離中觀測(cè)信號(hào)數(shù)目小于源信號(hào)數(shù)目的問(wèn)題。對(duì)y(t)的自相關(guān)矩陣進(jìn)行奇異值分解，y(t)的自相關(guān)矩陣Ryy見(jiàn)式(9)，對(duì)Ryy進(jìn)行奇異值分解見(jiàn)式(10)

Ryy=E[y(t)×yH(t)]

(9)

Ryy=UΛVT

(10)

式中：U為左奇異向量；V為右奇異向量；Λ=diag{λ1,λ2,…,λn}為奇異值向量對(duì)應(yīng)的特征值；yH(t)為多維觀測(cè)信號(hào)y(t)的共軛轉(zhuǎn)置。

Λ中前幾個(gè)特征值的數(shù)值較大，已經(jīng)包含信號(hào)中的大部分信息，通過(guò)計(jì)算自相關(guān)矩陣Ryy的特征值的數(shù)值占比(見(jiàn)式(11))，即可估算出單通道觀測(cè)信號(hào)的數(shù)目。

(11)

當(dāng)m值取i(1≤i

確定源信號(hào)的數(shù)目后，通過(guò)計(jì)算各本征模態(tài)函數(shù)與X(t)IMF的相關(guān)系數(shù)(見(jiàn)式(12))，選擇相關(guān)系數(shù)較大的前m-1個(gè)本征模態(tài)函數(shù)，與X(t)重構(gòu)多通道觀測(cè)信號(hào)H(t)=[X(t),IMF1,…,IMFm-1]。

ρ(X(t),IMFi)=

(12)

2.2 多通道觀測(cè)信號(hào)盲源分離

采用盲源分離中的JADE算法對(duì)多通道觀測(cè)信號(hào)H(t)進(jìn)行分析處理。首先對(duì)H(t)進(jìn)行去中心化和白化處理，求得白化矩陣W，由盲源分離模型可得白化信號(hào)Z(t)見(jiàn)式(13)

Z(t)=WX(t)=WAS(t)=US(t)

(13)

式中，U為一個(gè)N×N階的酉矩陣。

從而將求解混合矩陣A轉(zhuǎn)化為計(jì)算酉矩陣U。取一任意的N×N階矩陣M，則白化信號(hào)Z(t)的四階累積量矩陣的第a行第b列元素為見(jiàn)式(14)

(14)

式中：QZ(M)為Z(t)的四階累積量矩陣；Pabcd(Z)為Z(t)的第a,b,c,d分量的四階累計(jì)量；mcd為矩陣M的第c行第d列元素。

將UTQZ(Mi)U中對(duì)角元素的平方和(見(jiàn)式(15))作為矩陣對(duì)角化的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)F(U)求解出酉矩陣U，即可求出源信號(hào)的估計(jì)信號(hào)Y(t)見(jiàn)式(16)。

(15)

Y(t)=UTWX(t)

(16)

3 侵徹試驗(yàn)分析

3.1 侵徹試驗(yàn)

采用彈載測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行侵徹試驗(yàn)以獲得侵徹過(guò)載信號(hào)時(shí)間歷程曲線。試驗(yàn)過(guò)程如下：侵徹試驗(yàn)前在試驗(yàn)彈體底部安裝彈載測(cè)試系統(tǒng)，在彈體侵徹過(guò)程中由彈載測(cè)試系統(tǒng)中的傳感器模塊采集彈體與彈靶產(chǎn)生的侵徹過(guò)載信號(hào)；侵徹過(guò)載信號(hào)經(jīng)信號(hào)調(diào)理模塊升壓、整流、放大、濾波后，傳送到數(shù)據(jù)采集存儲(chǔ)模塊中進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換并存儲(chǔ)到數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器中；侵徹試驗(yàn)結(jié)束后，通過(guò)彈載測(cè)試系統(tǒng)的數(shù)據(jù)接口讀取試驗(yàn)數(shù)據(jù)。測(cè)試系統(tǒng)架構(gòu)如圖4所示，試驗(yàn)結(jié)束后，通過(guò)測(cè)試系統(tǒng)的數(shù)據(jù)接口將數(shù)據(jù)讀取出來(lái)。試驗(yàn)測(cè)得的彈體侵徹過(guò)載信號(hào)曲線如圖5所示，試驗(yàn)測(cè)得彈體侵徹深度為103.52 cm，彈體觸靶速度為478.3 m/s。

圖4 測(cè)試系統(tǒng)架構(gòu)圖

圖5 侵徹過(guò)載信號(hào)時(shí)間歷程曲線

3.2 侵徹過(guò)載信號(hào)盲源分離

以1 kHz的采樣頻率對(duì)試驗(yàn)獲得的侵徹過(guò)載信號(hào)進(jìn)行變分模態(tài)分解。通過(guò)對(duì)K取2～10，將各本征模態(tài)函數(shù)的中心頻率按從低到高排列，觀察其中心頻率的變化情況，如表1所示。由表1可知，當(dāng)K取8時(shí)，中心頻率在454 Hz左右的本征模態(tài)函數(shù)信息丟失；K取10時(shí)，第8個(gè)分量的中心頻率738 Hz和第9個(gè)分量的中心頻率787 Hz較為接近，容易出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象。因此將本征模態(tài)函數(shù)的分解個(gè)數(shù)K設(shè)置為9，各本征模態(tài)函數(shù)圖像如圖6所示。

表1 不同模態(tài)個(gè)數(shù)時(shí)各模態(tài)的中心頻率

(a) IMF1～I(xiàn)MF5函數(shù)圖像

將9個(gè)本征模態(tài)函數(shù)與侵徹過(guò)載信號(hào)組成多維觀測(cè)信號(hào)y(t)，對(duì)y(t)的自相關(guān)矩陣Ryy進(jìn)行奇異值分解，得到各奇異值向量對(duì)應(yīng)的特征值，并計(jì)算各特征值及前n個(gè)特征值在全體特征值中所占比例，如表2所示。

表2 特征值占比及前n個(gè)特征值占比

由表2可知，當(dāng)n=3時(shí)，前3個(gè)特征值在總體特征值中占比為98.59%；當(dāng)n>3時(shí)各特征值占比均小于1%，表明前3個(gè)特征值已經(jīng)包含多維觀測(cè)信號(hào)y(t)中的大部分信息，因此源信號(hào)的估計(jì)數(shù)目為3。然后計(jì)算各本征模態(tài)函數(shù)與侵徹過(guò)載信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，選擇相關(guān)系數(shù)最大的2個(gè)本征模態(tài)函數(shù)與侵徹過(guò)載信號(hào)重構(gòu)多通道觀測(cè)信號(hào)，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 各本征模態(tài)函數(shù)與侵徹過(guò)載信號(hào)相關(guān)系數(shù)

由表3可知，η5與η7在9個(gè)相關(guān)系數(shù)中數(shù)值較大，因此選擇IMF5、IMF7與侵徹過(guò)載加信號(hào)X(t)重構(gòu)多通道觀測(cè)信號(hào)H(t)=[X(t),IMF5,IMF7]，采用JADE對(duì)多通道觀測(cè)信號(hào)H(t)進(jìn)行盲源分離，分離出的信號(hào)分量如圖7所示。

(a) 分量1

由圖7可知，H(t)經(jīng)本文方法處理后分離出3個(gè)信號(hào)分量。其中，分量1的加速度幅值曲線較為光滑，由式(14)計(jì)算分量1與侵徹過(guò)載信號(hào)的相關(guān)系數(shù)ρ=0.952 7，可認(rèn)為分量1包含了侵徹過(guò)載信號(hào)曲線的大部分信號(hào)特征；分量2和分量3為高頻噪聲振動(dòng)信號(hào)。對(duì)分量2和分量3進(jìn)行頻譜分析如圖8所示，侵徹過(guò)載信號(hào)頻譜如圖9所示。

圖8 分量2和分量3頻譜圖

圖9 侵徹過(guò)載信號(hào)頻譜圖

由圖8可知，分量2和分量3的頻率集中點(diǎn)主要在1 072.7 Hz和3 875.4 Hz附近，與圖9中的頻率集中點(diǎn)1 061.1 Hz和3 863.9 Hz較為接近。因此，可認(rèn)為侵徹過(guò)載信號(hào)經(jīng)本文方法處理后，分離出的信號(hào)分量1與原信號(hào)的相似度約為95%，反映了彈體在侵徹過(guò)程中的剛體加速度特征；同時(shí)還分離出兩個(gè)頻率主要集中在1 072.7 Hz和3 875.4 Hz的高頻振動(dòng)信號(hào)分量2和分量3，由于彈體在侵徹過(guò)程中存在復(fù)雜的應(yīng)力作用，因此這兩個(gè)頻率集中點(diǎn)可能為彈體的兩次或多次諧振頻率。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

為了檢驗(yàn)本文方法處理侵徹過(guò)載信號(hào)的可靠性和有效性，采用小波分解法和文獻(xiàn)[5]中經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與獨(dú)立分量分析法處理侵徹試驗(yàn)獲得的侵徹過(guò)載信號(hào)，提取出的侵徹過(guò)載信號(hào)曲線如圖10所示。

圖10 三種方法提取出的侵徹過(guò)載信號(hào)曲線

由圖10可知，本文方法分離的侵徹過(guò)載信號(hào)的曲線光滑度更高；文獻(xiàn)[5]方法提取的侵徹過(guò)載信號(hào)在曲線快速上升和快速下降過(guò)程中存在曲線尖點(diǎn)問(wèn)題；小波分解法提取的侵徹過(guò)載信號(hào)缺失部分細(xì)節(jié)特征，且該方法需人工選擇小波基函數(shù)、分解層數(shù)和閾值，算法本身缺乏自適應(yīng)性。為了進(jìn)一步比較三種方法的侵徹過(guò)載信號(hào)特征分離效果，先對(duì)每條侵徹過(guò)載信號(hào)曲線分別在時(shí)域上進(jìn)行一次積分，得到三條侵徹速度變化曲線，如圖11所示；然后對(duì)每條侵徹速度變化曲線分別在時(shí)域上再進(jìn)行一次積分，得到三條侵徹深度變化曲線，如圖12所示。

圖11 侵徹速度變化曲線

圖12 侵徹深度變化曲線

由圖11、12可知，本文方法得到的彈體觸靶速度為485.9 m/s，彈體侵徹位移為100.61 cm；文獻(xiàn)[5]中的方法得到的彈體觸靶速度為458.7 m/s，彈體侵徹位移為97.18 cm；小波分解法得到的彈體觸靶速度為465.5 m/s，彈體侵徹位移為98.44 cm。為了更直觀地對(duì)比三種處理方法的處理效果，將三種處理方法得到的試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際侵徹?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。

表4 三種處理方法的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

由表4可知，與文獻(xiàn)[5]方法和小波分解法相比，本文方法得到的觸靶速度和侵徹深度與侵徹試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差最小，所需處理時(shí)間最短，信號(hào)處理效率最高，因此本文方法具有更優(yōu)的處理效果以及更高的可靠性和可行性。

4 結(jié) 論

變分模態(tài)分解能夠自適應(yīng)地將輸入信號(hào)分解為若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)的線性組合，在保留信號(hào)局部特征規(guī)律的同時(shí)，有效去除了噪聲信號(hào)，為單通道信號(hào)的盲源分離奠定基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)本征模態(tài)函數(shù)的自相關(guān)矩陣進(jìn)行奇異值分解并計(jì)算各本征模態(tài)函數(shù)與單通道觀測(cè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，將單通道觀測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)化為多通道觀測(cè)信號(hào)，解決了欠定盲源分離中觀測(cè)信號(hào)數(shù)目小于源信號(hào)數(shù)目的問(wèn)題，然后由盲源分離中的JADE算法對(duì)重構(gòu)的多通道觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行分析處理。通過(guò)對(duì)分離的侵徹過(guò)載信號(hào)進(jìn)行進(jìn)一步分析處理，檢驗(yàn)了本文方法的可靠性和可行性。與傳統(tǒng)信號(hào)處理方法相比，本文方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1) 本文方法結(jié)合時(shí)頻分析在非平穩(wěn)信號(hào)分析中的優(yōu)點(diǎn)，能夠有效分離侵徹過(guò)程中作用在彈體上的多種頻率響應(yīng)，分離效果良好；

(2) 盲源分離在混疊信號(hào)分離方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠深入研究侵徹過(guò)程中作用在彈體上的復(fù)雜振動(dòng)響應(yīng)，挖掘出蘊(yùn)含在復(fù)雜波形中的深層信息；

(3) 本文方法很好地解決了欠定盲源分離中的源數(shù)估計(jì)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了侵徹過(guò)載信號(hào)的盲源分離。通過(guò)分析侵徹過(guò)載信號(hào)，得到侵徹過(guò)載信號(hào)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征，挖掘其中蘊(yùn)含的深層信息，從而分析彈體的侵徹過(guò)程，可為引信結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、彈體強(qiáng)度設(shè)計(jì)、防御工事的材料選擇和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供重要參考依據(jù)。